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 1884年初版の表紙 | |
| 著者 | ゴットロープ・フレーゲ |
|---|---|
| 原題 | Die Grundlagen der Arithmetik。 Begriff der Zahl による論理数学の基礎 |
| 翻訳者 | JLオースティン |
| 言語 | ドイツ語 |
| 主題 | 数学の哲学 |
| 公開済み | 1884 |
| 出版地 | ドイツ |
| ページ | 119（ドイツ語原文） |
| 番号 | 0810106051 |
| OCLC | 650 |
『算術の基礎』（ドイツ語： Die Grundlagen der Arithmetik ）は、ゴットロープ・フレーゲが1884年に出版した、算術の哲学的基礎本である。フレーゲは他の観念論的および唯物論的な数論を反駁し、独自のプラトン主義的数論を展開した。『算術の基礎』は、フレーゲの後の論理主義の研究の動機付けにも役立った。
この本は言語哲学においても重要な意味を持つ。マイケル・ダメットは言語学の転換をフレーゲの『原理』と文脈原理にまで遡って論じている。
この本は出版当時はあまり評判が良くなく、広く読まれなかった。しかし、フレーゲの哲学に多大な影響を受けたバートランド・ラッセルとルートヴィヒ・ヴィトゲンシュタインの注目を集めた。英語版はJLオースティンによって出版され（オックスフォード、1950年）、第2版は1960年に出版された。[1]
言語的転換
- ゴットロープ・フレーゲ『算術の基礎』 (1884/1980)
- 以下の調査では、私は 3 つの基本原則を守りました。
- 常に心理的なものを論理的なものから、主観的なものを客観的なものから明確に区別すること。
- 単語の意味を単独で尋ねるのではなく、命題の文脈の中でのみ尋ねる
- 概念と対象との区別を決して見失わないこと。
カントの数に関する問い、「我々が数について何の考えも直観も持っていないのに、数はどのように与えられるのか？」に答えるために、フレーゲは本の冒頭で述べた「文脈原理」、すなわち、言葉は命題の文脈においてのみ意味を持つという原理を援用し、「数詞が現れる命題の意味」を定義することが解決策であると見いだした。このようにして、従来は観念論的な線に沿って解決されてきた存在論的および認識論的な問題が、言語的な線に沿って解決される。
先人たちへの批判
数学の心理学的説明
フレーゲは、心理主義に基づく数学の説明、つまり数学や数字は、それを考える人の主観的な考えに相対的であるという見解に反対している。フレーゲによれば、心理主義の説明は主観的なものに訴えるが、数学は純粋に客観的であり、人間の思考から完全に独立している。フレーゲによれば、数学的実体は、人間がそれについて考えるかどうかに関係なく、客観的な特性を持っている。つまり、数学的記述を、人類の歴史と進化を通じて自然に進化した何かと考えることはできない。彼は、論理（およびフレーゲによればその拡張である数学）と心理学の間に根本的な違いがあると考えている。論理は必然的な事実を説明するが、心理学は個人の心における特定の思考プロセスを研究する。 [2]考えは私的なものであるため、数学に関する観念論は、単に数字の 2 ではなく、「私の 2 つ」と「あなたの 2 つ」があることを意味する。
カント
フレーゲはイマヌエル・カントの著作を高く評価している。しかし、彼は主に、数の命題は総合的-先験的 -ではなく、分析的 - 先験的であるという理由でカントを批判している。[3] カントは、7+5=12 は証明不可能な総合的な命題であると主張している。[4] 7+5 という概念をどれだけ分析しても、そこに 12 という概念は見つからない。直観の対象に適用することで 12 という概念に到達しなければならない。カントは、これは数字が大きくなるほどさらに明確になると指摘している。フレーゲはまさにこの点で、反対の方向を主張している。カントは、「大きな」数字を含む命題では、その真理値を主張するために点などを数えなければならないと誤って想定している。フレーゲは、次の式 654,768+436,382=1,091,150 の数字のどれに対しても直観がなくても、それが真であると主張できると主張している。これは、そのような命題が解析的である証拠として提示されている。フレーゲは幾何学が確かに先験的に総合的であることに同意しているが、算術は解析的でなければならない。[5]
ミル
フレーゲはジョン・スチュアート・ミルの経験主義を徹底的に批判している。[6] [7]彼は、数はオブジェクトの集合をサブコレクションに分割するさまざまな方法に対応するというミルの考えは、大きな数を含む計算の信頼性と矛盾していると主張している。[8] [9]彼はさらに、「ありがたいことに、すべてが釘付けになっていない！」と皮肉っている。フレーゲはまた、ミルの哲学がゼロの概念を適切に扱っていることを否定している。[10]
彼はさらに、加算の演算は物理量を指すものとして理解することはできないと主張し、この点に関するミルの混乱は算術の応用と算術そのものを混同するというより大きな問題の兆候であると主張している。
フレーゲはトランプの例を使って、数字が物体に内在していないことを示しています。カードやスートなどの詳細を説明せずに「いくつあるか」と尋ねるのはナンセンスであり、数字は概念に属し、物体に属していないことを示しています。
ジュリアス・シーザー問題
この本には、フレーゲの有名な反構造主義の ジュリアス・シーザー問題が含まれている。フレーゲは、数学の適切な理論がジュリアス・シーザーが数ではない理由を説明できると主張している。[11] [12]
フレーゲの数観の発展
フレーゲは、1+1=2 のような特定の数の命題と、a+b=b+a のような一般的な命題を区別している。後者は前者と同様に数に当てはまる命題である。したがって、数の概念自体の定義を求める必要がある。フレーゲは、数が外的なもので決定される可能性を調査している。彼は、数が形容詞と同じように自然言語でどのように機能するかを示している。「この机には 5 つの引き出しがある」は、「この机には緑の引き出しがある」と形式が似ている。引き出しが緑であることは、外界に根拠づけられた客観的な事実である。しかし、5 の場合はそうではない。フレーゲは、各引き出しがそれぞれ緑色であるが、すべての引き出しが 5 であるわけではないと論じている。 [13] フレーゲは、このことから数が主観的である可能性があるとは限らないことを覚えておくようにと私たちに促している。確かに、数は少なくとも両方とも完全に客観的であるという点で色に似ている。フレーゲは、数詞が形容詞的に現れる数文（例えば「馬は4頭いる」）を、数項が単数形として現れる数文（「馬の数は4頭である」）に変換できると述べている。[14] フレーゲは数をオブジェクトとみなしているため、このような翻訳を推奨している。4に該当するオブジェクトがあるかどうかを問うことは意味がない。フレーゲは、数がオブジェクトであると考える理由をいくつか挙げた後、数の文は概念についての主張であると結論付けている。
フレーゲはこの観察を『数学の基礎』の根本思想としている。例えば、「納屋にいる馬の数は4頭である」という文は、4つの対象が「納屋にいる馬」という概念に該当することを意味する。フレーゲは、濃度演算（「…の数」または）の文脈的定義を通じて、数の把握を説明しようと試みる。彼は、数の同一性を含む判断の内容を、ヒュームの原理（Fの数がGの数に等しいのは、FとGが同数である場合、つまり一対一対応している場合に限る、と述べている）に依拠して構築しようとしている。[15]彼はこの定義を却下する。なぜなら、この定義では、「Fの数」という形式ではない単数項が同一性記号の両側にある場合、同一性ステートメントの真理値が確定しないからである。フレーゲはさらに、概念の拡張という観点から数を明示的に定義するが、いくらかためらいを表明している。
フレーゲの数の定義
フレーゲは、数はオブジェクトであり、概念について何かを主張すると主張している。フレーゲは数を概念の拡張として定義している。「Fの数」は、概念Gの拡張として定義され、GはFと同数の概念である。問題の概念は、Fの数を持つすべての概念（Fを含む）の同値類につながる。フレーゲは、0を非自己同一である概念の拡張として定義している。したがって、この概念の数は、それに該当するオブジェクトを持たないすべての概念の概念の拡張である。数1は、0と同一である拡張である。[16]
遺産
この本は、数学の基礎と哲学という2つの主要分野の発展において基礎となった。バートランド・ラッセルは後にフレーゲの『基本法則 V』に大きな欠陥を発見したが（この欠陥はラッセルのパラドックスとして知られ、公理的集合論によって解決される）、この本は『プリンキピア・マテマティカ』などのその後の発展に影響を与えた。この本は、数の概念を明らかにすることを目的として主に言語の分析を中心に展開しているため、分析哲学の出発点と考えることもできる。フレーゲの数学に対する見解は、論理主義として知られる、数と数学一般の認識論に関する革新的な説明を導入しているため、数学の哲学の出発点でもある。
エディション
- ゴットロブのフレーゲ (1884)。 Die Grundlagen der Arithmetik。論理数学の基礎は Begriff der Zahl にあります。ブレスラウ: フェルラーク・フォン・ヴィルヘルム・ケブナー。
- フレーゲ、ゴットロープ（1960年）。算術の基礎：数の概念についての論理数学的探究。オースティン、JL訳（第2版）。イリノイ州エバンストン：ノースウェスタン大学出版局。ISBN 0810106051OCLC 650 。
参照
参考文献
- ^ フレーゲ 1960.
- ^ フレーゲ 1884、§27。
- ^ Frege 1884, §12: 「しかし、この[カントの]意味での直観は、算数の法則に関する知識の根拠としては機能し得ない。」
- ^ Frege 1884、§5：「カントは、[2 + 3 = 5 などのステートメント] は証明不可能で総合的であると宣言しますが、それらは一般性がなく、その数が無限であるため、公理と呼ぶことを躊躇します。ハンケルは、証明できない無限の数の原始的な真実というこの概念を矛盾しており、逆説的であると正当に呼んでいます。」
- ^ Frege 1884, §14: 「[ 平行線公理を否定する]ことが可能であるという事実は、幾何学の公理が互いに独立しており、論理の基本法則からも独立しており、したがって総合的であることを示している。数科学の基本命題についても同じことが言えるだろうか? ここでは、それらのどれか1つを否定しようとするだけで、完全な混乱が生じる。」
- ^ フレーゲ 1960、9-12ページ。
- ^ Shapiro 2000、p. 96：「フレーゲの『算術の基礎』には、ミルの算術の説明に対する継続的な痛烈な攻撃が含まれている」
- ^ Frege 1960、p. 10：「もし個々の数の定義が本当に特別な物理的事実を主張するのであれば、私たちは9桁の数字で計算する人を、その自然に関する知識について十分に賞賛することは決してできないだろう。」
- ^ Shapiro 2000、p. 98：「フレーゲは大きな数に関してもミルを批判している。」
- ^ Frege 1960、p. 11：「[...] 0 という数字は謎である。なぜなら、今まで誰も 0 個の小石を見たり触ったりしたことがないと思うからだ。」
- ^ 68ページ
- ^ グレイマン、ディルク。「フレーゲのジュリアス・シーザー問題とは何か？」Dialectica、vol.57、no.3、2003、pp.261-78。JSTOR 、http://www.jstor.org/stable/42971497。2024年4月25日にアクセス。
- ^ Frege 1884, §22: 「木に 1000 枚の葉があると言うことと、また木に緑の葉があると言うことは、まったく異なる意味ではないでしょうか。緑色は個々の葉に帰属しますが、1000 という数字には帰属しません。」
- ^ Frege 1884, §57: 「例えば、『木星には4つの衛星がある』という命題は、『木星の衛星の数は4つである』と変換できる」
- ^ Frege 1884, §63: 「ヒュームは昔からこのような意味を表現していた。『2つの数が、一方の数が常にもう一方の数のあらゆる単位に対応する単位を持つように結合されている場合、我々はそれらを等しいと宣言する』」
- ^ Boolos 1998、154 ページ：「フレーゲは 0 を概念の数、すなわち非自己同一であると定義しています。すべてが自己同一であるため、この概念に該当するオブジェクトはありません。フレーゲは 1 を数 0 と同一である概念の数であると定義しています。0 と 0 だけがこの後者の概念に該当します。」
出典
- Boolos, George (1998)。「第 9 章: ゴットロープ・フレーゲと算術の基礎」。論理、論理、そして論理。リチャード・C・ジェフリー編、ジョン・P・バージェス序文。マサチューセッツ州ケンブリッジ: ハーバード大学出版局。ISBN 9780674537675. OCLC 37509971.
- シャピロ、スチュワート（2000年）。『数学を考える：数学の哲学』ニューヨーク：オックスフォード大学出版局。pp.95-98。ISBN 9780192893062. OCLC 43864339.
外部リンク
- フレーゲ、ゴットロープ（1960）。算術の基礎
- Die Grundlagen der Arithmetik at Project Gutenberg – 無料、全文ドイツ語版
- Die Grundlagen der Arithmetik at archive.org – 無料、全文ドイツ語版 (ハーバード大学のコレクションからの書籍)
- Die Grundlagen der Arithmetik at archive.org – 無料、全文ドイツ語版 (オックスフォード大学のコレクションからの書籍)
- ザルタ、エドワード。「フレーゲの定理と算術の基礎」。スタンフォード哲学百科事典。
- ネチャエフ、VI（2001）[1994]、「数」、数学百科事典、EMSプレス
- Suber, Peter (2002) 「幾何学と算術は総合的である」