集合の要素

数学では、集合の要素（またはメンバー）とは、その集合に属する異なるオブジェクトのいずれかのことです。たとえば、最初の 4 つの正の整数(${\displaystyle A=\{1,2,3,4\}}$） 、つまり「3はAの要素である」と表現することができ、記号的には次のように表される。${\displaystyle 3\in A}$。

書き込み${\displaystyle A=\{1,2,3,4\}}$これは、集合Aの要素が 1、2、3、4 であることを意味します。たとえば、Aの要素の集合は${\displaystyle \{1,2\}}$、はAの部分集合です。

集合自体が要素になり得る。例えば、集合を考えてみよう。${\displaystyle B=\{1,2,\{3,4\}\}}$Bの要素は1、2、3、4 ではありません 。むしろ、Bの要素は 3 つだけであり、それは数 1 と 2、そして集合 です。${\displaystyle \{3,4\}}$。

集合の要素は何でも構いません。例えば、集合の要素は${\displaystyle C=\{\mathrm {\color {Red}red} ,\mathrm {12} ,B\}}$は、赤色、数字12、および集合Bです。

論理学では、集合は要素のメンバーシップによって次のように定義できます。${\displaystyle (x\in y)\leftrightarrow \forall x[P_{x}=y]:x\in {\mathfrak {D}}y}$これは基本的に、x の一般述語であるメンバーシップが存在し、それは「x が y のメンバーであるのは、すべてのオブジェクト x に対して、x の一般述語が y と同一である場合に限る。ここで、x は y のドメインのメンバーである」という記述と同等であることを意味します。式 x ∈ 𝔇y は、x が y へのメンバーシップの述語において束縛変数であることを保証することにより、この定義を明確にします。

この場合、Px の定義域、すなわち y に属するための条件を満たすすべての従属論理値 x を含む集合は、y のユニバース (U) と呼ばれます。Px の値域、すなわち x のメンバーシップ条件を満たすことによって生じるすべての可能な従属集合変数 y の集合は、U の冪集合であり、 x が y に属するという二項関係は、U × 𝒫(U) (集合 U と U の冪集合の直積) の任意の部分集合です。

二項関係「～の要素である」は、集合メンバーシップとも呼ばれ、記号 「∈」で表されます。

${\displaystyle x\in A}$

これは「xはAの要素である」という意味です。^{[ 1 ]}同義の表現としては、「xはAのメンバーである」、「xはAに属する」、「xはAに含まれる」、「xはAに含まれる」などがあります。「 Aにはxが含まれる」および「Aにはxが含まれる」という表現も集合のメンバーシップを意味するために使用されますが、一部の著者は代わりに「xはAの部分集合である」という意味で使用しています。^{[ 2 ]}論理学者のGeorge Boolos は、「contains」はメンバーシップにのみ使用し、「includes」は部分集合の関係にのみ使用することを強く主張しました。^{[ 3 ]}      

関係 ∈ に対して、逆関係∈ ^Tは次のように書ける。

${\displaystyle A\ni x}$

「Aはxを含む」という意味です。

集合のメンバーシップの否定は記号 「∉」で表されます。

${\displaystyle x\notin A}$

これは「xはAの要素ではない」という意味です。 

記号 ∈ は、ジュゼッペ・ペアノが1889 年の著作Arithmetices principia, nova methodo expositaで初めて使用しました。^{[ 4 ]}彼は X ページに次のように書いています。

Signum ∈significat est.Ita a ∈ blegitur aest quoddam b ; …

つまり

記号 ∈ は「である」という意味です。したがって、a ∈ bは「aはある b である」と読みます。…

このシンボル自体は、ギリシャ語の小文字イプシロン（「ϵ」）を様式化したもので、 ἐστίという単語の最初の文字であり、「である」という意味です。^{[ 4 ]}

上記で定義した集合、すなわちA = {1, 2, 3, 4}、B = {1, 2, {3, 4}}、C = {red, 12, B } を用いると、以下の記述が真となる。

• 2 ∈ A
• 5 ∉ A

• {3, 4} ∈ B
• 3 ∉ B
• 4 ∉ B
• 黄色 ∉ C

特定の集合に含まれる要素の数は、濃度と呼ばれる性質です。非公式には、これは集合のサイズです。^{[ 5 ]}上記の例では、集合Aの濃度は 4ですが、集合Bと集合Cの濃度はどちらも 3 です。無限集合は無限個の要素を持つ集合であり、有限集合は有限個の要素を持つ集合です。上記の例は有限集合の例です。無限集合の例としては、正の整数の集合{1, 2, 3, 4, ...}があります。   

関係として、集合のメンバーシップは定義域と値域を持たなければなりません。慣例として、定義域は全体集合と呼ばれ、 Uと表記されます。値域はUの部分集合の集合であり、 Uの冪集合と呼ばれ、P( U ) と表記されます。したがって、関係は${\displaystyle \in }$はU × P( U )の部分集合である。逆の関係${\displaystyle \ni }$はP( U ) × Uの部分集合です。

• 識別要素
• シングルトン（数学）

• Halmos、Paul R. (1974) [1960]、Naive Set Theory、Undergraduate Texts in Mathematics (Hardcover  ed.)、ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 0-387-90092-6「素朴」とは、完全に公理化されていないという意味であり、愚かであるとか簡単であるという意味ではない（ハルモスの扱いはどちらでもない）。
• ジェック、トーマス（2002）「集合論」、スタンフォード哲学百科事典、スタンフォード大学形而上学研究室
• サップス、パトリック(1972) [1960]、『公理的集合論』、ニューヨーク：ドーバー出版、ISBN 0-486-61630-4「集合の要素」をより深く理解するためには、集合（要素の集まり）の概念、メンバーシップまたは要素性、拡張の公理、分離の公理、および和集合の公理（サップスはこれを和の公理と呼んでいる）のすべてが必要である。