論理的等価性

論理等価性とは、2つの真理値、より一般的には2つの論理式を比較する論理演算子であり、両方の引数の真理値が同じであれば真、異なれば偽を返します。論理式に自由変数がある場合、自由変数のすべての可能な解に対して真理値が等しい場合に、2つの論理式は等しいと言います。これは、ブール代数における等価性、および命題論理における論理双条件に相当します。

様々なアプリケーションにおいて、必ずしも技術的に正確ではないものの、論理演算子xとyに対する論理等価演算を以下のいずれかの形式で示すのが慣例となっている。

${\displaystyle {\begin{aligned}x&\leftrightarrow y&x&\Leftrightarrow y&\mathrm {E} xy\\x&\mathrm {~EQ~} y&x&=y\end{aligned}}}$

しかし、論理学者の中には、左の列にあるような関数形式（関数形式は、関数を2つの引数に適用したものと解釈され、したがって複合式の値が構成要素となる式の値に依存するという単なる表示に過ぎない）と、右の列にあるような等式形式（等式形式は、引数の値が等しい、つまり複合式の関数値が真であるという主張と解釈される）を明確に区別する者もいる。

論理等価性とは、2つの論理値（通常は2つの命題の値）に対する演算であり、両方のオペランドが偽であるか、両方のオペランドが真である場合に限り、真という値を生成します。

p EQ q （ p = q、p ↔ q、Epq、p ≡ q、またはp == qとも表記される）の真理値表は以下のとおりです。

形式 ( x = y ) は形式 ( x ∧ y ) ∨ (¬ x ∧ ¬ y ) と同等です。

${\displaystyle (x=y)=\lnot (x\oplus y)=\lnot x\oplus y=x\oplus \lnot y=(x\land y)\lor (\lnot x\land \lnot y)=(\lnot x\lor y)\land (x\lor \lnot y)}$

オペランドxとyに対する論理等価演算子の真理値表は以下のとおりです。

数学において、プラス記号「+」は、ほぼ例外なく、体と呼ばれる代数構造における加算に割り当てられた公理を満たす演算を示します。ブール代数においては、これは「+」で表される論理演算が「∨」で表される包含的選言と同じではなく、実際には「≠」で表される論理不等号演算子、あるいは実質的に同じものである「XOR」または「⊕」で表される排他的選言と同等であることを意味します。当然ながら、こうした用法の違いは、長年にわたり数学者とスイッチングエンジニアの間で意思疎通の失敗を引き起こしてきました。いずれにせよ、論理不等号に関連付けられた記号には、次のような対応する形式があります。

${\displaystyle {\begin{aligned}x&+y&x&\not \equiv y&XXSy\\x&\mathrm {~XOR~} y&x&\neq y\end{aligned}}}$

これは、EQ がXOR演算の否定であるため、回路エンジニアの組み合わせ論理ではしばしば「 XNOR 」と呼ばれる理由を説明しています。「NXOR」はあまり一般的ではない代替案です。^{[ 1 ]} 確かに回りくどい名前である「XNOR」のもう 1 つの合理化は、「両方とも偽」演算子 NOR から始めて、eXception「または両方とも真」を追加することです。

• ブール関数
• かつその場合に限り
• 論理的等価性
• 論理的双条件
• 命題論理

• ウィキメディア・コモンズにある論理的等価性に関連するメディア
• マスワールド、XNOR