環状グループ

抽象代数学では、巡回群または単群は群であり、C _nと表記される（また、頻繁に${\displaystyle \mathbb {Z} }$_nまたは Z _{n （}p進数の可換環と混同しないように）は、単一の要素によって生成されます。 ^{[ 1 ]}つまり、単一の結合的な二項演算を持つ可逆要素の集合であり、群の他のすべての要素が、群演算をgまたはその逆数に繰り返し適用することによって得られるような要素gを含みます。各要素は、乗法表記ではgの整数乗として、加法表記ではgの整数倍として書くことができます。この要素gは群の生成元と呼ばれます^{。 [ 1 ]}    

すべての無限巡回群は、整数群 Z の加法群と同型である。位数nのすべての有限巡回群は、整数群Z / n Zの加法群と同型である。すべての巡回群はアーベル群であり（つまり、その群演算は可換である）、すべての有限生成アーベル群は巡回群の直積である。   

素数位数の巡回群はすべて単純群であり、それより小さな群に分解することはできません。有限単純群の分類において、3つの無限群のうちの1つは素数位数の巡回群から構成されます。したがって、素数位数の巡回群は、すべての群を構築するための構成要素の一つと言えます。

任意の群Gの任意の要素gに対して、そのすべての整数乗からなる部分群⟨ g ⟩ = { g ^k | k ∈ Z }を構成できます。これは、 gによって生成される巡回部分群と呼ばれます。gの位数は、 ⟨ g ⟩の要素数である |⟨ g ⟩|であり、慣習的に | g |、ord( g )、または o( g ) と略記されます。つまり、要素の位数は、それが生成する巡回部分群の位数に等しくなります。     

巡回群とは、その巡回部分群のいずれかと等しい群のことです。G = ⟨ g ⟩であり、ある要素gはGの生成元と呼ばれます。 

位数nの有限巡回群Gに対して、G = { e , g , g ² , ... , g ^{n −1} }となる。ここで、eは単位元であり、i ≡ j ( mod n )のときg ⁱ = g ^jとなる。特に、g ⁿ = g ⁰ = eおよびg ⁻¹ = g ^{n − 1}である。この乗法によって定義される抽象群はしばしば C _nと表記され、 G は標準巡回群C _nと同型であると言う。このような群は、加算演算を持つnを法とする整数の群Z / n Zとも同型であり、これは加法表記における標準巡回群である。χ ( g ⁱ ) = iで定義される同型χの下では、単位元e は0に対応し、積は和に対応し、べき乗は倍数に対応する。      

例えば、1の複素数の6乗根の集合は次のようになります。$${\displaystyle G=\left\{\pm 1,\pm {\left({\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}i\right)},\pm {\left({\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}i\right)}\right\}}$$乗法の下で群を形成する。原始根によって生成されるため、循環的である。${\displaystyle z={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}i=e^{2\pi i/6}:}$すなわち、G = ⟨ z ⟩ = { 1, z , z ² , z ³ , z ⁴ , z ⁵ } で、z ⁶ = 1 です。文字の変換の下では、これは、乗法 g j · g k = g ^j + k (mod 6 ^{)で定義される位数6}_{の標準巡回群 C 6} = ⟨ g ⟩ = { e , g , g ² , g ³ , g ⁴ , g ⁵ }と同型です(構造的^に同じ)。したがって、g ⁶ = g ⁰ = eです。これらの群は、加算法 6 の演算を持つZ / 6 Z = { 0 , 1, 2, 3, 4, 5}とも同型で、z ^kとg ^{k は}kに対応します。例えば、1 + 2 ≡ 3 (mod 6) はz ¹ · z ² = z ³に対応し、2 + 5 ≡ 1 (mod 6) はz ² · z ⁵ = z ⁷ = z ¹に対応します。どの要素も、位数 3 の巡回部分群 ⟨ z ² ⟩ = { e , z ² , z ⁴ }のように、C ₃およびZ /3 Zと同型です。また、⟨ z ⁵ ⟩ = { e , z ⁵ , z ¹⁰ = z ⁴ , z ¹⁵ = z ³ , z ²⁰ = z ² , z ²⁵ = z } = Gのように、z ^{5は位数 6 であり、} Gの代替生成元です。  

商の表記Z / n Z、Z /( n ) 、またはZ / nの代わりに、一部の著者は有限巡回群をZ _nと表記しますが、これは数論の表記法と矛盾します。数論では、Z _{p は}p進数環、または素イデアルでの局所化を表します。

一方、無限巡回群G = ⟨ g ⟩では、べき乗g ^{k は}すべての整数kに対して異なる元を与えるので、G = { ... , g ^{− 2} , g ^{− 1} , e , g , g ² , ... }となり、Gは標準群C = C _∞および整数の加法群Zと同型である。例として、第 1フリーズ群がある。ここでは有限サイクルはなく、「巡回」という名前は誤解を招く可能性がある。^{[ 2 ]}

この混乱を避けるため、ブルバキは単一の生成元を持つ群を単斉群と呼び、「巡回群」を有限単斉群に限定し、「無限巡回群」という用語の使用を避けた。^{[注1 ]}

巡回群のすべての部分群と商群は巡回群である。具体的には、Zのすべての部分群は、正の整数mに対して⟨ m ⟩ = m Zの形をしている。これらの部分群はすべて互いに異なり、自明な群 {0} = 0 Zを除いて、すべてZと同型である。Zの部分群の束は、整除性によって順序付けられた自然数の束の双対と同型である。^{[ 10 ]}したがって、素数pは非自明な約数を持たないため、p Zは極大真部分群であり、商群Z / p Zは単純である。実際、巡回群が単純であるのは、その位数が素数である場合のみである。^{[ 11 ]}  

商群Z / n Z は、 Z /0 Z = Z /{0}を除いてすべて有限群です。nの任意の正の約数dに対して、商群Z / n Z は、 n / dの剰余類によって生成される位数dの部分群をちょうど 1 つ持ちます。他の部分群は存在しません。    

すべての巡回群はアーベル群である。^{[ 1 ]}つまり、その群演算は可換である。gh = hg ( Gのすべてのgとhについて)。これは、整数加法群とモジュラー加法群についてはr + s ≡ s + r (mod n )であることから明らかであり、すべての巡回群はこれらの標準群と同型であるため、すべての巡回群についてこのことが成り立つ。位数nの有限巡回群の場合、任意の要素gに対してg ⁿは単位元である。これもまた、すべての整数kに対してkn ≡ 0 (mod n )であることから、モジュラー加法との同型性を用いることで成り立つ。(これは、ラグランジュの定理により、位数nの一般群についても成り立つ。)  

主要な権力のために${\displaystyle p^{k}}$グループ${\displaystyle Z/p^{k}Z}$は基本巡回群と呼ばれます。アーベル群の基本定理は、すべての有限生成アーベル群は、基本巡回群と無限巡回群の有限直積であると述べています。

巡回群は可換群であるため、その共役類はそれぞれ単一の要素から構成される。したがって、位数nの巡回群はn 個の共役類を持つ。 

dがnの約数である場合、 Z / n Zの位数がdである要素の数はφ ( d )であり、位数がd を割り切る要素の数はちょうどdである。Gが、各n > 0に対して、位数がn を割り切る要素を最大n個含む有限群である場合、G は巡回群でなければならない。^{[注 2 ]} Z / n Zの 要素mの位数はn / gcd ( n , m )である。  

nとm が互いに素である場合、2 つの巡回群Z / n ZとZ / m Zの直積は巡回群Z / nm Zと同型であり、逆もまた成り立ちます。これは中国剰余定理の 1 つの形式です。たとえば、Z /12 Zは同型写像( k mod 12) → ( k mod 3, k mod 4)の下で直積Z /3 Z × Z /4 Zと同型ですが、すべての要素の位数が最大 6 であるZ /6 Z × Z /2 Zとは同型ではありません。 

pが素数である場合、 p個の要素を持つ任意の群は単純群Z / p Zと同型である。数nは、 Z / n Z が位数nの唯一の群である場合に巡回数 と呼ばれ、これはgcd( n , φ ( n )) = 1の場合にちょうど成り立つ。^{[ 13 ]}巡回数列にはすべての素数が含まれるが、 15のような合成数もある。ただし、2 を除くすべての巡回数は奇数である。巡回数は次のとおりである。   

1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 15, 17, 19, 23, 29, 31, 33, 35, 37, 41, 43, 47, 51, 53, 59, 61, 65, 67, 69, 71, 73, 77, 79, 83, 85, 87, 89, 91, 95, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 115, 119, 123, 127, 131, 133, 137, 139, 141, 143, ... ( OEISのシーケンスA003277 )

この定義から、巡回群は有限のnに対して群表示C _∞ = ⟨ x | ⟩およびC _n = ⟨ x | x ⁿ ⟩を持つことが直ちにわかる。^{[ 14 ]} 

他にもいくつかの群のクラスが、巡回群との関係によって定義されている。

• サイクルグラフ（グループ）
• 周期モジュール
• 循環ふるい分け
• プリューファー群（可算無限類推）
• 円群（非可算無限の類似物）

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• ミルン著『群論』、http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/gt.html
• 巡回群入門
• ワイススタイン、エリック W. 「巡回群」 . MathWorld .
• GroupNames上の位数の小さい巡回群
• すべての巡回群はアーベル群である