閉じた形式の表現

数学において、式または方程式が閉じた形式であるとは、定数、変数、および算術演算( +、-、×、/、および整数乗) と関数合成によって結合された基本関数の有限集合で構成される場合です。一般的に、許容される関数は、 n乗根、指数関数、対数、および三角関数です。^[a]ただし、基本関数の集合はコンテキストによって異なります。

閉形式の問題は、極限、級数、積分などの数学的なオブジェクトを指定するための新しい方法が導入されたときに発生します。このようなツールで指定されたオブジェクトが与えられた場合、自然な問題は、可能であれば、このオブジェクトの閉形式の表現、つまり、以前の指定方法でのこのオブジェクトの表現を見つけることです。

二次方程式

${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.}$

は、一般二次方程式の解の閉じた形である。 ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0.}$

より一般的には、多項式方程式の文脈において、解の閉じた形式は根号の解、つまり、許される関数がn乗根と体演算のみである閉じた形式の表現である。実際、体理論によれば、多項式方程式の解が指数関数、対数関数、または三角関数を含む閉じた形式を持つ場合、これらの関数を含まない閉じた形式も持つことが示される。^[要出典]${\displaystyle (+,-,\times ,/).}$

3 次方程式(次数 3) と4 次方程式(次数 4)のすべての解には、根号の表現があります。これらの表現のサイズは次数とともに大幅に増加するため、その有用性が制限されます。

より高次の場合、アーベル・ルフィニの定理は、解が根号で表すことができず、したがって閉じた形式を持たない方程式が存在することを述べています。簡単な例としては、ガロア理論は、特定の多項式方程式が根号で解けるかどうかを判断する アルゴリズム的方法を提供します。${\displaystyle x^{5}-x-1=0.}$

記号積分は、本質的には、閉じた形式の式で指定される関数の不定積分の閉じた形式の検索から構成されます。この文脈では、閉じた形式を定義するために使用される基本関数は、一般に対数、指数関数、および多項式根です。これらの基本関数に対して閉じた形式を持つ関数は基本関数と呼ばれ、三角関数、逆三角関数、双曲線関数、逆双曲線関数が含まれます。

したがって、記号積分の基本的な問題は、閉じた形式の表現で指定された基本関数が与えられたときに、その原始関数が基本関数であるかどうかを判定し、原始関数である場合は、この原始関数の閉じた形式の表現を見つけることです。

有理関数、つまり2つの多項式関数の分数の場合、不定積分は常に有理分数とは限らず、対数と多項式根を含む基本関数である。これは通常、部分分数分解で証明される。対数と多項式根の必要性は、次の式で示される。

${\displaystyle \int {\frac {f(x)}{g(x)}}\,dx=\sum _{\alpha \in \operatorname {Roots} (g(x))}{\frac {f(\alpha )}{g'(\alpha )}}\ln(x-\alpha ),}$

これは、と が互いに素な多項式で、 が平方自由であり、${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle g}$${\displaystyle \deg f<\deg g.}$

「よく知られている」の定義を変更して追加の関数を含めると、閉じた形式の解を持つ方程式のセットが変わる可能性があります。多くの累積分布関数は、エラー関数やガンマ関数などの特殊関数がよく知られていると見なさない限り、閉じた形式で表現できません。一般的な超幾何関数を含めると、5 次方程式を解くことができますが、解は代数的に複雑すぎて役に立ちません。多くの実用的なコンピューター アプリケーションでは、数値実装が広く利用できるため、ガンマ関数やその他の特殊関数がよく知られていると想定するのはまったく合理的です。

解析式（解析形式の式または解析公式とも呼ばれる）は、計算に便利なよく知られた演算を使用して構築された数式です。 ^{[曖昧] [要出典]}閉じた形式の式と同様に、許可されるよく知られた関数のセットはコンテキストに応じて変わる可能性がありますが、常に基本的な算術演算（加算、減算、乗算、除算）、実指数への累乗（ n乗根の抽出を含む）、対数、および三角関数が含まれます。

しかし、解析的表現とみなされる表現のクラスは、閉じた形式の表現のクラスよりも広い傾向がある。特に、ベッセル関数やガンマ関数などの特殊関数は通常許可されており、無限級数や連分数も許可されることが多い。一方、一般的な極限、特に積分は、通常除外される。 ^[要出典]

解析式に代数演算 (加算、減算、乗算、除算、有理指数による累乗) と有理定数のみが含まれる場合、より具体的には代数式と呼ばれます。

閉じた形式の式は解析式の重要なサブクラスであり、よく知られた関数の有限個の応用を含みます。より広い解析式とは異なり、閉じた形式の式には無限級数や連分数は含まれず、積分や極限も含まれません。実際、ストーン・ワイエルシュトラスの定理により、単位区間上の任意の連続関数は多項式の極限として表現できるため、多項式を含み極限で閉じている任意の関数クラスには、必然的にすべての連続関数が含まれます。

同様に、方程式または方程式系は、少なくとも 1 つの解が閉じた形式式として表現できる場合にのみ、閉じた形式解を持つと言われます。また、少なくとも 1 つの解が解析式として表現できる場合にのみ、解析解を持つと言われます。(Chow 1999) および以下で説明されている「閉じた形式解」の議論では、「閉じた形式関数」と「閉じた形式数」の間に微妙な違いがあります。閉じた形式または解析解は、明示的解と呼ばれることもあります。

式: は 、合計が無限の数の基本演算を伴うため、閉じた形式ではありません。しかし、等比級数を合計することで、この式は閉じた形式で表現できます: ^[1]$${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x}{2^{n}}}}$$ $${\displaystyle f(x)=2x.}$$

閉じた形式の式の積分は、それ自体が閉じた形式の式として表現できる場合もあれば、できない場合もあります。この研究は、代数ガロア理論との類推により、微分ガロア理論と呼ばれます。

微分ガロア理論の基本定理は、1830 年代から 1840 年代にかけてジョセフ・リウヴィルによって提唱され、リウヴィルの定理と呼ばれています。

原始関数が閉じた形式の表現を持たない基本関数の標準的な例は以下のとおりです。原始関数の 1 つの原始関数は (乗法定数を除いて)誤差関数です。 $${\displaystyle e^{-x^{2}},}$$$${\displaystyle \operatorname {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,dt.}$$

閉形式や解析解では複雑すぎる方程式やシステムは、数学的モデリングやコンピュータシミュレーションによって解析できることが多い（物理学の例については^[2]を参照）。

複素数 Cの 3 つの部分体は、「閉じた形式の数」の概念をエンコードするものとして提案されています。これらは、一般性の昇順で、リウビアン数 (有理近似の意味でのリウヴィル数と混同しないでください) 、EL 数、および基本数です。Lで示されるリウビアン数は、指数と対数に関して閉じたCの最小の代数的に閉じた部分体(正式には、そのような部分体すべての共通部分体) を形成します。つまり、明示的な指数と対数を含むが、明示的および暗黙的な多項式 (多項式の根) を許容する数です。これは、(Ritt 1948、p. 60) で定義されています。Lはもともと基本数と呼ばれていましたが、この用語は現在、代数演算、指数、および対数に関して明示的または暗黙的に定義された数を指すために広く使用されています。 (Chow 1999、pp. 441–442) で提案されたより狭い定義は、Eで示され、 EL 数と呼ばれ、指数と対数に関して閉じたCの最小の部分体です。これは代数的に閉じている必要はなく、明示的な代数、指数、対数演算に対応します。"EL" は "exponential–logarithmic" の略で、"elementary" の略でもあります。

数が閉形式数であるかどうかは、数が超越数であるかどうかに関係しています。正式には、リウヴィリアン数と基本数は代数的数を含み、超越数の一部を含みますが、すべての超越数を含むわけではありません。対照的に、EL数はすべての代数的数を含むわけではありませんが、一部の超越数を含みます。閉形式数は超越数論を通じて研究することができ、その主要な結果はゲルフォン・シュナイダーの定理であり、主要な未解決問題はシャヌエルの予想です。

数値計算の目的上、多くの極限と積分を効率的に計算できるため、一般には閉じた形式である必要はありません。三体問題やホジキン・ハクスリー模型を表す方程式など、一部の方程式には閉じた形式の解がありません。したがって、これらのシステムの将来の状態は数値的に計算する必要があります。

数値の閉形式表現を見つけようとするソフトウェアとしては、RIES ^{[3] 、} Maple ^[4]とSymPy ^[5]のidentify、PlouffeのInverter ^[6]、Inverse Symbolic Calculator ^[7]などがあります。

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• リット、JF (1948)、有限項での積分
• チョウ、ティモシー Y. (1999 年 5 月)、「閉じた形式の数とは何か?」、アメリカ数学月刊誌、106 (5): 440–448、arXiv : math/9805045、doi :10.2307/2589148、JSTOR  2589148
• ジョナサン・M・ボーウェインとリチャード・E・クランドール（2013年1月）、「閉形式：それが何であるか、そしてなぜ私たちはそれを気にするのか」、アメリカ数学会の通知、60（1）：50–65、doi：10.1090 / noti936

• Weisstein、Eric W.「閉じた形式の解」。MathWorld。
• 閉形式連続時間ニューラルネットワーク