3次元多様体

位相空間${\displaystyle M}$が2 次可算ハウスドルフ空間であり、かつ のすべての点が である場合、は 3 次元多様体である。${\displaystyle M}$ユークリッド3次元空間と同相な近傍を持つ。

位相的、区分的線形、滑らかなカテゴリはすべて3次元では同等であるため、例えば位相的3次元多様体と滑らかな3次元多様体のどちらを扱っているかといった区別はほとんど行われません。

3次元の現象は他の次元の現象とは著しく異なる場合があり、そのため3次元を超える次元には一般化できない非常に特殊な手法が広く用いられています。この特殊な役割により、結び目理論、幾何群論、双曲幾何学、数論、 タイヒミュラー理論、位相量子場理論、ゲージ理論、フローアホモロジー、偏微分方程式など、さまざまな他の分野との密接な関連性が発見されました。3次元多様体理論は、低次元トポロジーまたは幾何トポロジーの一部とみなされています。

この理論の重要な考え方は、3次元多様体に埋め込まれた特殊な曲面を考察することによって、3次元多様体を研究することです。曲面を3次元多様体の中にうまく配置するように選択すると、非圧縮曲面の概念とハーケン多様体の理論につながります。あるいは、相補的な部分をできるだけきれいに配置するように選択すると、ハーケン多様体でない場合でも有用なヒーガード分割などの構造が得られます。

サーストンの理論への貢献により、多くの場合、特定のサーストンモデル幾何学（全部で8種類ある）によって与えられる追加的な構造も考慮に入れることができる。最も一般的な幾何学は双曲幾何学である。特殊曲面に加えて幾何学を用いることは、しばしば有益である。

3次元多様体の基本群は、3次元多様体が持つ幾何学的および位相的な情報を強く反映している。したがって、群論と位相幾何学的手法の間には相互作用が存在する。

3次元多様体は、その位相不変量が一般的にその構造に関する多くの情報を与えるため、低次元トポロジーの興味深い特殊なケースです。${\displaystyle M}$3次元多様体であり、${\displaystyle \pi =\pi _{1}(M)}$をその基本群とすると、そこから多くの情報を導き出すことができます。例えば、ポアンカレ双対性とヒューレビッチの定理を用いると、次のホモロジー群が得られます。

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{0}(M)&=H^{3}(M)=&\mathbb {Z} \\H_{1}(M)&=H^{2}(M)=&\pi /[\pi ,\pi ]\\H_{2}(M)&=H^{1}(M)=&{\text{Hom}}(\pi ,\mathbb {Z} )\\H_{3}(M)&=H^{0}(M)=&\mathbb {Z} \end{aligned}}}$

ここで、最後の 2 つのグループは、群ホモロジーとコホモロジーに同型である。${\displaystyle \pi }$それぞれ、つまり、

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{1}(\pi$ ;\mathbb {Z} )&\cong \pi /[\pi ,\pi ]\\H^{1}(\pi  ;\mathbb {Z} )&\cong {\text{Hom}}(\pi ,\mathbb {Z} )\end{aligned}}}

この情報から、3次元多様体の基本的なホモトピー理論的分類^{[ 1 ]}を見出すことができる。ポストニコフ塔からは、正準写像が存在することに注意されたい。

${\displaystyle q:M\to B\pi }$

基本階級の推進力を取り上げるならば${\displaystyle [M]\in H_{3}(M)}$の中へ${\displaystyle H_{3}(B\pi )}$要素を取得する${\displaystyle \zeta _{M}=q_{*}([M])}$グループは${\displaystyle \pi }$グループ相同性クラスとともに${\displaystyle \zeta _{M}\in H_{3}(\pi ,\mathbb {Z} )}$ホモトピー型の完全な代数的記述を与える${\displaystyle M}$。

ユークリッド3次元空間は、3次元多様体の最も重要な例であり、他のすべての多様体はこれとの関連で定義されます。これは、実数上の標準的な3次元ベクトル空間に他なりません。

3次元球面は、球面の高次元版です。4次元ユークリッド空間において、固定された中心点から等距離にある点の集合で構成されます。通常の球面（または2次元球面）が3次元空間における球の境界を形成する2次元表面であるのと同様に、3次元球面は4次元空間における球の境界を形成する3次元の物体です。3次元多様体の多くの例は、3次元球面を有限群で割ることによって構成できます。${\displaystyle \pi }$自由に行動する${\displaystyle S^{3}}$地図経由で${\displaystyle \pi \to {\text{SO}}(4)}$、 それで${\displaystyle M=S^{3}/\pi }$[ ^{3 ]​}

実射影3次元空間、またはRP3^は、 R4^の原点0を通る直線の位相空間です。これは3次元のコンパクトで滑らかな多様体であり、グラスマン空間Gr (1, R4 ⁾の特殊な場合です。

RP ³はSO(3)と微分同相であるため、群構造を持ちます。被覆写像S ³ → RP ³は群 Spin(3) → SO(3) の写像であり、Spin(3)はSO(3) の普遍被覆であるリー群です。

3次元トーラスは3つの円の積である。つまり、

${\displaystyle \mathbf {T} ^{3}=S^{1}\times S^{1}\times S^{1}.}$

3次元トーラスT3^{は、任意の座標における整数シフトによる}R3^の商として記述できる。すなわち、3次元トーラスは、整数格子Z3の作用（ベクトル加算として扱われる^）を法とするR3である^。言い換えれば、3次元トーラスは、3次元立方体の対向する面同士を貼り合わせることによって得られる。

この意味での3次元トーラスは、3次元コンパクト多様体の一例である。また、コンパクトアーベルリー群の一例でもある。これは、単位円が（乗法を持つ単位複素数と同一視した場合）コンパクトアーベルリー群であるという事実から導かれる。トーラス上の群乗法は、座標ごとの乗法によって定義される。

双曲空間は、一定の負の曲率によって特徴付けられる均質な空間です。これは双曲幾何学のモデルです。これは、ユークリッド幾何学を定義するゼロ曲率のユークリッド空間や、一定の正の曲率を持つ楕円幾何学のモデル（ 3次元球面など）とは区別されます。より高次元のユークリッド空間に埋め込まれると、双曲空間のすべての点は鞍点になります。もう1つの特徴は、双曲3次元空間における3次元球が占める空間の量です。これは、球の半径に対して多項式的にではなく、指数関数的に増加します。

ポアンカレホモロジー球（ポアンカレ十二面体空間とも呼ばれる）は、ホモロジー球の特殊な例である。球面3次元多様体であるポアンカレホモロジー球は、（ 3次元球自体を除けば）有限の基本群を持つ唯一のホモロジー3次元球である。その基本群は二元二十面体群として知られ、位数は120である。このことから、ポアンカレ予想はホモロジーの観点からのみ述べることはできないことがわかる。

2003年、 WMAP宇宙船が1年間観測した宇宙マイクロ波背景放射の最大スケール（60度以上）に構造が見られなかったことから、パリ天文台のジャン＝ピエール・リュミネ氏らは、宇宙の形状はポアンカレ球であると提唱した。 ^{[ 4 ] [ 5 ]} 2008年、天文学者たちは、WMAP宇宙船による3年間の観測データを用いて、このモデルに最適な天球上の向きを見つけ、モデルの予測の一部を確認した。^{[ 6 ]} しかし、今のところ、このモデルの正しさを強く裏付ける証拠はない。

数学において、ザイフェルト・ウェーバー空間（ヘルベルト・ザイフェルトとコンスタンティン・ウェーバーによって導入された）は、閉じた双曲型3次元多様体である。ザイフェルト・ウェーバー十二面体空間、双曲型十二面体空間とも呼ばれる。これは、最初に発見された閉じた双曲型3次元多様体の例の一つである。

これは、正十二面体の各面をその反対側の面に接着して閉じた3次元多様体を生成することによって構築されます。この接着を一貫して行う方法は3つあります。反対側の面は1/10回転ずれているため、それらを一致させるには、1/10、3/10、または5/10回転させる必要があります。3/10回転するとザイフェルト・ウェーバー空間が得られます。1/10回転するとポアンカレホモロジー球面が得られ、5/10回転すると3次元実射影空間が得られます。

3/10回転接着パターンでは、元の十二面体の辺が5つずつグループに接着されます。したがって、ザイフェルト・ウェーバー空間では、各辺は5つの五角形の面に囲まれ、これらの五角形間の二面角は72°です。これは、ユークリッド空間の正十二面体の二面角117°とは一致しませんが、双曲空間には60°から117°までの任意の二面角を持つ正十二面体が存在し、二面角72°の双曲十二面体を使用して、ザイフェルト・ウェーバー空間に双曲多様体としての幾何学的構造を与えることができます。これは、この二面角を持つ十二面体による双曲3空間の正則なテセレーションである、次数5の十二面体ハニカムの商空間です。

数学において、ギーゼキング多様体は、有限体積を持つ尖点付き双曲型3次元多様体である。向き付け不可能であり、非コンパクト双曲型多様体の中で最小の体積を持ち、その体積は約1.01494161である。これは、フーゴ・ギーゼキング（1912年）によって発見された。 

ギーゼキング多様体は、正四面体から頂点を取り除き、アフィン線形写像を用いて面をペアで貼り合わせることで構築できます。頂点を0、1、2、3とします。頂点0、1、2を持つ面を、頂点3、1、0を持つ面にこの順に貼り合わせます。次に、頂点0、2、3を持つ面を、頂点3、2、1を持つ面にこの順に貼り合わせます。ギーゼキング多様体の双曲構造において、この理想的な正四面体は、David BA EpsteinとRobert C. Pennerによる標準的な多面体分解です。^{[ 7 ]} さらに、面が作る角度は${\displaystyle \pi /3}$この三角形分割では、1つの正四面体、2つの面、1つの辺、そして頂点がないため、元の正四面体のすべての辺が貼り合わされています。

双曲リンクとは、補空間を持つ3次元球面上のリンクで、一定の負の曲率を持つ完全リーマン計量を持つもの、すなわち双曲幾何学を持つものです。双曲結び目とは、1つの成分を持つ双曲リンクのことです。

以下の例は特に有名で、研究も盛んに行われている。

• 8の字結び
• ホワイトヘッドとの関連
• ボロメオの環

これらのクラスは必ずしも相互に排他的ではない。

接触幾何学は、接束内の超平面分布によって与えられ、かつ1 形式によって指定される滑らかな多様体上の幾何学的構造の研究であり、どちらも「完全非積分性」と呼ばれる「最大非退化性」条件を満たします。フロベニウスの定理から、この条件は、分布が多様体上の余次元 1 の葉層構造によって決定されるという条件（「完全積分性」）の反対であることが分かります。

接触幾何学は、偶数次元の世界に属するシンプレクティック幾何学の奇数次元版と言える。接触幾何学とシンプレクティック幾何学はどちらも、古典力学の数学的定式化に触発されたものであり、そこでは力学系の偶数次元位相空間、あるいは時間変数を含む奇数次元拡張位相空間のいずれかを考えることができる。

ハーケン多様体とは、十分に大きなコンパクトでP² 既約な3 次元多様体であり、適切に埋め込まれた両面非圧縮性曲面を含んでいます。場合によっては、向き付け可能なハーケン多様体のみを考えることもあり、その場合、ハーケン多様体は、向き付け可能な非圧縮性曲面を含む、コンパクトで向き付け可能な既約な 3 次元多様体となります。

ハーケン多様体によって有限に覆われた3次元多様体は、仮想ハーケン多様体であると言われる。仮想ハーケン予想は、基本群が無限であるコンパクトかつ既約な3次元多様体はすべて仮想ハーケン多様体であると主張する。

ハーケン多様体は、ヴォルフガング・ハーケンによって導入されました。ハーケンは、ハーケン多様体には階層構造があり、非圧縮面に沿って3次元球に分割できることを証明しました。また、3次元多様体に非圧縮面が存在する場合、それを見つけるための有限な手順があることも示しました。ヤコとオーテルは、3次元多様体がハーケン多様体であるかどうかを判定するアルゴリズムを提供しました。

本質的な積層構造とは、積層構造の各葉が非圧縮性であり、端部も非圧縮性であり、積層構造の相補領域が既約であり、かつ球状の葉が存在しない積層構造のことである。

本質的な層状構造は、ハーケン多様体に見られる非圧縮性表面を一般化したものである。

ヒーガード分割とは、コンパクトな向き付けられた3次元多様体を2つのハンドルボディに分割することによって得られる分解のことである。

閉じた向き付け可能な3次元多様体はすべてこのようにして得られる。これは、モーズによる3次元多様体の三角化可能性に関する深い研究結果から導かれる。これは、滑らかな構造や区分的線形構造を必ずしも許容しない高次元多様体とは大きく異なる。滑らかさを仮定すると、スメールによるモース理論に基づくハンドル分解の研究からも、ヒーガード分割の存在が導かれる。

タイト葉層とは、 3次元多様体の余次元1葉層のうち、すべての葉と交差する単一の横断円が存在する性質を持つ葉層のことである。横断円とは、葉層の接場に常に横断する閉ループを意味する。言い換えれば、デニス・サリバンの結果によれば、各葉を極小曲面にするリーマン計量が存在する場合、余次元1葉層はタイトである。

引き締まった葉脈構造は、ウィリアム・サーストンとデイヴィッド・ガバイの作品によって広く知られるようになった。

幾何学的トポロジーにおいて、エドウィン・E・モイーズによって証明されたモイーズの定理は、任意の位相的3次元多様体は本質的に一意な区分的線形構造と滑らかな構造を持つことを述べている。

その結果として、すべてのコンパクト3次元多様体はヒーガード分割を持つ。

3次元多様体の素分解定理は、コンパクトで向き付け可能なすべての3次元多様体は、一意の（同相を除いて）素3次元多様体の連結和であると述べている。

多様体は、同じ次元の球面ではない複数の多様体の連結和として表すことができない場合、素多様体と呼ばれる。

クネーザー・ハーケン有限性によれば、任意のコンパクトな3次元多様体に対して、定数Cが存在し、 Cより大きい濃度を持つ互いに素な非圧縮埋め込み曲面の任意の集合は平行な要素を含まなければならない。

ループ定理はデーンの補題の一般化であり、より正確には「円盤定理」と呼ぶべきである。これは1956年にクリストス・パパキリアコプロスによって、デーンの補題および球面定理とともに初めて証明された。

ループ定理の単純で便利なバージョンは、マップが存在する場合、

${\displaystyle f\colon (D^{2},\partial D^{2})\to (M,\partial M)\,}$

と${\displaystyle f|\partial D^{2}}$ヌルホモトピックではない${\displaystyle \partial M}$そうすれば、同じ性質を持つ埋め込みが存在する。

パパキリアコプロス（1957 ）の球面定理は、 3次元多様体の第2ホモトピー群の要素が埋め込み球面によって表現されるための条件を与える。 

一例として、以下が挙げられます。

させて${\displaystyle M}$向き付け可能な3次元多様体であり、${\displaystyle \pi _{2}(M)}$は自明群ではない。すると、 の非零元が存在する。 ${\displaystyle \pi _{2}(M)}$埋め込み型の代表者を持つこと${\displaystyle S^{2}\to M}$。

環状領域定理とは、3次元多様体の境界上の互いに素な2つの単純閉曲線が自由ホモトピックであるならば、それらは適切に埋め込まれた環状領域を囲むという定理である。これは、同名の高次元定理と混同してはならない。

トーラス定理は次のとおりです。M をコンパクトで既約な境界を持つ 3 次元多様体とします。M がトーラスの本質的な写像を持つ場合、M はトーラスまたは環状領域の本質的な埋め込みを持ちます^{[ 8 ]}

JSJ分解（トーラル分解とも呼ばれる）は、次の定理によって与えられる位相構造である。

既約で向き付け可能な 閉じた（つまりコンパクトで境界のない）3次元多様体は、互いに分離して埋め込まれた非圧縮性トーラスの一意な（同位性を除いて）最小集合を持ち、トーラスに沿って切断することによって得られる3次元多様体の各成分は、アトロイド状かザイフェルトファイバー状のいずれかになります。

JSJ という略語は、ウィリアム・ジャコ、ピーター・シャレン、クラウス・ヨハンソンの頭文字です。最初の 2 人は共同で作業し、3 人は独立して作業しました。^{[ 9 ] [ 10 ]}

スコットのコア定理は、 G. ピーター・スコットによる3次元多様体の基本群の有限表現可能性に関する定理である。^{[ 11 ]} 正確な記述は以下のとおりである。

有限生成基本群を持つ3次元多様体（必ずしもコンパクトではない）が与えられたとき、コンパクトコアまたはスコットコアと呼ばれるコンパクトな3次元部分多様体が存在し、その包含写像が基本群に同型写像を誘導する。特に、これは有限生成3次元多様体群が有限表示可能であることを意味する。

簡略化された証明は^{[ 12 ]に示されており、より強力な一意性に関する記述は[ 13 ]}で証明されている。

リコリッシュ・ウォレスの定理によれば、閉じた向き付け可能な連結な3次元多様体は、 3次元球面内の枠付きリンクにデーン手術を行うことで得られる。${\displaystyle \pm 1}$手術係数。さらに、リンクの各構成要素は結び目がないものと仮定できる。

フリードヘルム・ヴァルトハウゼンの位相的剛性に関する定理によれば、特定の3次元多様体（例えば、非圧縮性の表面を持つもの）は、境界を尊重する基本群の同型写像が存在する場合に同相である。

ヴァルトハウゼンは、任意の閉じた向き付け可能な3次元多様体には、任意の種数に対して（同相を除いて）有限個のヒーガード分割しか存在しないと推測した。

スミス予想 （現在は証明済み）は、fが有限位数の3 次元球面 の微分同相写像である場合、fの不動点集合は非自明な結び目ではない、と述べている。

巡回手術定理は、境界がトーラスTであるコンパクトで連結で向き付け可能な既約の3 次元多様体Mについて、Mがセイフェルトファイバー空間ではなく、r、sがT上の傾斜であり、それらのデーン充填が巡回基本群を持つ場合、 rとsの間の距離( rとsを表すT内の 2 つの単純閉曲線が交差する最小回数) は最大で 1 であると述べています。したがって、巡回基本群を持つMのデーン充填は最大で 3 つです。

サーストンの双曲型デーン手術定理は次のように述べている。 ${\displaystyle M(u_{1},u_{2},\dots ,u_{n})}$例外的な傾きの有限集合が存在する限り、双曲線的である。${\displaystyle E_{i}}$各iについてi番目の尖点では回避される。さらに、${\displaystyle M(u_{1},u_{2},\dots ,u_{n})}$すべての​​​${\displaystyle p_{i}^{2}+q_{i}^{2}\rightarrow \infty }$すべての人々のために${\displaystyle p_{i}/q_{i}}$空でないデーン充填物に対応する${\displaystyle u_{i}}$。

この定理はウィリアム・サーストンによるもので、双曲3次元多様体の理論の基礎となるものです。この定理は、 Hに非自明な極限が存在することを示しています。トロエルス・ヨルゲンセンによる幾何学的トポロジーの研究は、すべての非自明な極限が、この定理にあるようにデーン充填によって生じることをさらに示しています。

サーストンによるもう一つの重要な結果は、双曲型デーン充填の下で体積が減少するというものである。実際、この定理は、デーン充填された多様体が双曲型であることを前提として、位相的デーン充填の下で体積が減少することを述べている。証明はグロモフノルムの基本的な性質に基づいている。

ヨルゲンセンはまた、この空間上の体積関数が連続かつ適切な関数であることを示した。したがって、これまでの結果により、Hにおける非自明な極限は、体積の集合における非自明な極限に取られる。実際、サーストンと同様に、有限体積の双曲型 3 次元多様体の体積の集合は順序型であると結論付けることができる。${\displaystyle \omega ^{\omega }}$この結果はサーストン＝ヨルゲンセンの定理として知られています。この集合を特徴づけるさらなる研究はグロモフによって行われました。

また、Gabai、Meyerhoff、Milleyは、Weeks多様体が、閉じた向き付け可能な双曲型3次元多様体の中で最小の体積を持つことを示した。

サーストンの幾何化定理の一形式は次のように述べている。Mが境界のオイラー標数がゼロであるコンパクトな既約アトロイドハーケン多様体である場合、Mの内部は有限体積の完全な双曲構造を持つ。

モストウの剛性定理によれば、次元が3以上の多様体が有限体積の双曲構造を持つ場合、それは本質的に一意である。

多様体Mが既約かつアトロイドであるという条件は、双曲多様体がこれらの性質を持つため必要である。しかし、多様体がハーケンであるという条件は不必要に強い。サーストンの双曲化予想は、無限基本群を持つ閉じた既約アトロイド 3 次元多様体が双曲的であると述べており、これはペレルマンによるサーストン幾何化予想の証明から導かれる。

穏やか性定理は、有限生成基本群を持つすべての完全双曲3次元多様体は位相的に穏やかである、言い換えればコンパクト3次元多様体の内部と同相であると述べている。

穏やか性定理はマーデンによって予想され、アゴルによって、またダニー・カレガリとデイビッド・ガバイによって独立に証明された。これは、クライン群の密度定理および終端層状定理とともに、幾何学的に無限な双曲型3次元多様体の基本的な性質の1つである。また、アールフォルス測度予想も含意する。

ウィリアム・サーストンが最初に予想し、後にジェフリー・ブロック、リチャード・カナリー、ヤイル・ミンスキーによって証明された終端層状定理は、有限生成基本群を持つ双曲3次元多様体は、その位相と、多様体の境界にあるいくつかの曲面上の測地線層状構造である特定の「終端不変量」によって決定されると述べている。

3次元球面は、現在証明されているポアンカレ予想のため、特に重要な3次元多様体である。もともとアンリ・ポアンカレによって予想されたこの定理は、局所的には通常の3次元空間のように見えるが、連結で有限の大きさであり、境界を持たない空間（閉じた3次元多様体）に関するものである。ポアンカレ予想は、そのような空間が、空間内の各ループを連続的に一点に締め付けることができるという追加の性質を持つならば、それは必然的に3次元球面であると主張している。同様の結果は、より高次元では以前から知られていた。

数学者たちが1世紀近くにわたって努力を重ねてきた末、グリゴリー・ペレルマンは2002年と2003年にarXivで公開した3つの論文で、この予想の証明を発表した。この証明は、リチャード・S・ハミルトンがリッチフローを用いてこの問題に取り組むという計画に基づいている。ペレルマンは、標準的なリッチフローを改良した「外科手術付きリッチフロー」を導入し、特異領域が発生するにつれて、それを制御された方法で系統的に切除するようにした。複数の数学者チームが、ペレルマンの証明が正しいことを検証している。

サーストンの幾何化予想は、特定の3次元位相空間にはそれぞれ固有の幾何学的構造が関連付けられるというものです。これは、すべての単連結リーマン面には3つの幾何学（ユークリッド幾何学、球面幾何学、双曲幾何学）のいずれかが与えられるという2次元曲面の一様化定理の類似物です。3次元では、位相空間全体に単一の幾何学を割り当てることは必ずしも可能ではありません。代わりに、幾何化予想は、すべての閉じた3次元多様体は、それぞれが8種類の幾何学的構造のいずれかを持つ断片に標準的な方法で分解できるというものです。この予想はウィリアム・サーストン（1982年）によって提唱され、ポアンカレ予想やサーストンの楕円化予想など、他のいくつかの予想を暗示しています。

サーストンの 双曲化定理は、ハーケン多様体が幾何化予想を満たすことを示唆している。サーストンは1980年代にその証明を発表し、それ以来、いくつかの完全な証明が出版されている。

グリゴリ・ペレルマンは2003年に、手術を伴うリッチフローを用いて、完全な幾何化予想の証明の概略を示した。現在では、その証明の詳細を記した複数の異なる論文が存在する（下記参照）。ポアンカレ予想と球面空間形式予想は幾何化予想の系であるが、ポアンカレ予想には幾何化予想に至らないより短い証明も存在する。

アメリカの数学者ウィリアム・サーストンによって定式化された仮想ファイバー予想は、無限基本群を持つすべての閉じた既約アトロイド3次元多様体は、円上の曲面束である有限被覆を持つと述べている。

事実上のハーケン予想とは、無限基本群を持つコンパクトで向き付け可能かつ既約な3次元多様体はすべて事実上のハーケン多様体であるという予想である。つまり、有限被覆（有限対1の被覆写像を持つ被覆空間）がハーケン多様体であるということである。

2009 年 8 月 25 日に ArXiv に投稿された^{[ 14 ]} Daniel Wise は、（当時未発表のより長い原稿を参照することにより）3 次元多様体が閉じていて双曲的で Haken である場合に仮想ファイバー予想を証明したことを暗黙のうちに示唆した。これに続いて Electronic Research Announcements in Mathematical Sciences に調査記事が掲載された。^{[ 15 ]}前述の Wise によるより長い原稿を含め、 さらにいくつかのプレプリント^{[ 16 ]}が続いた。^{[ 17 ]} 2012 年 3 月、パリのアンリ・ポアンカレ研究所での会議で、 Ian Agol は閉じた双曲 3 次元多様体に対して仮想ハーケン予想を証明できると発表した。^{[ 18 ]}この証明は、表面部分群予想の証明におけるカーンとマルコヴィッチの結果^{[ 19 ] [ 20 ]}、マルノーマル特殊商定理の証明におけるワイズの結果^{[ 17 ]}、および群の累積に関するベルジュロンとワイズの結果^{[ 14 ]}に基づいている。ワイズの結果と合わせると、これはすべての閉じた双曲3次元多様体に対する仮想ファイバー予想を意味する。

もし${\displaystyle f\colon S\rightarrow T}$は、閉じた連結曲面のマップであり、${\displaystyle f_{\star }\colon \pi _{1}(S)\rightarrow \pi _{1}(T)}$単射でないならば、非縮約可能な単純閉曲線が存在する。${\displaystyle \alpha \subset S}$そのため${\displaystyle f|_{a}}$これはホモトピー的に自明である。この予想はDavid Gabaiによって証明された。

フリードヘルム・ヴァルトハウゼンの表面部分群予想は、無限基本群を持つすべての閉じた既約3次元多様体の基本群が表面部分群を持つと述べている。ここでいう「表面部分群」とは、2次元球面ではなく、閉じた曲面の基本群を意味する。この問題は、カービーの問題リストで問題3.75として挙げられている。^{[ 21 ]}

幾何化予想を仮定すると、未解決のケースは閉じた双曲型 3 次元多様体のみであった。このケースの証明は、2009 年夏にJeremy KahnとVladimir Markovicによって発表され、2009 年 8 月 4 日にユタ大学主催の FRG (Focused Research Group) 会議での講演で概説された。プレプリントは 2009 年 10 月に arxiv に掲載された。^{[ 22 ]}彼らの論文は2012 年にAnnals of Mathematicsに掲載された。^{[ 23 ]} 2012 年 6 月に、Kahn と Markovic は、オックスフォードでの式典でクレイ数学研究所からクレイ研究賞を 授与された。^{[ 24 ]}

ケーブル予想は、3-球面上の結び目に対するデーン手術によって可約な3-多様体が得られるならば、その結び目は${\displaystyle (p,q)}$-ケーブルを別の結び目に結び、手術は傾斜を利用して行われたに違いない${\displaystyle pq}$。