トーラスバンドル

トーラス束は、数学における幾何学的位相幾何学のサブフィールドでは、円上の一種の曲面束であり、 3次元多様体の一種です。

トーラス束を得るには、2次元トーラスの向き保存同相写像を とします。すると、3次元多様体は次のように得られます。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle T}$${\displaystyle M(f)}$

• の直積と単位区間をとり、${\displaystyle T}$
• 結果として得られる多様体の境界の 1 つの要素を、マップを介して他の境界要素に接着します。${\displaystyle f}$

すると、モノドロミーを持つトーラスバンドルになります。 ${\displaystyle M(f)}$ ${\displaystyle f}$

たとえば、 が恒等写像（つまり、トーラスのすべての点を固定する写像）である場合、結果として得られるトーラス束は3 次元トーラス、つまり 3 つの円の直積です。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle M(f)}$

トーラスバンドルの可能な種類をより詳細に見るには、ウィリアム・サーストンの幾何学化プログラムを理解する必要があります。簡単に言うと、が有限次数の場合、多様体はユークリッド幾何学を持ちます。がデーンツイストのべき乗 の場合、Nil 幾何学 を持ちます。最後に、がアノソフ写像 の場合、結果として得られる 3 次元多様体はSol 幾何学 を持ちます。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle M(f)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle M(f)}$${\displaystyle f}$

これら 3 つのケースは、トーラスのホモロジーに対するの作用のトレースの絶対値の 3 つの可能性、つまり 2 未満、2 に等しい、または 2 より大きい、に正確に対応します。 ${\displaystyle f}$

• ジェフリー・R・ウィークス（2002年）『空間の形』（第2版）マルセル・デッカー社ISBN 978-0824707095。