3D回転グループ

力学と幾何学において、3次元回転群はSO (3)と表記されることが多く、合成操作の下での3次元ユークリッド空間の原点の周りのすべての回転の群である。^[1] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

定義により、原点の周りの回転は、原点、ユークリッド距離（したがって等長変換）、および方向（つまり、空間の左右性）を保存する変換です。 2 つの回転を合成すると別の回転になり、すべての回転には一意の逆回転があり、恒等写像は回転の定義を満たします。 上記の特性（合成回転の結合特性に沿った特性）により、すべての回転の集合は合成群になります。

すべての非自明な回転は、回転軸（原点を通る直線）と回転角度によって決まります。回転は可換ではありません（たとえば、xy 平面でR を90° 回転させてから yz 平面でSを 90° 回転させるのは、 S の後にR を回転することと同じではありません）。そのため、3D 回転群は非可換群になります。さらに、回転群は、群演算が滑らかに微分可能な多様体として自然な構造を持っているため、実際にはリー群です。コンパクトで次元は 3 です。

回転はの線形変換であるため、の基底が選択されると、 は行列で表すことができます。具体的には、の正規直交基底を選択した場合、すべての回転は、行列式が 1 である直交 3 × 3 行列(つまり、転置を乗算すると単位行列になる実数要素を持つ 3 × 3 行列) によって記述されます。したがって、群 SO(3) は、行列乗算の下でのこれらの行列の群と同一視できます。これらの行列は「特殊直交行列」と呼ばれ、SO(3) という表記法が説明されています。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

SO(3) 群は、物体の回転対称性と空間における物体の向きを記述するために使用されます。その表現は物理学において重要であり、整数スピンの素粒子を生み出します。

回転では、長さだけでなく、ベクトル間の角度も保存されます。これは、 2 つのベクトルuとv間の標準的なドット積が純粋に長さだけで表せるという事実から導かれます (余弦定理を参照)。 $${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} ={\frac {1}{2}}\left(\|\mathbf {u} +\mathbf {v} \|^{2}-\|\mathbf {u} \|^{2}-\|\mathbf {v} \|^{2}\right).}$$

したがって、 における長さを保存するすべての線形変換はドット積を保存し、したがってベクトル間の角度も保存します。回転は、 上の内積を保存する線形変換として定義されることが多く、これは長さを保存することを要求するのと同じです。このより一般的なアプローチの扱いについては、古典群を参照してください。ここでは、SO(3) が特殊なケースとして登場します。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

すべての回転は、の正規直交基底を別の正規直交基底に写像します。有限次元ベクトル空間の任意の線形変換と同様に、回転は常に行列で表すことができます。R を与えられた回転とします。標準基底e ₁、e ₂、e ₃に関して、Rの列は( R e ₁、R e ₂、R e ₃ )で与えられます。標準基底は正規直交であり、R は角度と長さを保存するため、 Rの列は別の正規直交基底を形成します。この正規直交条件は、次の形式で表すことができます。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

${\displaystyle R^{\mathsf {T}}R=RR^{\mathsf {T}}=I,}$

ここで、R ^{T は}Rの転置行列、I は3 × 3単位行列です。この特性が成り立つ行列は直交行列と呼ばれます。すべての3 × 3直交行列のグループはO(3)で表され、すべての適切な回転と不適切な回転で構成されます。

長さを保存することに加えて、適切な回転は方向も保存する必要があります。行列は、行列の行列式が正か負かに応じて方向を保存または反転します。直交行列Rの場合、det R ^T = det Rは(det R ) ² = 1を意味し、 det R = ±1となることに注意してください。行列式が+1である直交行列の部分群は特殊直交群と呼ばれ、SO(3)と表記されます。

したがって、すべての回転は単位行列式を持つ直交行列によって一意に表すことができます。さらに、回転の合成は行列の乗算に対応するため、回転群は特殊直交群SO(3)と同型です。

不適切回転は行列式が−1である直交行列に対応し、2 つの不適切回転の積は適切回転であるため、グループを形成しません。

回転群は関数合成（または線型変換の積）による群である。これは、実3次元空間のすべての可逆線型変換からなる一般線型群の部分群である。^[2] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

さらに、回転群は非可換です。つまり、回転が構成される順序によって違いが生じます。たとえば、正のx軸の周りを 1/4 回転し、続いて正のy軸の周りを 1/4 回転すると、最初にy の周りを回転してからx の周りを回転した場合とは異なる回転になります。

すべての適切な回転と不適切な回転からなる直交群は、反射によって生成されます。すべての適切な回転は 2 つの反射の合成であり、カルタン・ディウドネの定理の特別なケースです。

の有限部分群は完全に分類される。^[3]${\displaystyle \mathrm {SO} (3)}$

すべての有限部分群は、2 つの可算無限平面等長写像族（巡回群 または二面体群）のいずれかの元、または他の 3 つの群（四面体群、八面体群、または二十面体群）のいずれかに同型です。 ${\displaystyle C_{n}}$ ${\displaystyle D_{2n}}$ ${\displaystyle \cong A_{4}}$ ${\displaystyle \cong S_{4}}$ ${\displaystyle \cong A_{5}}$

3 次元におけるすべての非自明な適切な回転は、回転軸と呼ばれる一意の1 次元線形部分空間を固定します(これはオイラーの回転定理です)。このような各回転は、この軸に直交する平面内で通常の 2 次元回転として機能します。すべての 2 次元回転は角度φで表すことができるため、任意の 3 次元回転は、回転軸と、この軸を中心とした回転角度によって指定できます。(技術的には、軸の方向と、この方向に対して 回転を時計回りにするか反時計回りにするかを指定する必要があります)。${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

例えば、正のz軸を中心に角度φだけ反時計回りに回転すると、

${\displaystyle R_{z}(\phi )={\begin{bmatrix}\cos \phi &-\sin \phi &0\\\sin \phi &\cos \phi &0\\0&0&1\end{bmatrix}} 。}$

単位ベクトル nと角度φが与えられたとき、R ( φ ,  n ) がnを通る軸の周りの反時計回りの回転を表すものとする（方向はnによって決まる）。すると ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

• R (0, n )は任意のnに対する恒等変換である。
• R ( φ , n ) = R (− φ , − n )
• R ( π  +  φ , n ) = R ( π  −  φ , − n )。

これらの性質を用いると、任意の回転は0 ≤ φ ≤ πの範囲内の唯一の角度φと単位ベクトルnで表すことができ、

• φ = 0の場合、 nは任意である。
• 0 < φ < πの場合、 n は一意である。
• φ = πの場合、 n は符号を除いて一意です（つまり、回転R ( π、 ± n ) は同一です）。

次のセクションでは、この回転の表現を使用して、SO(3)を3次元実射影空間と位相的に同一視します。

リー群SO(3)は実射影空間に微分同相である^[4] ${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}(\mathbb {R} ).}$

半径πの球体(つまり、原点からの距離がπ以下のすべての点) を考えます。上記を考慮すると、この球体のすべての点に対して、軸が点と原点を通り、回転角度が点の原点からの距離に等しい回転が存在します。恒等回転は、球体の中心の点に対応します。0 からπの間(どちらも含まない) の角度 𝜃 による回転は、同じ軸上、同じ距離にあります。0 から - πの間の角度による回転は、同じ軸上、同じ距離にあるが原点の反対側にある点に対応します。残る 1 つの問題は、π を通る回転と - πを通る 2 つの回転が同じであることです。そのため、球体の表面上の反対称点を識別(または「接着」)します。この識別の後、回転群に 同相な位相空間に到達します。${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

実際、対蹠面の点が同一視された球は滑らかな多様体であり、この多様体は回転群に微分同相である。また、実 3 次元射影空間 にも微分同相であるため、後者は回転群の位相モデルとしても機能する。 ${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}(\mathbb {R} ),}$

これらの同一視は、SO(3) が連結しているが、単純連結ではないことを示している。後者については、対蹠面の点が同一視されている球体において、「北極」から内部をまっすぐに通り、南極まで伸びる経路を考える。北極と南極が同一視されているので、これは閉じたループである。このループは、どのように変形しても、開始点と終了点は対蹠面のままでなければならないため、1 点に縮小することはできない。さもないと、ループは「壊れてしまう」。回転に関して言えば、このループは、（例えば）恒等点（球体の中心）から始まり、南極を通り、北極にジャンプし、再び恒等回転で終わる、 z軸を中心とした連続した回転シーケンス（すなわち、角度φの回転シーケンス。ここで、φ は0 から2 πまで変化する）を表す。

驚くべきことに、パスを 2 回実行すると、つまり北極から南極まで走り、北極にジャンプして戻り (北極と南極は同一視されているという事実を使用)、次に再び北極から南極まで走り、φ が0 から 4 πまで実行されると、1 つのポイントに縮小できる閉ループが生成されます。最初に、パスをボールの表面まで連続的に移動し、北極と南極を 2 回接続します。次に、2 番目のパスをパスをまったく変更せずに反対側にミラーリングできます。これで、ボールの表面上に、大円に沿って北極とその極自身を接続する通常の閉ループができました。この円は問題なく北極まで縮小できます。プレートトリックや同様のトリックは、これを実際に示しています。

同じ議論は一般にも行うことができ、SO(3)の基本群は位数2の巡回群（2つの要素を持つ基本群）であることが示される。物理学の応用では、基本群の非自明性（複数の要素）により、スピノルと呼ばれるオブジェクトの存在が可能になり、スピン統計定理の発展において重要なツールとなる。

SO(3) の普遍被覆はSpin (3)と呼ばれるリー群である。Spin(3) 群は特殊ユニタリ群SU(2) と同型であり、単位3 球面S ^{3と微分同相でもあり、}ベルソル(絶対値が 1である四元数)の群として理解することができる。コンピュータグラフィックスでよく利用される四元数と回転の関係は、四元数と空間回転で説明されている。S ³の反対称点を識別するS ^3からSO (3) への写像は、核が {±1}であるリー群の射影準同型である。位相的には、この写像は 2 対 1 の被覆写像である (プレートトリックを参照)。

このセクションでは、 SU(2)からSO(3)への 2対1の射影準 同型の2つの異なる構成を示します。

SU(2)群は、^[5]によって与えられる写像を介して単位ノルムの四元数と同型である。 ただし、、、、、 に制限される。 $${\displaystyle q=a\mathbf {1} +b\mathbf {i} +c\mathbf {j} +d\mathbf {k} =\alpha +\beta \mathbf {j} \leftrightarrow {\begin{bmatrix }\alpha &\beta \\-{\overline {\beta }}&{\overline {\alpha }}\end{bmatrix}}=U}$$${\textstyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=|\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1}$${\textstyle q\in \mathbb {H} }$${\textstyle a,b,c,d\in \mathbb {R} }$${\textstyle U\in \operatorname {SU} (2)}$${\displaystyle \alpha =a+bi\in \mathbb {C} }$${\displaystyle \beta =c+di\in \mathbb {C} }$

ここでのスパンを と見なしてみましょう。が でが単位四元数であれば、 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k} }$${\displaystyle v}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle q}$$${\displaystyle qvq^{-1}\in \mathbb {R} ^{3}.}$$

さらに、写像はの回転です。また、は と同じです。これは、単位ノルムの四元数から3D回転群SO(3)への2:1準同型が存在することを意味します。 ${\displaystyle v\mapsto qvq^{-1}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$${\displaystyle (-q)v(-q)^{-1}}$${\displaystyle qvq^{-1}}$

この準同型性を明示的に解くことができる。単位四元数qは 回転行列に写像される。 $${\displaystyle {\begin{aligned}q&=w+x\mathbf {i} +y\mathbf {j} +z\mathbf {k} ,\\1&=w^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2},\end{aligned}}}$$$${\displaystyle Q={\begin{bmatrix}1-2y^{2}-2z^{2}&2xy-2zw&2xz+2yw\\2xy+2zw&1-2x^{2}-2z^{2}&2yz-2xw\\2xz-2yw&2yz+2xw&1-2x^{2}-2y^{2}\end{bmatrix}}.}$$

これは、ベクトル( x , y , z )の周りの角度2 θの回転です。ここで、cos θ = wかつ|sin θ | = ‖ ( x , y , z ) ‖ です。軸成分の符号が決まると、sin θの適切な符号が暗示されます。 qと− q はどちらも同じQにマッピングされるため、 2:1 の性質は明らかです。

このセクションの一般的な参考文献はGelfand、Minlos、Shapiro (1963)である。球面上の 点Pは

${\displaystyle \mathbf {S} =\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}:x^{2}+y^{2}+z^{2}={\frac {1}{4}}\right\}}$

北極N を除いて、 z = − ⁠で定義される平面M上の点S ( P ) = P'と一対一に一対一に並べることができる。1/2⁠、図を参照してください。マップS は立体投影と呼ばれます。

M上の座標を( ξ , η )とする。NとPを通る直線Lは次のようにパラメータ化できる。

${\displaystyle L(t)=N+t(N-P)=\left(0,0,{\frac {1}{2}}\right)+t\left(\left(0,0,{\frac {1}{2}}\right)-(x,y,z)\right),\quad t\in \mathbb {R} .}$

のz座標が等しいことを要求する− ⁠${\displaystyle L(t_{0})}$1/2⁠、

${\displaystyle t_{0}={\frac {1}{z-{\frac {1}{2}}}}.}$

私たちは地図を 持っています${\displaystyle L(t_{0})=(\xi ,\eta ,-1/2).}$

${\displaystyle {\begin{cases}S:\mathbf {S} \to M\\P=(x,y,z)\longmapsto P'=(\xi ,\eta )=\left({\frac {x}{{\frac {1}{2}}-z}},{\frac {y}{{\frac {1}{2}}-z}}\right)\equiv \zeta =\xi +i\eta \end{cases}}}$

ここで、後の便宜上、平面Mは複素平面と同一視される。${\displaystyle \mathbb {C} .}$

逆の場合、Lは次のように 書きます。

${\displaystyle L=N+s(P'-N)=\left(0,0,{\frac {1}{2}}\right)+s\left(\left(\xi ,\eta ,-{\frac {1}{2}}\right)-\left(0,0,{\frac {1}{2}}\right)\right),}$

そして需要x ² + y ² + z ² = ⁠1/4⁠ s = ⁠ を見つける1/1 + ξ ² + η ²⁠そしてこうして

${\displaystyle {\begin{cases}S^{-1}:M\to \mathbf {S} \\P'=(\xi ,\eta )\longmapsto P=(x,y,z)=\left({\frac {\xi }{1+\xi ^{2}+\eta ^{2}}},{\frac {\eta }{1+\xi ^{2}+\eta ^{2}}},{\frac {-1+\xi ^{2}+\eta ^{2}}{2+2\xi ^{2}+2\eta ^{2}}}\right)\end{cases}}}$

g ∈ SO(3) が回転である場合、埋め込み空間上の標準作用Π _s ( g )によってS上の点がS上の点に変換されます。この作用をSと合成すると、Mの変換S ∘ Π _s ( g ) ∘ S ⁻¹が得られます。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$

${\displaystyle \zeta =P'\longmapsto P\longmapsto \Pi _{s}(g)P=gP\longmapsto S(gP)\equiv \Pi _{u}(g)\zeta =\zeta '.}$

したがって、Π _u ( g ) は、の変換Π _s ( g )に関連付けられたの変換です。 ${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

このようにΠ _u ( g )で表されるg ∈ SO(3)は、行列Π _u ( g ) ∈ SU(2)として表現できることがわかります(ここで、表記は、それが表す変換と同じ名前を行列に使用して再利用されます)。この行列を識別するには、まず、角度φでz軸を中心にg _{φ を}回転させることを考えます。 ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}x'&=x\cos \phi -y\sin \phi ,\\y'&=x\sin \phi +y\cos \phi ,\\z'&=z.\end{aligned}}}$

したがって

${\displaystyle \zeta '={\frac {x'+iy'}{{\frac {1}{2}}-z'}}={\frac {e^{i\phi }(x+iy)}{{\frac {1}{2}}-z}}=e^{i\phi }\zeta ={\frac {e^{\frac {i\phi }{2}}\zeta +0}{0\zeta +e^{-{\frac {i\phi }{2}}}}},}$

これは当然のことながら、複素平面における回転である。同様に、g _{θ が}x軸の周りの角度θの回転である場合、

${\displaystyle w'=e^{i\theta }w,\quad w={\frac {y+iz}{{\frac {1}{2}}-x}},}$

これを少し代数的に計算すると、

${\displaystyle \zeta '={\frac {\cos {\frac {\theta }{2}}\zeta +i\sin {\frac {\theta }{2}}}{i\sin {\frac {\theta }{2}}\zeta +\cos {\frac {\theta }{2}}}}.}$

したがって、これら2つの回転は、R ² ≃ C ≃ Mの双線形変換に対応し、つまり、メビウス変換の例となります。 ${\displaystyle g_{\phi },g_{\theta },}$

一般的なメビウス変換は次のように表される。

${\displaystyle \zeta '={\frac {\alpha \zeta +\beta }{\gamma \zeta +\delta }},\quad \alpha \delta -\beta \gamma \neq 0.}$

回転はSO(3)のすべてを生成し、メビウス変換の合成規則は、任意の合成が対応するメビウス変換の合成に変換されることを示しています。メビウス変換は行列で表すことができます。 ${\displaystyle g_{\phi },g_{\theta }}$${\displaystyle g_{\phi },g_{\theta }}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{pmatrix}},\qquad \alpha \delta -\beta \gamma =1,}$

α、β、γ、δの公約数が相殺されるためです。

同じ理由で、行列は一意に定義されません。これは、 − Iによる乗算が行列式にもメビウス変換にも影響を与えないためです。メビウス変換の合成法則は、対応する行列の合成法則に従います。結論として、各メビウス変換は2つの行列g、 − g ∈ SL(2, C )に対応します。

この対応関係を使って次のように書くことができる。

${\displaystyle {\begin{aligned}\Pi _{u}(g_{\phi })&=\Pi _{u}\left[{\begin{pmatrix}\cos \phi &-\sin \phi &0\\\sin \phi &\cos \phi &0\\0&0&1\end{pmatrix}}\right]=\pm {\begin{pmatrix}e^{i{\frac {\phi }{2}}}&0\\0&e^{-i{\frac {\phi }{2}}}\end{pmatrix}},\\\Pi _{u}(g_{\theta })&=\Pi _{u}\left[{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\cos \theta &-\sin \theta \\0&\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}\right]=\pm {\begin{pmatrix}\cos {\frac {\theta }{2}}&i\sin {\frac {\theta }{2}}\\i\sin {\frac {\theta }{2}}&\cos {\frac {\theta }{2}}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$

これらの行列はユニタリ行列であり、Π _u (SO(3)) ⊂ SU(2) ⊂ SL(2, C )となる。オイラー角^[注1]の観点から、一般的な回転に対して

1つは^[6]

逆の場合、一般行列を考える。

${\displaystyle \pm \Pi _{u}(g_{\alpha ,\beta })=\pm {\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\-{\overline {\beta }}&{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}}\in \operatorname {SU} (2).}$

代替品を用意する

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos {\frac {\theta }{2}}&=|\alpha |,&\sin {\frac {\theta }{2}}&=|\beta |,&(0\leq \theta \leq \pi ),\\{\frac {\phi +\psi }{2}}&=\arg \alpha ,&{\frac {\psi -\phi }{2}}&=\arg \beta .&\end{aligned}}}$

代入により、Π( g _{α , β} )は( 2 )の右辺( RHS )の形をとり、これはΠ _uの下で同じφ、θ、ψ を持つ( 1 )の右辺の形上の行列に対応する。複素パラメータα、βに関しては、

${\displaystyle g_{\alpha ,\beta }={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}\left(\alpha ^{2}-\beta ^{2}+{\overline {\alpha ^{2}}}-{\overline {\beta ^{2}}}\right)&{\frac {i}{2}}\left(-\alpha ^{2}-\beta ^{2}+{\overline {\alpha ^{2}}}+{\overline {\beta ^{2}}}\right)&-\alpha \beta -{\overline {\alpha }}{\overline {\beta }}\\{\frac {i}{2}}\left(\alpha ^{2}-\beta ^{2}-{\overline {\alpha ^{2}}}+{\overline {\beta ^{2}}}\right)&{\frac {1}{2}}\left(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+{\overline {\alpha ^{2}}}+{\overline {\beta ^{2}}}\right)&-i\left(+\alpha \beta -{\overline {\alpha }}{\overline {\beta }}\right)\\\alpha {\overline {\beta }}+{\overline {\alpha }}\beta &i\left(-\alpha {\overline {\beta }}+{\overline {\alpha }}\beta \right)&\alpha {\overline {\alpha }}-\beta {\overline {\beta }}\end{pmatrix}}.}$

これを検証するには、α、βに（ 2 ）の右辺の行列の要素を代入する。いくつかの操作を行うと、行列は（ 1 ）の右辺の形になる。

オイラー角による明示的な形式から、写像

${\displaystyle {\begin{cases}p:\operatorname {SU} (2)\to \operatorname {SO} (3)\\\pm \Pi _{u}(g_{\alpha \beta })\mapsto g_{\alpha \beta }\end{cases}}}$

今述べたのは、滑らかで2:1の射影的な群準同型である。したがって、これは普遍被覆群SU(2)からのSO(3)の普遍被覆空間の明示的な記述である。

すべてのリー群には、リー代数が関連付けられており、これはリー群と同じ次元の線型空間で、リー括弧 と呼ばれる双線型交代積の下で閉じています。SO ( 3)のリー代数は で表され、すべての歪対称3 × 3行列から構成されます。^{[7]これは、}直交条件A ^T A = I、A ∈ SO(3)を微分することで確認できます。^{[注 2]}の 2 つの要素のリー括弧は、すべての行列群のリー代数と同様に、行列交換子 [ A 1 、 A 2 ] = A 1 A 2 − A 2 A 1 によって与えられ、これも歪_対称行列です_。リー代数_括弧は_、ベイカー・_{キャンベル}・_ハウスドルフ公式によって明確にされた意味で、リー群積の本質を捉えています。 ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$

の要素は回転の「無限小生成元」、すなわち、単位元における多様体SO(3)の接空間の要素である。 が単位ベクトルによって指定された軸の周りの角度φの反時計回りの回転を表す場合、 ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$${\displaystyle R(\phi ,{\boldsymbol {n}})}$${\displaystyle {\boldsymbol {n}},}$

${\displaystyle \forall {\boldsymbol {u}}\in \mathbb {R} ^{3}:\qquad \left.{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \phi }}\right|_{\phi =0}R(\phi ,{\boldsymbol {n}}){\boldsymbol {u}}={\boldsymbol {n}}\times {\boldsymbol {u}}.}$

これは、リー代数（交換子付き）がリー代数（積付き）と同型であることを示すために使用できます。この同型の下では、オイラーベクトルは、次のように定義される線型写像に対応します。${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\in \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle {\widetilde {\boldsymbol {\omega }}}}$${\displaystyle {\widetilde {\boldsymbol {\omega }}}({\boldsymbol {u}})={\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {u}}.}$

より詳しくは、3次元ベクトル空間 としての適切な基底は、${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$

${\displaystyle {\boldsymbol {L}}_{x}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{bmatrix}},\quad {\boldsymbol {L}}_{y}={\begin{bmatrix}0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0\end{bmatrix}},\quad {\boldsymbol {L}}_{z}={\begin{bmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}.}$

これらの基底要素の交換関係は、

${\displaystyle [{\boldsymbol {L}}_{x},{\boldsymbol {L}}_{y}]={\boldsymbol {L}}_{z},\quad [{\boldsymbol {L}}_{z},{\boldsymbol {L}}_{x}]={\boldsymbol {L}}_{y},\quad [{\boldsymbol {L}}_{y},{\boldsymbol {L}}_{z}]={\boldsymbol {L}}_{x}}$

これは、外積の下の 3 つの標準単位ベクトルの関係と一致します。${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

上で述べたように、このリー代数内の任意の行列はオイラーベクトルと同一視できる^[8]${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3},}$

${\displaystyle {\widehat {\boldsymbol {\omega }}}={\boldsymbol {\omega }}\cdot {\boldsymbol {L}}=x{\boldsymbol {L}}_{x}+y{\boldsymbol {L}}_{y}+z{\boldsymbol {L}}_{z}={\begin{bmatrix}0&-z&y\\z&0&-x\\-y&x&0\end{bmatrix}}\in {\mathfrak {so}}(3).}$

この同一視はハットマップと呼ばれることもある。^[9]この同一視では、括弧は外積に対応し、 ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

${\displaystyle \left[{\widehat {\boldsymbol {u}}},{\widehat {\boldsymbol {v}}}\right]={\widehat {{\boldsymbol {u}}\times {\boldsymbol {v}}}}.}$

ベクトルと同一視される行列は次のような性質を持つ。 ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}}$

${\displaystyle {\widehat {\boldsymbol {u}}}{\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {u}}\times {\boldsymbol {v}},}$

ここで、左辺は通常の行列の掛け算である。これは、それが同一視される歪対称行列の零空間にあることを意味する。なぜなら、${\displaystyle {\boldsymbol {u}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {u}}\times {\boldsymbol {u}}={\boldsymbol {0}}.}$

リー代数表現では、群SO(3)は1階のコンパクトで単純なので、3つの生成元すべてと可換な2次不変関数である独立したカシミール元を1つだけ持ちます。回転群のキリング形式はクロネッカーデルタなので、このカシミール不変量は代数の 生成元の2乗の和に過ぎません。${\displaystyle {\boldsymbol {J}}_{x},{\boldsymbol {J}}_{y},{\boldsymbol {J}}_{z},}$

${\displaystyle [{\boldsymbol {J}}_{x},{\boldsymbol {J}}_{y}]={\boldsymbol {J}}_{z},\quad [{\boldsymbol {J}}_{z},{\boldsymbol {J}}_{x}]={\boldsymbol {J}}_{y},\quad [{\boldsymbol {J}}_{y},{\boldsymbol {J}}_{z}]={\boldsymbol {J}}_{x}.}$

つまり、カシミール不変量は次のように与えられる。

${\displaystyle {\boldsymbol {J}}^{2}\equiv {\boldsymbol {J}}\cdot {\boldsymbol {J}}={\boldsymbol {J}}_{x}^{2}+{\boldsymbol {J}}_{y}^{2}+{\boldsymbol {J}}_{z}^{2}\propto {\boldsymbol {I}}.}$

ユニタリ既約表現 D ^jに対して、この不変量の固有値は実数かつ離散的であり、有限次元の各次元表現を特徴付ける。つまり、このカシミール演算子の固有値は ${\displaystyle 2j+1}$

${\displaystyle {\boldsymbol {J}}^{2}=-j(j+1){\boldsymbol {I}}_{2j+1},}$

ここで、j は整数または半整数であり、スピンまたは角運動量と呼ばれます。

したがって、上に示した 3 × 3 生成子L は三重項 (スピン 1) 表現に作用し、下に示した 2 × 2 生成子tは二重項(スピン 1/2 ) 表現に作用します。 D ^1/2とそれ自体のクロネッカー積を繰り返し取ることで、すべての高次の既約表現D ^{j を}構築できます。つまり、任意の大きさのjに対して、3 空間次元の高次スピン システムの結果の生成子は、これらのスピン演算子とラダー演算子を使用して計算できます。

すべてのユニタリ既約表現D ^jに対して、同等の表現D ^{− j −1}が存在します。群がコンパクトであるため、すべての無限次元既約表現は非ユニタリでなければなりません。

量子力学では、カシミール不変量は「角運動量の二乗」演算子です。スピンjの整数値はボソン表現を特徴づけ、半整数値はフェルミオン表現を特徴づけます。上で使用した反エルミート行列は、 iを乗算した後、スピン演算子として使用され、エルミート行列になります(パウリ行列のように)。したがって、この言語では、

${\displaystyle [{\boldsymbol {J}}_{x},{\boldsymbol {J}}_{y}]=i{\boldsymbol {J}}_{z},\quad [{\boldsymbol {J}}_{z},{\boldsymbol {J}}_{x}]=i{\boldsymbol {J}}_{y},\quad [{\boldsymbol {J}}_{y},{\boldsymbol {J}}_{z}]=i{\boldsymbol {J}}_{x}.}$

そしてそれゆえ

${\displaystyle {\boldsymbol {J}}^{2}=j(j+1){\boldsymbol {I}}_{2j+1}.}$

これらのD ^jの明示的な表現は、

${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\boldsymbol {J}}_{z}^{(j)}\right)_{ba}&=(j+1-a)\delta _{b,a}\\\left({\boldsymbol {J}}_{x}^{(j)}\right)_{ba}&={\frac {1}{2}}\left(\delta _{b,a+1}+\delta _{b+1,a}\right){\sqrt {(j+1)(a+b-1)-ab}}\\\left({\boldsymbol {J}}_{y}^{(j)}\right)_{ba}&={\frac {1}{2i}}\left(\delta _{b,a+1}-\delta _{b+1,a}\right){\sqrt {(j+1)(a+b-1)-ab}}\\\end{aligned}}}$

ここで、j は任意であり、 です。 ${\displaystyle 1\leq a,b\leq 2j+1}$

例えば、スピン1（ ） のスピン行列は、${\displaystyle j=1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {J}}_{x}&={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}\\{\boldsymbol {J}}_{y}&={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix}}\\{\boldsymbol {J}}_{z}&={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$

ただし、これらが、 直交座標基底のi Lと同等 ではあるが異なる基底である球面基底にあることに注意してください。 ^{[nb 3]}

スピンのような高スピンの場合、⁠3/2⁠ ( ): ${\displaystyle j={\tfrac {3}{2}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {J}}_{x}&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}0&{\sqrt {3}}&0&0\\{\sqrt {3}}&0&2&0\\0&2&0&{\sqrt {3}}\\0&0&{\sqrt {3}}&0\end{pmatrix}}\\{\boldsymbol {J}}_{y}&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}0&-i{\sqrt {3}}&0&0\\i{\sqrt {3}}&0&-2i&0\\0&2i&0&-i{\sqrt {3}}\\0&0&i{\sqrt {3}}&0\end{pmatrix}}\\{\boldsymbol {J}}_{z}&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}3&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-3\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$

スピン用⁠5/2⁠ ( ), ${\displaystyle j={\tfrac {5}{2}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {J}}_{x}&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}0&{\sqrt {5}}&0&0&0&0\\{\sqrt {5}}&0&2{\sqrt {2}}&0&0&0\\0&2{\sqrt {2}}&0&3&0&0\\0&0&3&0&2{\sqrt {2}}&0\\0&0&0&2{\sqrt {2}}&0&{\sqrt {5}}\\0&0&0&0&{\sqrt {5}}&0\end{pmatrix}}\\{\boldsymbol {J}}_{y}&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}0&-i{\sqrt {5}}&0&0&0&0\\i{\sqrt {5}}&0&-2i{\sqrt {2}}&0&0&0\\0&2i{\sqrt {2}}&0&-3i&0&0\\0&0&3i&0&-2i{\sqrt {2}}&0\\0&0&0&2i{\sqrt {2}}&0&-i{\sqrt {5}}\\0&0&0&0&i{\sqrt {5}}&0\end{pmatrix}}\\{\boldsymbol {J}}_{z}&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}5&0&0&0&0&0\\0&3&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\0&0&0&-1&0&0\\0&0&0&0&-3&0\\0&0&0&0&0&-5\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$

リー代数とリー代数は同型である。の1つの基底は^[10]で与えられる。${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$

${\displaystyle {\boldsymbol {t}}_{1}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}0&-i\\-i&0\end{bmatrix}},\quad {\boldsymbol {t}}_{2}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}},\quad {\boldsymbol {t}}_{3}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}-i&0\\0&i\end{bmatrix}}.}$

これらはパウリ行列と次のように 関係している。

${\displaystyle {\boldsymbol {t}}_{i}\longleftrightarrow {\frac {1}{2i}}\sigma _{i}.}$

パウリ行列は、物理学者のリー代数の慣例に従う。その慣例では、リー代数の元はi倍され、指数写像（下図）は指数にiの係数を追加して定義され、構造定数は同じままであるが、それらの定義はiの係数を取得する。同様に、交換関係はiの係数を取得する。の交換関係は、 ${\displaystyle {\boldsymbol {t}}_{i}}$

${\displaystyle [{\boldsymbol {t}}_{i},{\boldsymbol {t}}_{j}]=\varepsilon _{ijk}{\boldsymbol {t}}_{k},}$

ここでε _{ijk は}ε ₁₂₃ = 1となる完全に反対称な記号である。との間の同型性はいくつかの方法で設定できる。後の便宜上、と は写像によって識別される 。${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$

${\displaystyle {\boldsymbol {L}}_{x}\longleftrightarrow {\boldsymbol {t}}_{1},\quad {\boldsymbol {L}}_{y}\longleftrightarrow {\boldsymbol {t}}_{2},\quad {\boldsymbol {L}}_{z}\longleftrightarrow {\boldsymbol {t}}_{3},}$

直線的に拡張します。

SO(3)の指数写像は、SO(3)が行列リー群であり、標準行列指数級数を用いて定義されるので、

${\displaystyle {\begin{cases}\exp :{\mathfrak {so}}(3)\to \operatorname {SO} (3)\\A\mapsto e^{A}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}A^{k}=I+A+{\tfrac {1}{2}}A^{2}+\cdots .\end{cases}}}$

任意の歪対称行列 A∈𝖘𝖔 (3)に対して、e ^Aは常にSO(3)に属する。証明には行列指数の基本的性質を用いる。

${\displaystyle \left(e^{A}\right)^{\textsf {T}}e^{A}=e^{A^{\textsf {T}}}e^{A}=e^{A^{\textsf {T}}+A}=e^{-A+A}=e^{A-A}=e^{A}\left(e^{A}\right)^{\textsf {T}}=e^{0}=I.}$

行列AとA ^Tは可換なので、これは歪対称行列条件で簡単に証明できます。これは、𝖘𝖔(3)がSO(3)に対応するリー代数であることを示すには不十分であり、別途証明する必要があります。

証明の難しさは、行列群リー代数がどのように定義されているかによって決まる。ホール（2003）は、リー代数を行列の集合として定義している。

${\displaystyle \left\{A\in \operatorname {M} (n,\mathbb {R} )\left|e^{tA}\in \operatorname {SO} (3)\forall t\right.\right\},}$

この場合は簡単です。ロスマン（2002）はSO(3)の滑らかな曲線部分の恒等式での微分を定義に使用していますが、この場合より困難です。^[11]

A ≠ 0 を固定すると、e ^tA、−∞ < t < ∞はSO(3)の測地線に沿った1パラメータ部分群となる。これが1パラメータ部分群を与えることは指数写像の性質から直接導かれる。^[12]

指数写像は、𝖘𝖔(3)における原点の近傍とSO(3)における恒等写像の近傍との間の微分同相写像を与える。^[13]証明については、閉部分群定理を参照のこと。

指数写像は射影的である。これは、すべての回転は軸を固定したままにするので（オイラーの回転定理）、すべてのR ∈ SO(3)が次の形式の ブロック対角行列と共役であるという事実から導かれる。

${\displaystyle D={\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta &0\\\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{pmatrix}}=e^{\theta L_{z}},}$

A = BDB ⁻¹であり、

${\displaystyle Be^{\theta L_{z}}B^{-1}=e^{B\theta L_{z}B^{-1}},}$

𝖘𝖔(3) はSO(3)の随伴作用の下で閉じているという事実と合わせて、 BθL _z B ⁻¹ ∈ 𝖘𝖔(3)となる。

例えば、一般的なアイデンティティを確認するのは簡単です

${\displaystyle e^{-\pi L_{x}/2}e^{\theta L_{z}}e^{\pi L_{x}/2}=e^{\theta L_{y}}.}$

上に示したように、 A ∈ 𝖘𝖔(3) のすべての要素はベクトルω = θ uに関連付けられています。ここで、u = ( x , y , z )は単位大きさのベクトルです。u はAのヌル空間にあるため、 u をz軸として、別の直交行列Oを介して新しい基底に回転すると、新しい基底の回転行列の最後の列と行はゼロになります。

したがって、指数関数の公式から、exp( OAO ^T )はuを固定したままでなければならないことが事前に分かります。そのような基底をuの関数として直接的な公式で与えることは数学的に不可能です。なぜなら、その存在は毛玉定理に違反するからです。しかし、直接の累乗は可能であり、次の式が得られます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\exp({\tilde {\boldsymbol {\omega }}})&=\exp(\theta ({\boldsymbol {u\cdot L}}))=\exp \left(\theta {\begin{bmatrix}0&-z&y\\z&0&-x\\-y&x&0\end{bmatrix}}\right)\\[4pt]&={\boldsymbol {I}}+2cs({\boldsymbol {u\cdot L}})+2s^{2}({\boldsymbol {u\cdot L}})^{2}\\[4pt]&={\begin{bmatrix}2\left(x^{2}-1\right)s^{2}+1&2xys^{2}-2zcs&2xzs^{2}+2ycs\\2xys^{2}+2zcs&2\left(y^{2}-1\right)s^{2}+1&2yzs^{2}-2xcs\\2xzs^{2}-2ycs&2yzs^{2}+2xcs&2\left(z^{2}-1\right)s^{2}+1\end{bmatrix}},\end{aligned}}}$

ここで、およびです。これは、角度θによる軸u の周りの回転の行列として認識されます。ロドリゲスの回転公式を参照してください。 ${\textstyle c=\cos {\frac {\theta }{2}}}$${\textstyle s=\sin {\frac {\theta }{2}}}$

R ∈ SO(3)が与えられ、反対称部分を とすると、 Rの対数は^[9]で与えられる。${\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}\left(R-R^{\mathrm {T} }\right)}$${\textstyle \|A\|={\sqrt {-{\frac {1}{2}}\operatorname {Tr} \left(A^{2}\right)}}.}$

${\displaystyle \log R={\frac {\sin ^{-1}\|A\|}{\|A\|}}A.}$

これはロドリゲスの公式の混合対称形式を調べることで明らかである。

${\displaystyle e^{X}=I+{\frac {\sin \theta }{\theta }}X+2{\frac {\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}}{\theta ^{2}}}X^{2},\quad \theta =\|X\|,}$

ここで、右辺の最初の項と最後の項は対称です。

${\displaystyle SO(3)}$は、3次元球面と同型な単位四元数群によって二重に覆われています。単位四元数上のハール測度は、4次元における3領域測度にすぎないため、 上のハール測度は、3領域測度のプッシュフォワードにすぎないのです。 ${\displaystyle SO(3)}$

その結果、一様ランダムな回転を生成することは、3次元球面上に一様ランダムな点を生成することと同等である。これは次のようにして実現できる。${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$$${\displaystyle ({\sqrt {1-u_{1}}}\sin(2\pi u_{2}),{\sqrt {1-u_{1}}}\cos(2\pi u_{2}),{\sqrt {u_{1}}}\sin(2\pi u_{3}),{\sqrt {u_{1}}}\cos(2\pi u_{3}))}$$

ここで はの一様ランダムサンプルである。^[14]${\displaystyle u_{1},u_{2},u_{3}}$${\displaystyle [0,1]}$

リー代数のXとYが与えられているとする。それらの指数関数exp( X )とexp( Y )は回転行列であり、掛け算できる。指数写像は全射なので、リー代数のZに対してexp( Z ) = exp( X ) exp( Y )となり、暫定的に次のように書ける。

${\displaystyle Z=C(X,Y),}$

Cに対して、XとYの何らかの式。exp( X )とexp( Y )が可換である場合、Z = X + Yとなり、複素指数の挙動を模倣します。

一般的なケースは、ネストされたリー括弧の級数展開である、より複雑なBCH公式で与えられます。 ^{[15]行列の場合、リー括弧は、乗算の交換性の欠如を監視する}交換子と同じ操作です。この一般的な展開は次のように展開されます。^{[nb 4]}

${\displaystyle Z=C(X,Y)=X+Y+{\frac {1}{2}}[X,Y]+{\tfrac {1}{12}}[X,[X,Y]]-{\frac {1}{12}}[Y,[X,Y]]+\cdots .}$

SO(3)のBCH式の無限展開はコンパクトな形式に簡約される。

${\displaystyle Z=\alpha X+\beta Y+\gamma [X,Y],}$

適切な三角関数の係数（α、β、γ）を求める。

この複合回転ジェネレータを次のように記述する価値がある。

${\displaystyle \alpha X+\beta Y+\gamma [X,Y]{\underset {{\mathfrak {so}}(3)}{=}}X+Y+{\frac {1}{2}}[X,Y]+{\frac {1}{12}}[X,[X,Y]]-{\frac {1}{12}}[Y,[X,Y]]+\cdots ,}$

これはリー代数の恒等式であることを強調します。

上記の恒等式は、 𝖘𝖔(3)のすべての忠実な表現に対して成り立つ。リー代数準同型の核はイデアルであるが、𝖘𝖔(3) は単純であるため、非自明なイデアルを持たず、すべての非自明な表現は忠実である。これは特に、二重項またはスピノル表現において成り立つ。したがって、同じ明示的な式が、パウリ行列を介してより簡単な方法で従う。SU (2) の2×2導出を参照。

一般的なn × nの場合には、文献^{[16]が用いられるかもしれない。}

回転を表現するにはさまざまな方法があることがわかりました。

• 行列式が1である直交行列として、
• 軸と回転角度によって
• 四元数代数と三次元球面 写像S ³ → SO(3)（四元数と空間回転を参照）
• 幾何代​​数学における回転子としての
• 3 つの固定軸の周りの 3 回の回転のシーケンスとして。オイラー角を参照してください。

3次元ユークリッド回転の 群SO(3)はヒルベルト空間上に無限次元表現を持つ。

${\displaystyle L^{2}\left(\mathbf {S} ^{2}\right)=\operatorname {span} \left\{Y_{m}^{\ell },\ell \in \mathbb {N} ^{+},-\ell \leq m\leq \ell \right\},}$

ここで、は球面調和関数である。その要素は球面上の2乗可積分複素数値関数^[注5]である。この空間上の内積は次のように与えられる。 ${\displaystyle Y_{m}^{\ell }}$

fが単位球面S2^上で定義された任意の2乗積分関数である場合、それは次のように表される^[19]。

ここで、展開係数は次のように与えられる。

ローレンツ群の作用はSO(3)の作用に制限され、次のように表される。

この動作は単一的であり、つまり

D ^{( ℓ ) は}上記のD ^{( m ,  n )}からクレプシュ・ゴルダン分解を使って得ることができるが、奇数次元su (2)表現の指数関数として直接表現する方が簡単である（3次元はまさに𝖘𝖔(3)である）。^{[20] [21]}この場合、空間L ² ( S ² ) は、^[22]に従って、奇数の有限次元表現V _{2 i + 1}、i = 0、1、...の無限直和にきれいに分解される。

これはSO (3)の無限次元ユニタリ表現の特徴である。Πが可分^{[nb 6]}ヒルベルト空間上の無限次元ユニタリ表現である場合、それは有限次元ユニタリ表現の直和として分解される。^[19]したがって、そのような表現は決して既約ではない。すべての既約有限次元表現(Π, V )は、適切な内積を選択することによりユニタリにすることができる。^[19]

${\displaystyle \langle f,g\rangle _{U}\equiv \int _{\operatorname {SO} (3)}\langle \Pi (R)f,\Pi (R)g\rangle \,dg={\frac {1}{8\pi ^{2}}}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }\langle \Pi (R)f,\Pi (R)g\rangle \sin \theta \,d\phi \,d\theta \,d\psi ,\quad f,g\in V,}$

ここで積分はSO(3)上の1に正規化された唯一の不変積分であり、ここではオイラー角のパラメータ化を使用して表現されます。積分内の内積はV上の任意の内積です。

回転群は、標準的なユークリッド構造を持つn次元ユークリッド空間に極めて自然に一般化されます。 n次元におけるすべての適切な回転と不適切な回転の群は直交群O( n ) と呼ばれ、適切な回転の部分群は特殊直交群SO( n ) と呼ばれ、これはn ( n − 1)/2次元のリー群です。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

特殊相対論では、3 次元ユークリッド空間ではなく、ミンコフスキー空間と呼ばれる 4 次元ベクトル空間で作業します。ユークリッド空間とは異なり、ミンコフスキー空間には不定符号の内積があります。ただし、この内積を保存する一般化された回転を定義することはできます。このような一般化された回転はローレンツ変換と呼ばれ、このような変換すべてのグループをローレンツ群と呼びます。

回転群 SO(3) は、ユークリッドの直接等長変換のユークリッド群であるE ⁺ (3)のサブグループとして記述できます。このより大きな群は、剛体のすべての運動の群です。これらの運動はそれぞれ、任意の軸の周りの回転と並進の組み合わせ、または別の言い方をすれば、SO(3) の要素と任意の並進の組み合わせです。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$

一般に、オブジェクトの回転群は、直接等長変換群内の対称群です。言い換えると、完全対称群と直接等長変換群の交差です。キラルオブジェクトの場合、完全対称群と同じです。

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