結び目（数学）

数学において、結び目は円( $S$ $1$ )を3 次元ユークリッド空間R $3$ $($ $E$ $3$ とも呼ばれる)に埋め込むことです。2 つの結び目が同値である、つまり、一方の結び目を他方の結び目に導く $R$ $3$ の連続的な変形が存在する場合、それらの結び目は等価であると見なされることがよくあります。

結び目に関する標準的な数学的概念と従来の概念の決定的な違いは、数学的な結び目は閉じている、つまり、数学的な結び目には結んだりほどいたりする端がないことです。摩擦や厚さなどの物理的特性も適用されませんが、そのような特性を考慮した結び目の数学的定義はあります。結び目という用語は、特に $j$ $=$ $n$ $- 2$ の場合に、 $S j$ $のS n$ への埋め込みにも適用されます。結び目を研究する数学の分野は結び目理論として知られており、グラフ理論と多くの関係があります。

正式な定義

結び目は、円( $S$ $1$ )を3 次元ユークリッド空間( $R$ $3$ )に埋め込んだものである^[1] 。または、 3 次元球面( $S$ $3$ ) に埋め込んだものである。3次元球面はコンパクトであるため^[2]^{[注 1]。2つの結び目は、それらの間に}周囲同位体がある場合に同等であると定義される。^[3]

投影

$R 3$ （または3 次元球面S $3 ）$ の結び目は、平面 $R 2$ （または球面 $S 2$ ）に投影できます。この投影はほぼ常に正則で、つまり、有限個の交差点を除いてどこでも単射です。有限個の交差点は、結び目の2 点のみの投影であり、これらの点は共線的ではありません。この場合、投影側を選択することで、これらの交差点で単純な上/下の情報を記録することにより、結び目の同位体クラスをその正則投影によって完全にエンコードできます。グラフ理論の用語では、結び目の正則投影、または結び目図は、上/下装飾された頂点を持つ 4 価平面グラフです。このグラフのローカル変更により、1 つの図から同じ結び目の他の任意の図（平面の周囲の同位体まで）に移動できるようになり、これをライデマイスター移動と呼びます。

ライデマイスター 1 手目
ライデマイスターの動き 2
ライデマイスターの動き 3

結び目の種類

ループが壊れると、結び目は解けます。

最も単純な結び目は、アンクノットまたはトリビアルノットと呼ばれ、 $R 3$ に埋め込まれた丸い円です。^[4]通常の意味では、アンクノットはまったく「結び目」ではありません。最も単純な非トリビアルノットは、三つ葉結び目（表の $31$ ）、 8の字結び目（ $41$ ）、五つ葉結び目（ $51$ ）です。^[5]

複数の結び目が連結または絡み合ったものをリンクと呼びます。結び目は単一の構成要素を持つリンクです。

飼いならされた結び目と野生の結び目

ワイルドノット

多角形結び目は、 $R$ $3$ における像が線分の有限集合の和集合である結び目である。^[6]飼いならされた結び目は、多角形結び目と等価な任意の結び目である。^[6]^{[注 2]}飼いならされていない結び目は野生の結び目と呼ばれ、^[7]病的な動作をすることがあります。^[7]結び目理論と3 次元多様体理論では、形容詞「飼いならされた」は省略されることが多い。たとえば、滑らかな結び目は常に飼いならされたものである。

フレームノット

フレームノットは、 Tameノットを $S$ $3$ 内の立体トーラス $D 2 \times S 1$ に埋め込むように拡張したものです。

結び目のフレーミングは、リボン I × S 1 の像と結び目のリンク数です。フレーム $さ$ $れ$ $た$ $結び目$ は埋め込まれたリボンと見ることができ、フレーミングは（符号付きの）ねじれの数です。[ ^{8]この定義は、}フレームリンクの類似の定義に一般化されます。フレームリンクは、固体トーラスへの拡張が周囲同位体である場合に 同等であると言われます。

フレームリンクダイアグラムは、フレーミングを示すために、子午線と優先経度に対する傾きを表す整数で各コンポーネントにマークが付けられたリンクダイアグラムです。マークのないリンクダイアグラムをフレームリンクとして表示する標準的な方法は、黒板フレーミングを使用することです。このフレーミングは、各コンポーネントを平面上に平らに置かれたリボンに変換することで得られます。タイプ I のライデマイスター移動は明らかに黒板フレーミングを変更します (リボンのねじれの数を変更します) が、他の 2 つの移動は変更しません。タイプ I の移動を修正されたタイプ I の移動に置き換えると、黒板フレーミングのリンクダイアグラムについて、ライデマイスターの定理に似た結果になります。黒板フレーミングのリンクダイアグラムは、(修正された) タイプ I、II、および III の移動のシーケンスによって接続されている場合のみ、同等のフレームリンクを表します。結び目が与えられれば、その上に無限のフレーミングを定義できます。固定されたフレーミングの結び目が与えられていると仮定します。リボンを切って、結び目の周りで 2π の整数倍にねじり、切った場所に再び接着することで、既存のフレーミングから新しいフレーミングを得ることができます。このようにして、結び目は固定されたまま、フレームされた結び目の同値関係まで、古いフレーミングから新しいフレーミングが得られます。^[9]この意味でのフレーミングは、ベクトル場が結び目の周りで行うねじれの数に関連付けられています。ベクトル場が結び目の周りで何回ねじれているかを知ることで、微分同相までのベクトル場を決定することができ、フレーミングの同値類は、フレーミング整数と呼ばれるこの整数によって完全に決定されます。

結び目の補完

3次元球面上の結び目が与えられたとき、結び目の補集合は、その結び目に含まれない3次元球面上のすべての点である。ゴードンとリュッケの主要な定理によれば、同相な補集合（元の結び目とその鏡映し）を持つ結び目は最大で2つである。これは、結び目の研究をその補集合の研究に、ひいては3次元多様体理論へと変えることになる。^[10]

JSJ分解

JSJ分解とサーストンの双曲化定理は、 3 次元球面の結び目の研究を、接合または衛星演算を介したさまざまな幾何学的多様体の研究に還元します。図の結び目では、 JSJ 分解によって補集合が 3 つの多様体の和集合、つまり 2 つの三葉補集合とボロミアン環の補集合に分割されます。三葉補集合の幾何学は $H 2 \times R$ であり、ボロミアン環の補集合の幾何学は $H 3$ です。

ハーモニックノット

結び目のパラメトリック表現は調和結び目と呼ばれます。アーロン・トラウトヴァインは博士論文の中で、交差数が8までの結び目を含むすべての結び目のパラメトリック表現をまとめました。^[11]^[12]

グラフ理論への応用

最大7つの交差を持つすべての素結び目を結び目図として表し、その中心グラフとともに表す。

中間グラフ

結び目図のもう一つの便利な表現法^[13]^[14]は、1877年にピーター・テイトによって導入されました。^[15]^[16]

任意の結び目図は、頂点が交差点で、辺が連続する交差点間のパスである平面グラフを定義します。この平面グラフの 1 つの面は境界がなく、他の各面は2 次元ディスクに同相です。これらの面を黒または白に色付けして、境界のない面が黒になり、境界辺を共有する 2 つの面が反対色になるようにします。ジョルダン曲線定理は、このような色付けが 1 つだけ存在することを意味します。

頂点が白い面、辺が交差点に対応する新しい平面グラフを作成します。このグラフの各辺を、辺の端点の 1 つから対応する交差点を見たときに、どの糸が他の糸の上を通っているように見えるかによって、左辺または右辺としてラベル付けできます。左辺と右辺は通常、左辺に +、右辺に - とラベル付けするか、左辺に実線、右辺に破線で描画して示します。

元の結び目図は、この新しい平面グラフの中心グラフであり、各交差点の種類は対応する辺の符号によって決まります。すべての辺の符号を変更すると、結び目を鏡で映すことになります。

リンクレスおよびノットレス埋め込み

2 次元では、平面グラフのみが交差なしでユークリッド平面に埋め込むことができますが、3 次元では、任意の無向グラフを交差なしで空間に埋め込むことができます。ただし、平面グラフの空間類似物は、リンクのない埋め込みと結び目のない埋め込みを持つグラフによって提供されます。リンクのない埋め込みは、任意の 2 つのサイクルがリンクされていないという特性を持つグラフの埋め込みです。結び目のない埋め込みは、任意の 1 つのサイクルが結び目がないという特性を持つグラフの埋め込みです。リンクのない埋め込みを持つグラフには、ピーターセン族、つまり本質的にリンクされている 7 つのグラフのセットを含む禁制のグラフ特性があります。つまり、どのように埋め込まれたとしても、いくつかの 2 つのサイクルは互いにリンクされます。^[17]結び目のない埋め込みグラフの完全な特徴づけは知られていないが、完全グラフ $K7$ は結び目のない埋め込みに対する最小の禁制グラフの1つである。つまり、K7がどのように $埋め込ま$ $れ$ ても、三つ葉結び目を形成するサイクルが含まれることになる $。$ [ ^18]

一般化

現代数学では、結び目という用語は埋め込みに関連するより一般的な現象を説明するために使用されることがあります。多様体 $M$ と部分多様体 $N$ が与えられたとき、 Nと同位体でない $Mへの$ $N$ の埋め込みが存在する場合、 $Nは$ $M$ 内で結び目があると言われることが $あります。伝統的な結び目は、$ $N$ $=$ $S$ $1$ かつ $M$ $=$ $R$ $3$ または $M$ $=$ $S$ $3$ の場合に形成されます。^[19]^[20]

シェーンフライスの定理は、円は 2 次元球面内で結び目がないこと、つまり 2 次元球面内のすべての位相的な円は幾何学的な円と同形であることを述べています。^[21] アレクサンダーの定理は、 2 次元球面は 3 次元球面内で滑らかに（または位相的に PL または飼いならされた）結び目がないこと述べています。 ^{[22]飼いならされた位相的カテゴリでは、} $n$ 球面はすべての $nに対して$ $n + 1$ 球面内で結び目がないこと、が知られています。これは、モートン・ブラウン、バリー・マズール、マーストン・モースの定理です。^[23]アレクサンダーの角のある球面は、飼いならされていない 3 次元球面内の結び目のある 2 次元球面の例です。^[24]滑らかなカテゴリでは、 $n$ $\neq 3の場合、$ $n球面は$ $n$ $+ 1$ 球面内で結び目がないことなどが知られています。 $n$ $= 3$ の場合は、「4 次元球は異質な滑らかな構造を許容するか？」という疑問と密接に関連した、長年未解決の問題です。

アンドレ・ヘフリガーは、 $2$ $n$ $- 3$ $j$ $- 3 > 0$ ならば $S$ $n$ には滑らかな $j$ 次元の結び目は存在しないことを証明し、さらに、 2 n − 3 j − 3 = 0 となるような n > j ≥ 1 のすべての結び目のある球面の例を示した $。 n - j は結び目の余次元と呼ばれる。ヘフリガーの研究の興味深い点は、余次元が 2$ $より大きい$ $場合$ $、$ $S$ n $へ$ $の$ $S$ $j$ の $埋め込み$ $の$ $同位$ 体類が群を $形成$ $し$ 、 $群$ $演算$ は接続和によって与えられることである。ヘフリガーは、スティーブン・スメールのh -コボルディズム定理に基づいて研究を行った。スメールの定理の 1 つは、余次元が 2 より大きい結び目を扱う場合、同値でない結び目でさえ微分同相補集合を持つというものである。これにより、余次元 2 の結び目理論とは異なる趣が主題に与えられる。位相的同位体または PL 同位体を許容する場合、クリストファー・ゼーマンは、共次元が 2 より大きい場合、球面は結び目にならないことを証明しました。多様体への一般化を参照してください。

参照

結び目理論 – 数学的な結び目の研究
結び目不変量 – 同等の結び目に対して同じ値を取る結び目の関数
数学的な結び目とリンクのリスト

注記

^ 3次元球面は、無限遠に1点を追加した $R 3$ と同等であることに注意してください（ 1点コンパクト化を参照）。
^ 結び目が扱いやすいのは、それが有限の閉じた多角形の鎖として表現できる場合のみである。

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外部リンク

「Main_Page」、The Knot Atlas。
マニフォールドアトラスプロジェクト

[3] 3次元球面は、無限遠に1点を追加した $R 3$ と同等であることに注意してください（ 1点コンパクト化を参照）。

[8] 結び目が扱いやすいのは、それが有限の閉じた多角形の鎖として表現できる場合のみである。

[FOOTNOTEArmstrong1983213-1] アームストロング（1983）、213ページ。

[2] クロムウェル 2004、33 ページ; アダムス 1994、246–250 ページ

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[6] Adams 1994、表 1.1、p. 280; Livingstone 1993、付録 A: 結び目表、p. 221

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