非圧縮表面

数学では、非圧縮面は3 次元多様体に適切に埋め込まれた面 であり、直感的に言えば、単純化できない「非自明な」面です。数学以外の言葉で言えば、スーツケースの表面は圧縮可能です。なぜなら、ハンドルを切断して縮めて表面に入れることができるからです。しかし、コンウェイ球(4 つの穴がある球) は圧縮できません。なぜなら、結び目またはリンクの重要な部分が内側と外側の両方にあるため、結び目またはリンク全体を穴の開いた球の片側に移動させる方法がないためです。数学的な定義は次のとおりです。考慮すべきケースが 2 つあります。球の内側と外側の両方に、球が 1 点に縮むのを妨げる障害物があり、球が空間全体を包含するように拡大するのを妨げる障害物がある場合、球は非圧縮です。球以外の表面は、表面上に境界があるディスクが表面内のディスクにまたがる場合、非圧縮です。^[1]

非圧縮面は、ハーケン多様体の分解、正規曲面理論、および3 次元多様体の 基本群の研究に使用されます。

S を滑らかな3次元多様体またはPL 3次元多様体Mに埋め込まれたコンパクト面とする。圧縮円板DはMに埋め込まれた円板で、

${\displaystyle D\cap S=\partial D}$

交差は横断的です。曲線∂ D がS内のディスクを囲まない場合、D は非自明な圧縮ディスクと呼ばれます。Sに非自明な圧縮ディスクがある場合、 S をMの圧縮可能面と呼びます。

Sが2 次元球面でも圧縮可能な曲面でもない場合は、その曲面は（幾何学的に）非圧縮性であるといいます。

2 次元球面は、ジョーダン・シェーンフライスの定理により非自明な圧縮ディスクを持たないため除外され、3 次元多様体には埋め込まれた 2 次元球面が豊富にあることに注意してください。定義が変更され、非圧縮球面は、埋め込まれた3次元球面を囲まない 3 次元多様体に埋め込まれた 2 次元球面となる場合があります。このような球面は、3 次元多様体が既約でない場合に発生します。球面のこの非圧縮性の概念は、上記の表面の定義とはまったく異なるため、非圧縮球面は、多くの場合、本質球面または縮小球面と呼ばれます。

圧縮可能な曲面Sと、 Mの内部にありSと横方向に交差する圧縮円板D が与えられている場合、 Sに対して埋め込み 1手術を実行して、 Dに沿ってS を圧縮することによって得られる曲面を得ることができます。 Dの管状近傍が存在し、その閉包はD × [-1,1]の埋め込みであり、 D × 0 はDと同一 視され、

${\displaystyle (D\times [-1,1])\cap S=\partial D\times [-1,1].}$

それから

${\displaystyle (S-\partial D\times (-1,1))\cup (D\times \{-1,1\})}$

は、 SをDに沿って圧縮することによって得られる新しい適切に埋め込まれた表面です。

2 球面成分のないコンパクト サーフェス上の非負の複雑性指標はb ₀ ( S ) − χ ( S )です。ここで、b ₀ ( S )は 0 番目のベッティ数(連結成分の数)、χ ( S )はSのオイラー特性です。圧縮可能なサーフェスを非自明な圧縮ディスクに沿って圧縮すると、オイラー特性は 2 増加しますが、b _{0 は}同じままか 1 増加する可能性があります。したがって、2 球面成分のない適切に埋め込まれたコンパクト サーフェスはすべて、一連の圧縮を通じて非圧縮サーフェスに関連付けられます。

場合によっては、 S が圧縮可能であるという条件を破棄することもあります。D がS内の円板を囲む場合(たとえば、Sが非圧縮性の場合は常にその通り)、 S をDに沿って圧縮すると、球とSに同相な面の不連続な結合が生じます。球を削除した結果の面はSと同位体である場合もそうでない場合もありますが、 Sが非圧縮性でMが既約性である 場合は同位体になります。

非圧縮性の代数的バージョンもある。が₃次元多様体へのコンパクト面の適切な埋め込みであるとする。すると、誘導写像 ${\displaystyle \iota :S\rightarrow M}$

${\displaystyle \iota _{\star }:\pi _{1}(S)\rightarrow \pi _{1}(M)}$

基本群上の は単射である。

一般に、すべてのπ ₁単射面は非圧縮性ですが、逆の含意は常に真であるとは限りません。たとえば、レンズ空間 L (4,1)には、 π ₁単射ではない非圧縮性クラインの壺が含まれます。

しかし、Sが両側の場合、ループ定理は、 Sが非圧縮性であればπ ₁単射であるというKneser の補題を意味します。

有向リンクLのSeifert面 Sは、同じ誘導方向を持つL を境界とする有向面です。SがS ³ − N ( L )にπ ₁単射でない場合( N ( L )はLの管状近傍) 、ループ定理により、 S を圧縮するために使用できる圧縮ディスクが得られ、複雑さが軽減された別の Seifert 面が提供されます。したがって、圧縮不可能な Seifert 面が存在します。

リンクのすべての Seifert 面は、圧縮によって生成される同値関係が1 つの同値クラスを持つという意味で、圧縮を通じて互いに関連しています。圧縮の逆は、埋め込みアーク サージェリー(埋め込み 0 サージェリー) と呼ばれることがあります。

リンクの種数は、リンクのすべてのザイフェルト面の最小種数です。最小種数のザイフェルト面は非圧縮です。ただし、一般に非圧縮ザイフェルト面が最小種数であるわけではないため、π ₁だけではリンクの種数を証明できません。David Gabai は特に、種数を最小化するザイフェルト面は、結び目の補集合の緊張した横向きの葉脈の葉であり、緊張した縫合多様体階層で証明できることを証明しました。

結び目Kに対する非圧縮ザイフェルト面S ' が与えられると、S ³ − N ( K )の基本群は自由群であるπ ₁ ( S )上のHNN 拡張として分割されます。ループを面から N ( S )の正側または負側に押し出すことによって得られるπ ₁ ( S )からπ ₁ ( S ³ − N ( S ))への2 つの写像は、どちらも注入です。

• ハケン多様体
• 事実上ハーケン予想
• サーストンノルム
• 境界非圧縮面

• W. Jaco、「3次元多様体トポロジーに関する講義」、CBMS数学地域会議シリーズ第43巻。アメリカ数学会、プロビデンス、ロードアイランド州、1980年。
• http://users.monash.edu/~jpurcell/book/08Essential.pdf
• https://homepages.warwick.ac.uk/~masgar/Articles/Lackenby/thrmans3.pdf
• D. Gabai、「3次元多様体の葉理と位相」Bull. Amer. Math. Soc. (NS) 8 (1983)、第1号、77-80ページ。