ヒューレヴィッツの定理

数学において、ヒューレヴィッツの定理は代数位相幾何学の基本的な結果であり、ヒューレヴィッツ準同型として知られる写像を介してホモトピー理論とホモロジー理論を結び付けます。この定理はヴィトルド・ヒューレヴィッツにちなんで名付けられ、アンリ・ポアンカレの以前の結果を一般化したものです。

Hurewicz の定理は、ホモトピー群とホモロジー群を結ぶ重要なリンクです。

任意の経路連結空間Xと正の整数nに対して、群準同型が存在する。

${\displaystyle h_{*}\colon \pi _{n}(X)\to H_{n}(X),}$

は、Hurewicz 準同型写像と呼ばれる、 n番目のホモトピー群からn番目のホモロジー群(整数係数)への写像です。これは、次のようにして与えられます。標準生成子 を選択すると、写像のホモトピー類が に取られます。 ${\displaystyle u_{n}\in H_{n}(S^{n})}$${\displaystyle f\in \pi _{n}(X)}$${\displaystyle f_{*}(u_{n})\in H_{n}(X)}$

Hurewicz の定理は、Hurewicz 準同型が同型である場合を述べています。

• に対して、Xが-連結であれば（つまり、すべての に対して）、すべての に対して、であり、Hurewicz 写像は同型である。^{[1] : 366, Thm.4.32}これは特に、ホモロジー連結性がホモトピー連結性が少なくとも 1 のときに等しいことを意味する。さらに、Hurewicz 写像はこの場合エピモーフィズムである。 ^{[1] : 390, ?}${\displaystyle n\geq 2}$${\displaystyle (n-1)}$${\displaystyle \pi _{i}(X)=0}$${\displaystyle i<n}$${\displaystyle {\tilde {H_{i}}}(X)=0}$${\displaystyle i<n}$${\displaystyle h_{*}\colon \pi _{n}(X)\to H_{n}(X)}$${\displaystyle h_{*}\colon \pi _{n+1}(X)\to H_{n+1}(X)}$
• に対して、ヒューレヴィッツ準同型は、第 1 ホモトピー群 (基本群) のアーベル化と第 1 ホモロジー群の間に同型 を誘導します。${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle {\tilde {h}}_{*}\colon \pi _{1}(X)/[\pi _{1}(X),\pi _{1}(X)]\to H_{1}(X)}$

任意の空間と整数のペア に対して準同型が存在する ${\displaystyle (X,A)}$${\displaystyle k>1}$

${\displaystyle h_{*}\colon \pi _{k}(X,A)\to H_{k}(X,A)}$

相対ホモトピー群から相対ホモロジー群へ。相対 Hurewicz の定理は、と が両方とも連結で、 のペアが-連結である場合、 に対して、はの作用を因数分解することによってから得られることを述べています。これは、たとえば Whitehead (1978) で帰納法によって証明され、絶対バージョンとホモトピー加法の補題が順に証明されています。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle (n-1)}$${\displaystyle H_{k}(X,A)=0}$${\displaystyle k<n}$${\displaystyle H_{n}(X,A)}$${\displaystyle \pi_{n}(X,A)}$${\displaystyle \pi _{1}(A)}$

この相対的なヒューレヴィッツの定理は、ブラウンとヒギンズ（1981）によって、射に関する命題として再定式化された。

${\displaystyle \pi _{n}(X,A)\to \pi _{n}(X\cup CA),}$

ここで、は の円錐を表します。このステートメントは、 の誘導加群（ の場合は交差加群）を含むホモトピー除去定理の特殊なケースであり、この定理自体は相対ホモトピー群の高次ホモトピーファン カンペン定理から演繹されます。この定理の証明には、フィルターされた空間の立方高次ホモトピー群の技術の開発が必要です。 ${\displaystyle CA}$${\displaystyle A}$${\displaystyle n>2}$${\displaystyle n=2}$

任意の空間の3つ組（つまり空間Xと部分空間A、B）と整数に対して準同型が存在する。 ${\displaystyle (X;A,B)}$${\displaystyle k>2}$

${\displaystyle h_{*}\colon \pi _{k}(X;A,B)\to H_{k}(X;A,B)}$

３元ホモトピー群から３元ホモロジー群へ。

${\displaystyle H_{k}(X;A,B)\cong H_{k}(X\cup (C(A\cup B))).}$

三項ヒューレヴィツの定理は、X、A、B、およびが連結で、および のペアがそれぞれ-連結、および -連結であり、三項が-連結である場合、 に対して、およびは、の作用と一般化ホワイトヘッド積を因数分解することによってから得られることを述べています。この定理の証明には、三項ホモトピー群に対する高次ホモトピー ファン カンペン型定理が使用され、これにはn立方体の空間の基本 - 群の概念が必要です。 ${\displaystyle C=A\cap B}$${\displaystyle (A,C)}$${\displaystyle (B,C)}$${\displaystyle (p-1)}$${\displaystyle (q-1)}$${\displaystyle (X;A,B)}$${\displaystyle (p+q-2)}$${\displaystyle H_{k}(X;A,B)=0}$${\displaystyle k<p+q-2}$${\displaystyle H_{p+q-1}(X;A)}$${\displaystyle \pi _{p+q-1}(X;A,B)}$${\displaystyle \pi _{1}(A\cap B)}$${\displaystyle \operatorname {cat} ^{n}}$

位相空間に対するヒューレヴィッツの定理は、カン条件を満たすn連結単体集合に対しても成立する。 ^[2]

有理ヒューレヴィッツの定理: ^{[3] [4]} Xをに対して となる単連結位相空間とする。このときヒューレヴィッツ写像 ${\displaystyle \pi _{i}(X)\otimes \mathbb {Q} =0}$${\displaystyle i\leq r}$

${\displaystyle h\otimes \mathbb {Q} \colon \pi _{i}(X)\otimes \mathbb {Q} \longrightarrow H_{i}(X;\mathbb {Q} )}$

は の同型性と の全射を誘導します。 ${\displaystyle 1\leq i\leq 2r}$${\displaystyle i=2r+1}$

• ブラウン、ロナルド (1989)、「三項ヴァン・カンペン定理とヒューレヴィッツ定理」、代数的位相学 (イリノイ州エバンストン、1988)、現代数学、第 96 巻、プロビデンス、ロードアイランド州: アメリカ数学協会、pp. 39–57、doi :10.1090/conm/096/1022673、ISBN 9780821851029、MR  1022673
• ブラウン、ロナルド; ヒギンズ、PJ (1981)、「相対ホモトピー群の余極限定理」、純粋および応用代数ジャーナル、22 :11–41、doi :10.1016/0022-4049(81)90080-3、ISSN  0022-4049
• Brown, R.; Loday, J.-L. (1987)、「ホモトピー的切除と、n 立方体の空間に対する Hurewicz の定理」、ロンドン数学会紀要、第 3 シリーズ、54 : 176–192、CiteSeerX  10.1.1.168.1325、doi :10.1112/plms/s3-54.1.176、ISSN  0024-6115
• Brown, R.; Loday, J.-L. (1987)、「空間の図に対するヴァン・カンペンの定理」、トポロジー、26 (3): 311–334、doi :10.1016/0040-9383(87)90004-8、ISSN  0040-9383

• ロトマン、ジョセフ・J. (1988)、「代数的位相幾何学入門」、Graduate Texts in Mathematics、第119巻、Springer-Verlag (1998-07-22発行)、ISBN 978-0-387-96678-6
• ホワイトヘッド、ジョージ W. (1978)、「ホモトピー理論の要素」、Graduate Texts in Mathematics、第 61 巻、Springer-Verlag、ISBN 978-0-387-90336-1