アトロイド

数学において、アトーロイダル 3 次元多様体とは、本質的トーラスを含まない多様体である。この用語には 2 つの主なバリエーションがある。本質的トーラスは、埋め込まれた非境界平行非 圧縮 トーラスとして幾何学的に定義される場合と、周辺部分群と共役でない基本群の部分群 (つまり、境界成分の包含によって誘導される基本群上の写像の像)として代数的に定義される場合があります。この用語は標準化されておらず、さまざまな著者がアトーロイダル 3 次元多様体に特定の追加制限を満たすことを要求している。たとえば、 ${\displaystyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} }$

• ボリス・アパナソフ（2000）は、トーラスから多様体への写像と基本群への誘導写像の観点から、幾何学的側面と代数的側面の両方を組み合わせたアトーロイダリティの定義を与えている。そして、彼は、既約境界非圧縮3 次元多様体の場合、これが代数的定義を与えると指摘している。^[1]
• Jean-Pierre Otal（2001）は追加の制限なしに代数的定義を使用している。^[2]
• ベネット・チョウ（2007）は、既約多様体に限定した幾何学的定義を使用している。^[3]
• マイケル・カポビッチ （2009）は、アトロイダル多様体の代数的変形（彼は単にアトロイダルと呼ぶ）が3種類のファイバー束のいずれかにならないことを要求している。彼は幾何学的にアトロイダルな多様体（彼は位相的にアトロイダルと呼ぶ）にも同じ制限を加え、さらに非圧縮境界平行埋め込みクラインの壺を避けることを要求している。これらの定義では、特定のザイフェルト多様体を除いて、2種類のアトロイダル性は同等である。^[4]

非環状 3 次元多様体は環状多様体と呼ばれます。