二元二十面体群

数学において、2元20面体群2 Iまたは⟨2,3,5⟩ ^[1]は、位数120の特定の非可換群である。これは、位数60の20面体群Iまたは (2,3,5) を位数2の巡回群で拡張したもので、 2:1被覆準同型の下での20面体群の逆像である。

${\displaystyle \operatorname {スピン} (3)\to \operatorname {SO} (3)\,}$

特殊直交群をスピン群で割ったもの。従って、二元二十面体群はスピン(3)の120次の 離散部分群である。

これを完全二十面体群と混同しないでください。完全二十面体群は位数120の異なる群であり、むしろ直交群O(3)のサブグループです。

四元数代数では、二元二十面体群は、ノルム 1 の四元数であるベルソルの離散部分群として具体的に実現されます。詳細については、「四元数と空間回転」を参照してください。

明示的には、2 元 20 面体群は、次のベクトルの すべての偶順列の和集合として与えられます。

• 8つの偶数順列${\displaystyle (\pm 1,0,0,0)}$
• 16の偶数順列${\displaystyle (\pm 1/2,\pm 1/2,\pm 1/2,\pm 1/2)}$
• 96通りの順列${\displaystyle (0,\pm 1/2,\pm 1/2\phi ,\pm \phi /2)}$

これが黄金比です。 ${\displaystyle \phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$

合計で120個の要素、つまり単位イコシアンが存在する。それらはすべて単位の大きさを持ち、したがって単位四元数群 Sp(1) に属する。

4 次元空間の 120 個の要素は、600 セルの正 4 次元多面体の120 個の頂点と一致します。

2 Iで表される2元二十面体群は、二十面体群の普遍的な完全中心拡張であり、したがって準単純である。つまり、単純群の完全中心拡張である。^[2]

明確に言えば、これは短い正確なシーケンスに当てはまる

${\displaystyle 1\to \{\pm 1\}\to 2I\to I\to 1.\,}$

この数列はを分解しないので、 2 I は{ ±1 } とIの半直積ではない。実際、Iと同型の2 Iの部分群は存在しない。

2 Iの中心は部分群 { ±1 } なので、内部自己同型群はIと同型です。完全自己同型群はS ₅ ( 5 文字の対称群)と同型で、 の場合と同じです。2 Iの任意の自己同型は中心 ( ) の非自明な要素を固定するため、I の自己同型に下がります。逆に、 Iの任意の自己同型は2 I の自己同型に上がります。これは、 Iの生成元の持ち上げが2 Iの生成元であるためです(異なる持ち上げでも同じ自己同型になります)。 ${\displaystyle I\cong A_{5}}$${\displaystyle -1}$

2 元 20 面体群は完全群であり、その交換子部分群と等しいことを意味します。実際、2 I は位数 120 の唯一の完全群です。したがって、2 Iは解けません。

さらに、二元二十面体群は超完全であり、抽象的にはその最初の 2 つの群ホモロジー群が消えることを意味します。具体的には、そのアーベル化が自明であること (非自明なアーベル商を持たないこと) と、そのシューア乗数が自明であること (非自明な完全中心拡大を持たないこと) を意味します。実際、二元二十面体群は最小の (非自明な) 超完全群です。^[要出典]${\displaystyle H_{1}(2I;\mathbf {Z} )\cong H_{2}(2I;\mathbf {Z} )\cong 0.}$

しかし、2元二十面体群は非巡回的ではない。H _n (2 I , Z )はn = 4 k +3のとき120次の巡回群であり、それ以外のときはn > 0のとき自明である (Adem & Milgram 1994, p. 279)。

具体的には、2元20面体群はSpin(3)のサブグループであり、SO(3)のサブグループである20面体群を覆う。抽象的には、20面体群はSO(4)のサブグループである4-単体の対称性と同型であり、2元20面体群はSpin(4)におけるこれの二重被覆と同型である。対称群は4次元表現（通常の最低次元の既約表現は-単体の完全対称性である）を持ち、4-単体の完全対称性はしたがって完全20面体群ではない（これらは位数120の2つの異なる群である）ことに注意する。^[要出典]${\displaystyle S_{5}}$ ${\displaystyle (n-1)}$${\displaystyle S_{5},}$

2元20面体群は、で示される交代群の二重被覆 と考えることができます。この同型は、20面体群と交代群の同型を被覆します。 がの離散部分群であるのと同様に、は の二重被覆の離散部分群、つまり です。から への2-1準同型は、 からへの2-1準同型に制限されます。 ${\displaystyle A_{5},}$${\displaystyle 2\cdot A_{5}\cong 2I;}$${\displaystyle A_{5}\cong I,}$${\displaystyle I}$${\displaystyle \mathrm {SO} (3)}$${\displaystyle 2I}$${\displaystyle \mathrm {SO} (3)}$${\displaystyle \mathrm {スピン} (3)\cong \mathrm {SU} (2)}$${\displaystyle \mathrm {スピン} (3)}$${\displaystyle \mathrm {SO} (3)}$${\displaystyle 2I}$${\displaystyle I}$

二元二十面体群は、単位行列式を持つ有限体F ₅上のすべての 2×2 行列の群である特殊線型群SL(2,5) と同型であることが示されます。これにより、射影特殊線型群PSL(2,5)との例外的な同型性がカバーされます。 ${\displaystyle I\cong A_{5}}$

また、例外的な同型性にも注意してください。これは、順序が 120 の異なるグループであり、SL、GL、PSL、PGL の可換平方は、Spin(4)、Pin(4)、SO(4)、O(4) の可換平方の部分群に同型である可換平方に同型です。 ${\displaystyle PGL(2,5)\cong S_{5},}$${\displaystyle 2\cdot A_{5},2\cdot S_{5},A_{5},S_{5},}$

グループ2Iの プレゼンテーションは

${\displaystyle \langle r,s,t\mid r^{2}=s^{3}=t^{5}=rst\rangle }$

または同等に、

${\displaystyle \langle s,t\mid (st)^{2}=s^{3}=t^{5}\rangle .}$

これらの関係を持つ単位四元数群の生成元は次のように与えられる。

${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(1+i+j+k)\qquad t={\tfrac {1}{2}}(\varphi +\varphi ^{-1}i+j).}$

2 Iの唯一の適切な正規部分群は中心 { ±1 } です。

第三同型定理により、 2 Iの部分群とIの部分群の間にはガロア接続があり、ここで2 Iの部分群上の閉包演算子は { ±1 } による乗算です。

${\displaystyle -1}$は位数 2 の唯一の元であるため、偶数位数のすべての部分群に含まれます。したがって、 2 Iのすべての部分群は奇数位数であるか、 Iの部分群の逆像です。

さまざまな要素によって生成される巡回群（奇数順序を持つことができる）の他に、2 Iの他の部分群（共役を除く）は次のものだけです。^[3]

• 二元二面体群、Dic ₅ =Q20=⟨2,2,5⟩、位数20、Dic ₃ =Q12=⟨2,2,3⟩、位数12
• 8つのリプシッツ単位からなる四元数群Q8 =⟨2,2,2⟩は指数15のサブグループを形成し、これは二環式群Dic ₂でもあります。これはエッジの安定子をカバーします。
• 24 個のHurwitz 単位は、 2 元四面体群と呼ばれる指数 5 の部分群を形成します。これは、カイラル四面体群をカバーします。この群は自己正規化するため、共役類には 5 つのメンバーがあります (これにより、イメージが であるマップが生成されます)。${\displaystyle 2I\to S_{5}}$${\displaystyle A_{5}}$

二十面体対称群 I _hの4次元類似体は、600セルの対称群（またその双対である120セルの対称群）である。前者がH ₃型のコクセター群であるのと同様に、後者はH ₄型のコクセター群であり、[3,3,5]とも表記される。その回転部分群は[3,3,5] ⁺と表記され、 SO(4)に含まれる位数7200の群である。SO(4)にはSpin(4)と呼ばれる二重被覆があり、これはSpin(3)がSO(3)の二重被覆であるのとほぼ同じである。同型Spin(3) = Sp(1)と同様に、群Spin(4)はSp(1) × Sp(1)と同型である。

Spin(4)（2 Iの4次元類似体）における[3,3,5] ⁺の逆像は、正確には14400次の積群2 I × 2 Iである。600セルの回転対称群は、

[3,3,5] ⁺ = ( 2 I × 2 I ) / { ±1 }.

2 Iからは、他の様々な 4 次元対称群を構築できます。詳細については、(Conway and Smith, 2003) を参照してください。

剰余類空間Spin(3) / 2 I = S ³ / 2 Iは、ポアンカレホモロジー球面と呼ばれる球面 3 次元多様体です。これはホモロジー球面、つまりホモロジー群が3 次元球面のホモロジー群と同一である3 次元多様体の一例です。ポアンカレ球面は 3 次元球面を 2 次元 20 面体群で割ったものであるため、ポアンカレ球面の基本群は2 次元 20 面体群と同型です。

• 二元多面体群
• 二元巡回群、⟨ n ⟩、位数 2 n
• 二元二面体群、⟨2,2, n ⟩、位数 4 n
• 二元四面体群、2T=⟨2,3,3⟩、位数24
• 二元八面体群、2O=⟨2,3,4⟩、位数48