双曲化定理

幾何学において、サーストンの 幾何化定理または双曲化定理は、閉じたアトロイド状ハーケン多様体が双曲的であり、特にサーストン予想を満たすことを意味しています。

双曲化定理の 1 つの形式は、次のように述べます。Mが、境界がゼロのオイラー特性を持つコンパクトな既約なアロイダル ハーケン多様体である場合、 Mの内部は有限体積の完全な双曲構造を持ちます。

モストウの剛性定理は、次元が少なくとも 3 の多様体が有限体積の双曲構造を持つ場合、その多様体は本質的に一意であることを意味します。

多様体M が既約かつアトロイダルであるという条件は、双曲多様体がこれらの特性を持つため、必要である。しかし、多様体がハーケンであるという条件は、不必要に強い。サーストンの双曲化予想は、無限基本群を持つ閉じた既約アトロイダル 3 次元多様体は双曲的であると述べており、これはペレルマンによるサーストン幾何化予想の証明から導かれる。

サーストン（1982、2.3）は、コンパクトな3次元多様体が素数であり、ホモトピー的にアロイダルであり、空でない境界を持つ場合、境界T 2を持つ特定^{の多様体（} T ² ×[0,1]）/ Z /2 Zに同相でない限り、完全な双曲的構造を持つことを示した。

コンパクトな有向3次元多様体の内部にある双曲構造は、すべての境界成分がトーラスである場合にのみ有限体積を持ちます。ただし、双曲構造を持ちますが有限体積を持たない多様体 T ² ×[0,1]は例外です (Thurston 1982、p. 359)。

サーストンは、(Thurston 1994)で説明した理由により、彼の定理の完全な証明を発表することはなかったが、彼の議論の一部はThurston (1986, 1998a, 1998b)に含まれている。ウォール(1984)とモーガン(1984)はサーストンの証明の要約を与えた。オタル(1996)は円上でファイバー化する多様体の場合の証明を与え、オタル(1998)とカポビッチ(2009)は円上でファイバー化しない多様体の一般的な場合の証明を与えた。サーストンの幾何化定理は、より一般的なサーストン幾何化予想のリッチフローを用いたペレルマンの証明からも導かれる。

この場合のサーストンの元々の議論は、サリバン (1981) によって要約されました。オタル (1996) は、円周上のファイバーを持つ多様体の場合の証明を示しました。

この特殊なケースにおけるサーストンの幾何化定理は、M が円上にファイバーを持ち、モノドロミーが擬似アノソフ微分同相写像である 3 次元多様体である場合、 Mの内部は有限体積の完全な双曲計量を持つと述べています。

Otal (1998) と Kapovich (2009) は、円周上にファイバーを持たない多様体の一般的なケースについて、サーストンの定理の証明を与えました。

証明のアイディアは、ハーケン多様体M を非圧縮面に沿って切断し、新しい多様体N を得るというものである。帰納法によって、 Nの内部は双曲的構造を持つと仮定し、問題はそれをNの境界まで拡張して互いに接着できるように修正することである。サーストンは、これがスキニング マップと呼ばれるタイヒミュラー空間のマップの不動点の存在から従うことを示した。幾何化定理の証明の核心は、N が面上の区間バンドルでなく、Mがアロイダルである場合、スキニング マップは不動点を持つことを証明することである。 ( N が区間バンドルである場合、スキニング マップは不動点を持たないため、円上のMファイバーの場合は別の議論が必要になる。) マクマレン (1990) は、スキニング マップの不動点の存在の新しい証明を与えた。

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• Kapovich, M., 幾何化定理(PDF)