グラフ多様体

位相幾何学において、グラフ多様体（ドイツ語：Graphenmannigfaltigkeit）は、いくつかの円束を接着することによって得られる3次元多様体です。グラフ多様体は、1967年にドイツの位相学者フリードヘルム・ヴァルトハウゼンによって発見され、分類されました。この定義により、頂点が基本部分であり、（装飾された）辺が接着の記述を表すグラフとして、非常に便利な組み合わせ記述が可能になるため、この名前が付けられています。

2 つの非常に重要なクラスの例として、ザイフェルト束とソルブ多様体があります。これにより、より現代的な定義が生まれます。グラフ多様体は、ソルブ多様体、JSJ 分解でザイフェルト片のみを持つ多様体、または前述の 2 つのカテゴリの連結和のいずれかです。この観点から、ヴァルトハウゼンの記事は、JSJ 分解の発見に向けた最初のブレークスルーと見なすことができます。

サーストン・ペレルマンの幾何化定理の数多くの帰結の 1 つは、グラフ多様体はまさにグロモフノルムがゼロになる 3 次元多様体であるということです。

• Waldhausen、Friedhelm (1967)、「Eine Klasse von 3-Dimensionen Mannigfaltigkeiten. I」、Inventiones Mathematicae、3 (4): 308–333、doi :10.1007/BF01402956、ISSN  0020-9910、MR  0235576
• Waldhausen、Friedhelm (1967)、「Eine Klasse von 3-Dimensionen Mannigfaltigkeiten. II」、Inventiones Mathematicae、4 (2): 87–117、doi :10.1007/BF01425244、ISSN  0020-9910、MR  0235576