8の字結び（数学）

8の字結び
通称	8の字結び
Arf不変	1
編み込みの長さ	4
編み込みNo.	3
橋番号	2
クロスキャップNo.	2
交差点番号	4
属	1
双曲体積	2.02988
スティックNo.	7
解く番号。	1
コンウェイ記法	[22]
A-B表記	4 1
ダウカー記法	4、6、8、2
最後 / 次	3 1 /  5 1
他の
交互、双曲、繊維、素、完全な両性、ねじれ

結び目理論では、8の字結び目（リスティング結び目^{[1]とも呼ばれる）は、}交差数が4である唯一の結び目です。これにより、この結び目は、非結び目と 三つ葉結び目に次いで、交差数が3番目に小さい結び目になります。8の字結び目は素数結び目です。

この名前は、ロープに 通常の8 の字結びをしてから、その両端を最も自然な方法で結合すると、数学的な結び目のモデルが得られることから付けられました。

8の字結び目の単純なパラメトリック表現は、すべての点（x、y、z）の集合として表される。

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\left(2+\cos {(2t)}\right)\cos {(3t)}\\y&=\left(2+\cos {(2t)}\right)\sin {(3t)}\\z&=\sin {(4t)}\end{aligned}}}$

t は実数に応じて変化します (右下の 2D 視覚的実現を参照) 。

8の字結び目は、素数、交代数、有理数であり、関連する値は5/3、^[2]であり、非非対称である。8の字結び目は繊維結び目でもある。これは、結び目の他の、それほど単純ではない（しかし非常に興味深い）表現から導かれる。

(1) これは同次^[注1] 閉編組（すなわち、3弦編組σ ₁ σ ₂ ⁻¹ σ ₁ σ ₂ ⁻¹の閉包）であり、ジョン・スタリングスの定理によれば、任意の閉同次編組は繊維化されている。

(2) これは実多項式写像F : R ⁴ → R ^{2の孤立した臨界点の (0,0,0,0) におけるリンクであるため、(}ジョン・ミルナーの定理によれば) Fのミルナー写像は実際にはファイバ化である。バーナード・ペロンは、この結び目に対して 最初にそのようなF を発見した。

${\displaystyle F(x,y,z,t)=G(x,y,z^{2}-t^{2},2zt),\,\!}$

どこ

${\displaystyle {\begin{aligned}G(x,y,z,t)=\ &(z(x^{2}+y^{2}+z^{2}+t^{2})+ x(6x^{2}-2y^{2}-2z^{2}-2t^{2}),\\&\ tx{\sqrt {2}}+y(6x^{2}-2y^{2}-2z^{2}-2t^{2})).\end{aligned}}}$

8の字結び目は歴史的に（そして現在も）3次元多様体理論において重要な役割を果たしてきた。1970年代半ばから後半にかけて、ウィリアム・サーストンは8の字結び目が双曲的であることを示した。これは、8の字結び目の補集合を2つの理想的な双曲四面体に分解することによって行われた。（ロバート・ライリーとトロエルス・ヨルゲンセンは、それぞれ独立して作業し、それ以前に別の手段で8の字結び目が双曲的であることを示した。）この当時としては新しい構成によって、彼は多くの強力な結果と手法を導き出した。例えば、彼は8の字結び目に対する10を除くすべてのデーン手術が、非ハーケン、非ザイフェルトファイバーの既約3次元多様体をもたらすことを示すことができた。これらはそのような最初の例であった。サーストンの構成を他の結び目やつながりに一般化することで、さらに多くの例が発見されている。

8の字結び目は、補集合の体積が最小となる双曲的結び目でもあります（OEISのシーケンスA091518）。ここで、 はロバチェフスキー関数です。^[3]この観点から、8の字結び目は最も単純な双曲的結び目であると考えられます。8の字結び目の補集合は、非コンパクトな双曲的3次元多様体の中で最小の体積を持つ ギーゼキング多様体の二重被覆です。${\displaystyle 6\Lambda (\pi /3)\approx 2.02988...}$${\displaystyle \Lambda}$

8の字結び目と(-2,3,7) プレッツェル結び目は、 6 を超える例外手術、つまり非双曲的 3 次元多様体をもたらすデーン手術を持つことが知られている唯一の 2 つの双曲的結び目であり、それぞれ 10 と 7 である。ラケンビーとマイヤーホフの定理は、10 が双曲的結び目の例外手術の最大可能数であるとしており、その証明は幾何化予想とコンピュータ支援に依存している。しかし、8の字結び目が 10 という上限を達成する唯一の結び目であるかどうかは現在わかっていない。よく知られている予想では、上限は (前述の 2 つの結び目を除いて) 6 である。

8の字結び目は種数1で繊維化されています。したがって、円上の補繊維は、境界成分を1つ持つ2次元トーラスであるザイフェルト面です。モノドロミー写像は、2次元トーラスの同相写像であり、この場合は行列 で表すことができます。 ${\displaystyle ({\begin{smallmatrix}2&1\\1&1\end{smallmatrix}})}$

8の字結び目の アレクサンダー多項式は

${\displaystyle \Delta (t)=-t+3-t^{-1},\ }$

コンウェイ多項式は

${\displaystyle \nabla (z)=1-z^{2},\ }$^[4]

そしてジョーンズ多項式は

${\displaystyle V(q)=q^{2}-q+1-q^{-1}+q^{-2}.\ }$

ジョーンズ多項式におけるとの間の対称性は、8の字結び目がアキラルであるという事実を反映しています。 ${\displaystyle q}$${\displaystyle q^{-1}}$

• イアン・アゴル、 「例外的なデーン充填の境界」、Geometry & Topology 4 (2000)、431–449。MR 1799796
• Chun Cao と Robert Meyerhoff、「最小体積の有向尖頭双曲型 3 次元多様体」、 Inventiones Mathematicae、146 (2001)、第 3 号、451–478 ページ。MR 1869847
• マーク・ラッケンビー、「Word 双曲デーン手術」、Inventiones Mathematicae 140 (2000) 、第2号、243-282。MR 1756996
• マーク・ラッケンビーとロバート・マイヤーホフ、「例外的なデーン手術の最大数」、arXiv:0808.1176
• Robion Kirby、低次元位相幾何学の問題、（例外的な傾きについては、Cameron Gordonによる問題 1.77 を参照）
• ウィリアム・サーストン、「3次元多様体の幾何学と位相」、プリンストン大学講義ノート（1978-1981年）。

• 「4_1」、The Knot Atlas。アクセス日: 2013 年 5 月 7 日。
• Weisstein、Eric W.「8の字結び目」。MathWorld。