区分線形多様体

数学において、区分線形多様体（PL多様体）は、その上に区分線形構造を持つ位相多様体である。このような構造は地図帳によって定義することができ、区分線形関数によってその中の図表から図表へと移動することができる。これは、三角形分割の位相概念よりもわずかに強力である。^[a] PL多様体の同型はPL同相写像と呼ばれる。。

他の多様体カテゴリとの関係

PL、より正確には PDIFF は、DIFF (滑らかな多様体のカテゴリ) と TOP (位相多様体のカテゴリ) の間に位置し、カテゴリ的には DIFF よりも「動作が良好」です。たとえば、一般化ポアンカレ予想はPL では真ですが (次元 4 は例外で、その場合は DIFF と同等)、DIFF では一般に偽です。ただし、手術理論で詳しく説明されているように、TOP よりも「動作が劣ります」。

滑らかな多様体

滑らかな多様体は標準的なPL構造を持ちます。つまり、ホワイトヘッドの三角分割定理（Whitehead 1940）[1] [2]により、それらは一意に三角分割可能です。^しかし^{、 PL多様体は必ずしも}滑らかな構造を持つわけではありません。つまり、それらは必ずしも滑らかにできるわけではありません。この関係は、DIFFとPLの両方を含み、PLと同等のカテゴリPDIFFを導入することで詳しく説明できます。

PL が DIFF より適切に動作する 1 つの方法は、 PL では円錐を取ることができるが、DIFF ではできないことです。円錐の点は PL では受け入れられます。結果として、一般化ポアンカレ予想は4 より大きい次元に対して PL で真になります。証明は、ホモトピー球を取り、2 つの球を取り除き、hコボルディズム定理を適用してこれが円筒であると結論付け、円錐を取り付けて球を復元することです。この最後のステップは PL では機能しますが DIFF では機能しないため、エキゾチックな球が発生します。

位相多様体

すべての位相多様体が PL 構造を許容するわけではありません。また、許容する位相多様体でも、PL 構造は一意である必要はなく、無限に存在できます。これについては、Hauptvermutungで詳しく説明されています。

PL 構造を位相多様体上に配置する際の障害は、カービー-ジーベンマン類です。正確には、カービー-ジーベンマン類はM x R 上に PL 構造を配置する際の障害であり、次元 n > 4 では、M に少なくとも 1 つの PL 構造がある場合に限り、KS 類は消滅します。

実数代数集合

PL 多様体上の A 構造は、PL 多様体を滑らかな多様体に帰納的に解決する方法を提供する構造です。コンパクトな PL 多様体は A 構造を受け入れます。^[3]^{[4]コンパクトな PL 多様体は}、実代数集合に同相です。^[5]^[6] 言い換えると、A カテゴリは、持ち上げを妨げることなく、より豊富なカテゴリとして PL カテゴリ上に位置し、つまり、BA → BPL は BA = BPL × PL/A の積ファイバであり、A 多様体は実代数集合であるため、PL 多様体は実代数集合です。

組合せ多様体とデジタル多様体

組合せ多様体とは、多様体を離散化した多様体の一種です。通常は、単体複体によって作られた区分線型多様体を意味します。
デジタル多様体は、デジタル空間で定義される特殊な種類の組み合わせ多様体です。デジタルトポロジーを参照してください。

参照

単体多様体

注記

^ PL 構造では、単体のリンクが PL 球面であることも必要です。PL 構造ではない多様体の位相的三角分割の例としては、次元n ≥ 5 のポアンカレ球面の ( n − 3) 倍サスペンション(三角形分割が固定されている) があります。これは、リンクがポアンカレ球面である単体を持ちます。ポアンカレ球面は、球面と同相ではない 3 次元多様体であり、したがって PL 球面ではありません。詳細については、三角形分割 (位相) § 区分線型構造を参照してください。

参考文献

^ ルリー、ジェイコブ（2009年2月13日）、ホワイトヘッド三角測量（講義3）（PDF）
^ MA Shtan'ko (2001) [1994]、「多様体の位相幾何学」、数学百科事典、EMS Press
^ Akbulut, S.; Taylor, L. (1980). 「位相分解定理」.アメリカ数学会報. (NS). 2 (1): 174–176. doi : 10.1090/S0273-0979-1980-14709-6 .
^ アクブルット、S.テイラー、L. (1981)。「位相解像度定理」。出版物 Mathématiques de l'IHÉS。53 (1): 163–196。土井：10.1007/BF02698689。S2CID 121566364。
^ Akbulut, S.; King, HC (1980). 「実代数多様体の位相的特徴付け」.アメリカ数学会報. (NS). 2 (1): 171–173. doi : 10.1090/S0273-0979-1980-14708-4 .
^ アクブルット、S.キングHC（1981年）。「位相空間上の実際の代数構造」。出版物 Mathématiques de l'IHÉS。53 (1): 79–162。土井：10.1007/BF02698688。S2CID 13323578。

ホワイトヘッド、JHC ( 1940 年 10 月)。「C ¹複素数について」。数学年報。第 2 シリーズ。41 ( 4): 809–824。doi :10.2307/1968861。JSTOR 1968861。
Rudyak, Yuli B. (2001). 「位相多様体上の区分線形構造」. arXiv : math.AT/0105047 .

[1] PL 構造では、単体のリンクが PL 球面であることも必要です。PL 構造ではない多様体の位相的三角分割の例としては、次元n ≥ 5 のポアンカレ球面の ( n − 3) 倍サスペンション(三角形分割が固定されている) があります。これは、リンクがポアンカレ球面である単体を持ちます。ポアンカレ球面は、球面と同相ではない 3 次元多様体であり、したがって PL 球面ではありません。詳細については、三角形分割 (位相) § 区分線型構造を参照してください。

[2] ルリー、ジェイコブ（2009年2月13日）、ホワイトヘッド三角測量（講義3）（PDF）

[3] MA Shtan'ko (2001) [1994]、「多様体の位相幾何学」、数学百科事典、EMS Press

[4] Akbulut, S.; Taylor, L. (1980). 「位相分解定理」.アメリカ数学会報. (NS). 2 (1): 174–176. doi : 10.1090/S0273-0979-1980-14709-6 .

[5] アクブルット、S.テイラー、L. (1981)。「位相解像度定理」。出版物 Mathématiques de l'IHÉS。53 (1): 163–196。土井：10.1007/BF02698689。S2CID 121566364。

[6] Akbulut, S.; King, HC (1980). 「実代数多様体の位相的特徴付け」.アメリカ数学会報. (NS). 2 (1): 171–173. doi : 10.1090/S0273-0979-1980-14708-4 .

[7] アクブルット、S.キングHC（1981年）。「位相空間上の実際の代数構造」。出版物 Mathématiques de l'IHÉS。53 (1): 79–162。土井：10.1007/BF02698688。S2CID 13323578。