既約性（数学）

数学では、既約性の概念はさまざまな方法で使用されます。

体上の多項式は、その体上で因数分解できない場合は既約多項式である可能性があります。
抽象代数学では、既約は積分領域の既約要素、例えば既約多項式、の略語となることがあります。
表現論において、既約表現とは、非自明な適切な部分表現を持たない非自明な表現のことです。同様に、既約モジュールは単純モジュールの別名です。
絶対既約とは、係数体のいかなる有限拡張の後でも既約でないことを意味するために適用される用語です。これは、さまざまな状況で適用されます。たとえば、線形表現の既約性や代数多様体の既約性に適用されます。その場合、代数閉包上の既約性とまったく同じ意味になります。
可換代数において、可換環 Rが既約であるとは、その素スペクトル、つまり位相空間 Spec Rが既約位相空間である場合をいいます。
行列が既約行列と呼ばれるのは、ブロック上三角行列（正のサイズのブロックが 1 つ以上ある行列）との置換によって類似しない場合です。（行列内の 0 以外の要素を 1 つに置き換え、行列を有向グラフの隣接行列として見ると、そのような有向グラフが強く連結されている場合に限り、行列は既約行列となります。）詳細な定義は、こちらで説明されています。
また、任意の状態から他の任意の状態へ遷移する確率がゼロでない（複数のステップであっても）場合、マルコフ連鎖は既約ではありません。
多様体理論では、埋め込まれた ( n − 1) 球面が埋め込まれたn球面を囲む場合、 n多様体は既約である。この定義には、微分可能多様体のカテゴリや区分線型多様体のカテゴリなどの適切なカテゴリの使用が暗黙的に含まれます。代数と多様体理論における既約の概念は関連しています。 n多様体は、 2 つのn多様体 (どちらもn球面ではない) の連結された和として記述できない場合、素数と呼ばれます。したがって、既約多様体は素数ですが、その逆は成り立ちません。代数学者の観点からは、素多様体は「既約」と呼ばれるべきですが、位相学者 (特に3 多様体位相学者) は上記の定義の方が有用であると考えています。素数だが既約ではないコンパクトで連結な 3 次元多様体は、S ^{1上の自明な 2 次元球面バンドルと}S ¹上のねじれた 2 次元球面バンドルだけです。たとえば、素数分解 (3 次元多様体)を参照してください。
位相空間は、 2つの適切な閉部分集合の和集合でない場合、既約である。この概念は、空間にザリスキ位相が備わっている代数幾何学で使用される。ハウスドルフ空間ではあまり重要ではない。既約成分、代数多様体も参照。
普遍代数学において、既約性は、積の構成を使用して代数構造をより単純な構造の合成として表現できないことを指します。たとえば、部分直接既約性などです。
3 次元多様体は、既約であり、 2 辺(実射影平面)を含まない場合、P² 既約であると言えます。 $\mathbb {R} P^{2}$
既約分数（または最小分数）とは、分子と分母が他の同値な分数よりも小さい普通分数です。

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