方向性

数学において、向き付け可能性は、実ベクトル空間、ユークリッド空間、曲面、およびより一般的には多様体などの位相空間の特性であり、「時計回り」と「反時計回り」の一貫した定義を可能にします。^[1]そのような一貫した定義が存在する場合、空間は向き付け可能です。この場合、2つの定義が可能であり、それらの選択が空間の向きです。実ベクトル空間、ユークリッド空間、および球は向き付け可能です。空間内のいくつかのループを実行して開始点に戻った後、「時計回り」が「反時計回り」に変わる場合、空間は向き付け不可能です。これは、次のような幾何学的形状がこのようなループに沿って連続的に移動するものは、自身の鏡像に変換される。 メビウスの帯は向きを変えることができない空間の例です。

望ましい応用と一般性のレベルに応じて、向き付け可能性のさまざまな同等の定式化を与えることができます。一般的な位相多様体に適用可能な定式化では、ホモロジー理論の方法がよく使用されますが、微分可能多様体の場合はより多くの構造が存在するため、微分形式による定式化が可能です。空間の向き付け可能性の概念の一般化は、他の空間 (ファイバーバンドル)によってパラメーター化された空間のファミリーの向き付け可能性の概念であり、このファミリーでは、パラメーター値の変化に対して連続的に変化する向きを各空間で選択する必要があります。

ユークリッド空間R ³の面Sが向き付け可能であるとは、キラルな2 次元図形（例えば、 ) は、表面上で移動したり、開始位置に戻ったりすることができず、鏡像のように見える (）でなければなりません。それ以外の場合、表面は向きが不定です。抽象的な表面（つまり、2次元多様体）は、時計回りの回転という一貫した概念を表面上で連続的に定義できる場合、向きが定まります。つまり、表面上で一方向に回るループは、（重なり合うことなく）反対方向に回るループに連続的に変形することはできません。これは、表面にメビウスの帯と同相な部分集合が含まれないかどうかという問題と同等であることがわかります。したがって、表面の場合、メビウスの帯はすべての向きが定まらない原因であると考えられます。

有向性表面の場合、一貫して「時計回り」（反時計回りではなく）を選択することを方向 と呼び、表面を有向性 と呼びます。ユークリッド空間に埋め込まれた表面の場合、方向は、すべての点で連続的に変化する表面法線 n を選択することによって指定されます。そのような法線が存在する場合、それを選択するには常に 2 つの方法があります。 nまたは − nです。より一般的には、有向性表面は 2 つの方向のみを許可し、有向性表面と有向性表面の区別は微妙で、しばしばあいまいです。有向性表面は方向を許可する抽象的な表面ですが、有向性表面は抽象的に有向性があり、2 つの可能な方向のいずれかを選択できるという追加の基準を持つ表面です。

物理世界で遭遇するほとんどの表面は向き付け可能です。 たとえば、球、平面、トーラスは向き付け可能です。しかし、メビウスの帯、実射影平面、クラインの壷は向き付け不可能です。これらを 3 次元で視覚化すると、すべて 1 つの側面しかありません。実射影平面とクラインの壷はR ³に埋め込むことはできず、きれいな交差で 埋め込むことしかできません。

局所的には、埋め込まれた表面には常に 2 つの側面があるため、片面の表面を這う近視のアリは「反対側」があると考えることに注意してください。片面性の本質は、アリが表面を通り抜けたり端をひっくり返したりすることなく、単に十分遠くまで這うだけで、表面の片側から「反対側」まで這うことができることです。

一般に、向き付け可能であるという性質は、2面性を持つことと同義ではない。しかし、これは周囲の空間（上記のR ³など ）が向き付け可能である場合に成立する。例えば、

${\displaystyle K^{2}\times S^{1}}$

は片面になる可能性があり、同じ空間内のクラインの瓶は両面になる可能性があります。ここではクラインの瓶について言及します。 ${\displaystyle K^{2}}$

あらゆる表面は三角形分割、つまり三角形に分解され、三角形の各辺は最大で他の 1 辺に接着されます。各三角形は、三角形の周囲の方向を選択し、三角形の各辺に方向を関連付けることで方向付けられます。接着時に隣接する辺が反対方向を指すようにこれを行うと、表面の方向が決まります。このような選択は、表面が方向付け可能である場合にのみ可能であり、この場合、正確に 2 つの異なる方向があります。

図が鏡像になることなく、表面のすべての点に一貫して配置できる場合、三角形の内部にある図形の色の赤、緑、青の順序に基づいて各三角形の方向を選択することで、三角形分割の各三角形に上記の意味での方向が誘導されます。

このアプローチは、三角形分割を持つ任意のn多様体に一般化されます。ただし、一部の 4 多様体は三角形分割を持たないため、一般にn > 4 の場合、一部のn多様体は同等でない三角形分割を持ちます。

H ₁ ( S ) が閉曲面Sの第一ホモロジー群を表す場合、H ₁ ( S ) が自明な捩れ部分群を持つ場合のみ、Sは向き付け可能です。より正確には、Sが向き付け可能であればH ₁ ( S ) は自由アーベル群であり、そうでない場合はH ₁ ( S ) = F + Z /2 Zです。ここでFは自由アーベル群であり、Z /2 Z因子はSに埋め込まれたメビウスの帯の中央の曲線によって生成されます。

M を連結な位相的n次元多様体とする。 Mが向き付け可能であることの意味については、いくつかの定義が可能である。これらの定義の中には、M が微分可能であるなどの追加の構造を持つことを要求するものもある。場合によっては、n = 0 を特別なケースにする必要がある。これらの定義の 1 つ以上がMに当てはまる場合、M が1 つの定義で向き付け可能であるのは、他の定義で向き付け可能である場合のみである。^{[2] [3]}

最も直感的な定義では、 M は微分可能多様体である必要があります。これは、Mのアトラス内の遷移関数がC ¹関数であることを意味します。このような関数は、ヤコビ行列式を受け入れます。ヤコビ行列式が正の場合、遷移関数は方向保存であると言われます。M上の有向アトラスは、すべての遷移関数が方向保存であるアトラスです 。 M は、有向アトラスを受け入れる場合、有向可能です。 n > 0の場合、Mの方向は最大有向アトラスです。（n = 0の場合、 Mの方向は関数M → {±1}です。）

向き付け可能性と向き付けは、接バンドルによっても表現できます。接バンドルはベクトルバンドルなので、構造群GL( n , R )を持つファイバーバンドルです。つまり、多様体の遷移関数は、ファイバー単位の線形変換である接バンドル上の遷移関数を誘導します。構造群を正の行列式行列のグループGL ⁺ ( n , R )に簡約できる場合、または同等に、遷移関数が各接空間上の向きを保存する線形変換を決定するアトラスが存在する場合、多様体Mは向き付け可能です。逆に、接バンドルの構造群がこのように簡約できる場合のみ、 Mは向き付け可能です。フレームバンドルについても同様のことが言えます。

微分可能多様体上の向きを定義する別の方法は、体積形式を使用することです。体積形式は、 Mの余接バ​​ンドルの上の外部冪である⋀ ⁿ T ^∗ Mのどこにも消えないセクションωです。たとえば、R ^nにはdx ¹ ∧ ⋯ ∧ dx ⁿで与えられる標準体積形式があります。 M上の体積形式が与えられた場合、標準体積形式がωの正の倍数に戻るすべてのチャートU → R ⁿのコレクションは、向き付けられたアトラスです。したがって、体積形式の存在は、多様体の向き付け可能性と同等です。

体積形式と接ベクトルを組み合わせると、さらに別の方向性を記述できます。 X ₁、…、X _{n が}点pにおける接ベクトルの基底である場合、 ω( X ₁、…、X _n ) > 0であれば、基底は右手系であると言われます。遷移関数は、右手系の基底を右手系の基底に送る場合にのみ、方向性を保存します。体積形式の存在は、接バンドルまたはフレームバンドルの構造群がGL ⁺ ( n、R )に縮小されることを意味します。前と同様に、これはMの方向性を意味します。逆に、Mが方向性を持つ場合、局所体積形式をパッチしてグローバル体積形式を作成できます。方向性は、グローバル形式がどこにも消えないことを保証するために必要です。

微分可能多様体の向き付け可能性に関する上記のすべての定義の中心にあるのは、向きを保存する遷移関数の概念です。これにより、このような遷移関数が正確に何を保存するのかという疑問が生じます。多様体の向きはアトラスであるため、遷移関数が多様体の向きを保存することはできず、遷移関数がメンバーであるアトラスを保存するか保存しないかと言うことは意味がありません。

この問題は、局所的な向きを定義することで解決できます。1 次元多様体では、点p の周りの局所的な向きは、その点の近くで左と右の選択に対応します。2 次元多様体では、時計回りと反時計回りの選択に対応します。これら 2 つの状況は、pの近くではトップ次元の動作で記述されますが、pでは記述されないという共通の特徴を持っています。一般的なケースでは、Mを位相n多様体とします。点p の周りのMの局所的な向きは、グループの生成元の選択です。

${\displaystyle H_{n}\left(M,M\setminus \{p\};\mathbf {Z} \right).}$

この群の幾何学的意味を見るには、 pの周りのチャートを選択します。そのチャートには、原点Oの周りの開球Bであるpの近傍があります。除去定理により、はと同型です。球B は収縮可能であるため、そのホモロジー群は次数 0 を除いて消え、空間B \ Oは( n − 1)球面であるため、そのホモロジー群は次数n − 1と0を除いて消えます。相対ホモロジーの長完全列を計算すると、上記のホモロジー群は と同型であることがわかります。したがって、ジェネレータの選択は、指定されたチャートでp の周りの球が正か負かを決定することに対応します。原点を通るR ⁿの反射はに負の作用を及ぼすため、ジェネレータの選択の幾何学的意味は、チャートをその反射と区別することです。 ${\displaystyle H_{n}\left(M,M\setminus \{p\};\mathbf {Z} \right)}$${\displaystyle H_{n}\left(B,B\setminus \{O\};\mathbf {Z} \right)}$${\displaystyle H_{n-1}\left(S^{n-1};\mathbf {Z} \right)\cong \mathbf {Z} }$${\displaystyle H_{n-1}\left(S^{n-1};\mathbf {Z} \right)}$

位相多様体上で、遷移関数が向きを保存するとは、その定義域の各点pで の生成元を固定することを意味します。ここから、関連する定義は微分可能な場合と同じです。向き付けられたアトラスは、すべての遷移関数が向きを保存するものです。Mは、向き付けられたアトラスを許容する場合に向き付け可能であり、 n > 0の場合、Mの向きは最大向き付けられたアトラスです。 ${\displaystyle H_{n}\left(M,M\setminus \{p\};\mathbf {Z} \right)}$

直感的に、 Mの向きは各点におけるMの一意のローカル向きを定義するはずです。これは、 p の周りの向き付けられたアトラスの任意のチャートを使用してp の周りの球を決定でき、この球が の生成元を決定することに注目することで明確になります。さらに、 pの周りの他のチャートは、方向を維持する遷移関数によって最初のチャートに関連付けられており、これは 2 つのチャートが同じ生成元を生成することを意味し、したがって生成元は一意です。 ${\displaystyle H_{n}\left(M,M\setminus \{p\};\mathbf {Z} \right)}$

純粋にホモロジー的な定義も可能である。M が閉じており連結であると仮定すると、 n番目のホモロジー群が整数Zに同型である場合に限り、Mは向き付け可能である。Mの向き付けは、この群の生成元αの選択である。この生成元は、無限巡回群の生成元を固定し、向き付けたチャートをαが固定された生成元に押し進めるチャートとすることで、向き付けたアトラスを決定する。逆に、向き付けたアトラスは、互換性のあるローカル向きを接着してホモロジー群の生成元を与えることができるような生成元を決定する。^[4]${\displaystyle H_{n}(M;\mathbf {Z} )}$${\displaystyle H_{n}(M;\mathbf {Z} )}$${\displaystyle H_{n}(M;\mathbf {Z} )}$

多様体Mが向き付け可能であるのは、最初のスティフェル・ホイットニー類が 消える場合のみである。特に、Z /2 係数を持つ最初のコホモロジー群がゼロであれば、多様体は向き付け可能である。さらに、Mが向き付け可能でw _{1 が}消える場合、向きの選択がパラメータ化される。^[5]この向き付け可能性の特徴付けは、接束だけでなく、 M上の一般的なベクトル束の向き付け可能性にも拡張される。${\displaystyle w_{1}(M)\in H^{1}(M;\mathbf {Z} /2)}$${\displaystyle H^{0}(M;\mathbf {Z} /2)}$

Mの各点の周りには2 つの局所的な向きがあります。直感的には、点pでの局所的な向きから近くの点p ′での局所的な向きに移動する方法があります。2 つの点が同じ座標チャートU → R ⁿ内にある場合、その座標チャートはpとp ′での互換性のある局所的な向きを定義します。したがって、局所的な向きの集合にはトポロジーを与えることができ、このトポロジーによって多様体になります。

より正確には、O をM のすべての局所的配向の集合とする。O を位相化するには、その位相の部分基底を指定する。U を Zと同型となるように選択された Mの開部分集合とする。α はこの群の生成元であると仮定する。U の各 p に対して、プッシュフォワード関数が存在する。この群の余域には 2 つの生成元があり、α はそのうちの 1 つに写像される。O 上の位相は次のように定義される。 ${\displaystyle H_{n}(M,M\setminus U;\mathbf {Z} )}$${\displaystyle H_{n}(M,M\setminus U;\mathbf {Z} )\to H_{n}\left(M,M\setminus \{p\};\mathbf {Z} \right)}$

${\displaystyle \{{\text{H_{n}\left(M,M\setminus \{p\};\mathbf {Z} \right)\colon p\in U\}} における }}\alpha {\text{ のイメージ$

開いています。

pにおける局所的な向きをpに送る標準写像π : O → Mが存在する。 Mのすべての点にはπ の下で正確に 2 つの逆像があることは明らかである。実際、π は局所的な同相写像ですらある。なぜなら、上で述べた開集合Uの逆像は、Uの 2 つのコピーの互いに素な和に同相だからである。Mが向き付け可能であれば、M自体もこれらの開集合の 1 つであるため、O はMの 2 つのコピーの互いに素な和である。しかし、 Mが向き付け不可能であれば、Oは連結かつ向き付け可能である。多様体O は向き二重被覆と呼ばれる。

M が境界を持つ多様体である場合、 Mの向きはその内部の向きとして定義されます。このような向きは、 ∂ Mの向きを誘導します。実際、 Mの向きが固定されていると仮定します。U → R ⁿ _{+ を}、 Mの内部に制限されたときに、選択された向き付けられたアトラスに含まれる、Mの境界点におけるチャートとします。このチャートを ∂ Mに制限すると、 ∂ Mのチャートになります。このようなチャートは、 ∂ Mの向き付けられたアトラスを形成します。

Mが滑らかな場合、 ∂ Mの各点pにおいて、 Mの接線束の∂ Mへの制限はT _p ∂ M ⊕ Rと同型であり、ここでRの因子は内向きの法線ベクトルによって記述されます。 T _p ∂ Mの向きは、 T _p ∂ Mの基底が正に向いているのは、内向きの法線ベクトルと組み合わせたときにT _p Mの正に向いている基底を定義する場合のみであるという条件によって定義されます。

密接に関連した概念では、被覆空間というアイデアが使われます。連結多様体 の場合、が の点であり がにおける向きで あるペアの集合 をとります。ここで、 は滑らかであるため、点で接空間上の向きを選択できるか、または特異ホモロジーを使用して向きを定義できるかのどちらかであると仮定します。次に、 のすべての開いた向き付けられた部分集合 に対して、対応するペアの集合を考え、それを の開いた集合として定義します。これにより、位相が得られ、を に送る射影は2 対 1 の被覆マップになります。この被覆空間 は向き付け可能であるため、向き付け可能 な二重被覆と呼ばれます。が連結であるのは、 が向き付け可能でない場合のみです。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle M^{*}}$${\displaystyle (x,o)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle M}$${\displaystyle o}$${\displaystyle x}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M^{*}}$${\displaystyle M^{*}}$${\displaystyle (x,o)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle M^{*}}$${\displaystyle M}$

この被覆を構成する別の方法は、基点を基準とするループを、方向保存ループまたは方向反転ループに分割することです。方向保存ループは、グループ全体またはインデックス2 の基本グループのサブグループを生成します。後者の場合 (つまり、方向反転パスがある)、サブグループは連結された二重被覆に対応します。この被覆は、構成によって方向付け可能です。前者の場合、 のコピーを 2 つ取るだけで、それぞれが異なる方向に対応します。 ${\displaystyle M}$

実ベクトル束は、GL(n)構造群を事前に持ち、その構造群を、正の行列式を持つ行列の群に簡約できるとき、向き付け可能であると呼ばれます。接束については、基礎となる基本多様体が向き付け可能であれば、この簡約は常に可能であり、実際、これは滑らかな実多様体の向き付け可能性を定義する便利な方法を提供します。滑らかな多様体は、その接束が (ベクトル束として) 向き付け可能である場合、向き付け可能であると定義されます。接束は、それ自体が多様体であるため、向き付け不可能な多様体上であっても、 常に向き付け可能であることに注意してください。 ${\displaystyle GL^{+}(n)}$

ロレンツ幾何学では、空間的配向性と時間的配向性の2種類の配向性がある。これらは時空の因果構造において役割を果たす。^[6]一般相対性理論 の文脈では、 2人の右利きの観測者が同じ時空点からロケット船で出発し、別の点で再び出会ったときに、互いに対して右利きのままである場合、時空多様体は空間的に配向可能である。時空が時間的に配向可能である場合、2人の観測者は出会った2つの点における時間の方向について常に同意する。実際、時空が時間的に配向可能であるのは、2人の観測者がどちらの出会いが先に起こったかについて同意できる場合のみである。^[7]

形式的には、擬似直交群O( p , q )は空間方向特性σ ₊と時間方向特性σ−_の一対の特性を持つ。

${\displaystyle \sigma _{\pm }:\operatorname {O} (p,q)\to \{-1,+1\}.}$

それらの積σ = σ ₊ σ _{− は}行列式であり、これが方向特性を与える。擬リーマン多様体の空間方向は、関連するバンドルの切断と同一視される。

${\displaystyle \operatorname {O} (M)\times _{\sigma _{+}}\{-1,+1\}}$

ここで、O( M )は擬似直交フレームの束である。同様に、時間方向は関連する束のセクションである。

${\displaystyle \operatorname {O} (M)\times _{\sigma _{-}}\{-1,+1\}.}$

• 曲線の方向
• オリエンテーション束

• 多様体アトラスにおける多様体の方向。
• マニフォールド アトラスでのオリエンテーション カバー。
• 多様体アトラスにおける一般化コホモロジー理論における多様体の方向付け。
• 数学百科事典の「方向」に関する記事。