ハケン多様体

数学において、ハーケン多様体とは、コンパクトでP² 既約な 3 次元多様体であり、十分に大きく、適切に埋め込まれた2 辺の 非圧縮面を含むことを意味します。向き付け可能なハーケン多様体のみを考慮する場合もあります。その場合、ハーケン多様体は、向き付け可能な非圧縮面を含む、コンパクトで向き付け可能な既約な 3 次元多様体です。

ハーケン多様体によって有限被覆された 3 次元多様体は、事実上ハーケンであると言われる。事実上ハーケン予想は、無限基本群を持つコンパクトで既約な 3 次元多様体はすべて事実上ハーケンであると主張する。この予想はイアン・アゴルによって証明された。^[1]

ハーケン多様体は、ヴォルフガング ハーケン(1961)によって導入されました  。ハーケン (1962) は、ハーケン多様体が階層構造を持ち、非圧縮面に沿って 3 次元球体に分割できることを証明しました。ハーケンはまた、3 次元多様体に非圧縮面がある場合、その非圧縮面を見つけるための有限の手順があることを示しました。ウィリアム ジャコとウルリッヒ エルテル (1984) は、3 次元多様体がハーケン多様体であるかどうかを判定するアルゴリズムを示しました。

正規表面はハーケン多様体の理論に遍在し、その単純で堅固な構造は極めて自然にアルゴリズムにつながります。

ここでは、議論を簡略化するために、有向Haken 多様体の場合のみを考察します。有向 3 次元多様体における有向面の正規近傍は、単に面の「厚みを増した」バージョン、つまり自明なIバンドルです。したがって、正規近傍は、面の 2 つのコピーを含む境界を持つ 3 次元部分多様体です。

有向性ハーケン多様体Mが与えられると、定義により、その中には有向性があり非圧縮性の曲面Sが含まれます。 Sの正則近傍を取り、その内部をMから削除すると、M'が得られます。実際には、曲面Sに沿ってM を切断したことになります。(これは、次元が 1 つ少ない点では、円または弧に沿って曲面を切断することに似ています。) 境界成分が球でない有向性コンパクト多様体は、無限の第 1ホモロジー群を持つという定理があります。これは、それが適切に埋め込まれた 2 辺の分離しない非圧縮性曲面を持つことを意味し、したがってこれもハーケン多様体です。したがって、M'で別の非圧縮性曲面を選び、それに沿って切断することができます。最終的に、この切断シーケンスによって、ピース (または成分) が 3 次元球体である多様体が得られる場合、このシーケンスを階層と呼びます。

階層構造により、ハーケン多様体に関する特定の種類の定理を証明することは帰納法の問題になります。まず、3 次元球の定理を証明します。次に、ハーケン多様体の切断によって生じた断片に対して定理が成り立つ場合、そのハーケン多様体に対しても定理が成り立つことを証明します。ここで重要なのは、切断が非常に「良い」、つまり非圧縮性の表面に沿って行われることです。これにより、多くの場合、帰納法のステップを証明することが実現可能になります。

ハーケンは、2 つのハーケン多様体が同相であるかどうかを調べるアルゴリズムの証明を概説しました。彼の概要は、フリードヘルム・ヴァルトハウゼン、クラウス・ヨハンソン、ジェフリー・ヘミオン、セルゲイ・マトヴェエフらによる実質的な努力によって補完されました。3 次元多様体がハーケンであるかどうかを調べるアルゴリズムが存在するため (Jaco–Oertel を参照)、3 次元多様体の認識という基本的な問題はハーケン多様体に対して解決されていると見なすことができます。

フリードヘルム・ヴァルトハウゼン (1968) は、閉じたハーケン多様体が位相的に剛体であることを証明しました。大まかに言えば、ハーケン多様体の任意のホモトピー同値は同相写像にホモトピーです (境界の場合は、周辺構造の条件が必要です)。したがって、これらの 3 次元多様体は、その基本群によって完全に決定されます。さらに、ヴァルトハウゼンは、ハーケン多様体の基本群には解ける単語問題があることを証明しました。これは、仮想ハーケン多様体にも当てはまります。

この階層構造は、ウィリアム・サーストンの3 次元多様体に対する革命的な幾何化プログラムの一部である、ハーケン多様体に対する 双曲化定理において重要な役割を果たしました。

ヨハンソン (1979) は、アトロイド状、非環状、境界既約、ハーケン 3 次元多様体が有限写像類群を持つことを証明しました。この結果は、モストウの剛性とサーストンの幾何化定理の組み合わせから復元できます。

いくつかの例のファミリーは他の例に含まれていることに注意してください。

• 正の第 1ベッチ数を持つコンパクトで既約な 3 次元多様体
• 円上の曲面バンドル。これは上記の例の特殊なケースです。
• リンク補完。ノット補完も参照。^[2]
• ほとんどのザイフェルトファイバー空間には多くの非圧縮トーラスが存在する

• 多様体分解
• P ²既約多様体

• ヴォルフガング・ハーケン(1961)。 「Theorie der Normalflächen. Ein Isotopiekriterium für den Kreisknoten」。アクタ・マセマティカ。105 (3–4): 245–375。土井: 10.1007/BF02559591。ISSN  0001-5962。MR  0141106。
• Haken, Wolfgang (1968)。「3次元多様体の表面に関するいくつかの結果」。Hilton , Peter J. (編)。現代トポロジーの研究。アメリカ数学協会 (Prentice-Hall、Englewood Cliffs、NJ より配布)。pp. 39–98。ISBN 978-0-88385-105-0MR  0224071 。
• ヴォルフガング・ハーケン(1962)。 「Über das Homöomorphieproblem der 3-Mannigfaltigkeiten. I」。数学的ツァイシュリフト。80：89～120。土井：10.1007/BF01162369。ISSN  0025-5874。MR  0160196。
• ヘンペル、ジョン(1976)。3次元多様体。数学研究年報。第86巻。プリンストン大学出版局。ISBN 978-0-8218-3695-8MR  0415619 。
• Jaco, William ; Oertel, Ulrich (1984). 「3次元多様体がHaken多様体であるかどうかを判断するアルゴリズム」. Topology . 23 (2): 195–209. doi :10.1016/0040-9383(84)90039-9. ISSN  0040-9383. MR  0744850.
• Johannson, Klaus (1979)。「単純な 3 次元多様体の写像類群について」。Fenn, Roger A. (編)。低次元多様体の位相 (第 2 回サセックス会議 Proc.、Chelwood Gate、1977)。数学の講義ノート。第 722 巻。ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag。pp . 48–66。doi : 10.1007/ BFb0063189。ISBN 978-3-540-09506-4. MR  0547454。
• Waldhausen, Friedhelm (1968)。 「十分に大きい既約 3 次元多様体について」。Annals of Mathematics。第 2 シリーズ。87 (1): 56–88。doi : 10.2307 /1970594。ISSN 0003-486X。JSTOR  1970594。MR  0224099  。