プライム多様体

数学の一分野である位相幾何学において、素多様体とは、 2 つのn多様体の非自明な連結和として表現できないn多様体である。非自明とは、2 つのどちらもn球面ではないことを意味する。同様の概念に既約n多様体があり、これは埋め込まれた ( n  − 1) 球面が埋め込まれた n 球体を囲むものである。この定義には、微分可能多様体のカテゴリや区分線型多様体のカテゴリなどの適切なカテゴリの使用が暗黙的に含まれます。

3 次元多様体は、それが素数である場合にのみ既約です。ただし、次の 2 つの例外があります。円上の 2 次元球面の積と非向き付けファイバー バンドルは、両方とも素数ですが既約ではありません。これは、既約元を一般化する代数的整数論における素イデアルの概念に多少似ています。 ${\displaystyle S^{2}\times S^{1}}$ ${\displaystyle S^{1}}$

ヘルムート・クネザーとジョン・ミルナーの定理によれば、あらゆるコンパクトで向き付け可能な3 次元多様体は、（同相を除いて）唯一の素 3 次元多様体の集合 の連結和です。

特に3 次元多様体について考えます。

3次元多様体はは、すべての滑らかな球面が球面を囲む場合、既約です。より厳密には、微分可能 連結3 次元多様体、球面となすべての微分可能部分多様体が、閉じた球面部分集合(つまり、 の微分可能性の仮定は滑らか(微分可能部分多様体) であり、管状の近傍 をと仮定する必要がありますアレクサンダーの角状球面(以下を参照) などの異常を排除するのに役立ちます${\displaystyle M}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle D}$${\displaystyle S=\partial D}$ $${\displaystyle D^{3}=\{x\in \mathbb {R} ^{3}\ |\ |x|\leq 1\}.}$$${\displaystyle M}$

既約でない3次元多様体は還元可能。

連結した 3 次元多様体は、どちらも 3 次元球面ではない(または、同等に、どちらも に同相ではない) 2 つの多様体の連結した和として表現できない場合、素数です。${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N_{1}\#N_{2}}$${\displaystyle S^{3}}$${\displaystyle M}$

3 次元ユークリッド空間は 既約です。つまり、その空間内のすべての滑らかな 2 次元球面は境界球です。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

一方、アレクサンダーの角球は、ボールに当たらない点で非滑らかな球です。したがって、球が滑らかであるという規定が必要です。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

3 次元球面は 既約です。積空間は既約ではありません。なぜなら、任意の 2 次元球面( は の任意の点) には、球体ではない連結補集合 (2 次元球面と直線の積) が存在するからです。 ${\displaystyle S^{3}}$ ${\displaystyle S^{2}\times S^{1}}$${\displaystyle S^{2}\times \{pt\}}$${\displaystyle pt}$${\displaystyle S^{1}}$

を持つレンズ空間 (したがって と同じではない) は既約です。 ${\displaystyle L(p,q)}$${\displaystyle p\neq 0}$${\displaystyle S^{2}\times S^{1}}$

3 次元多様体は、それが素数である場合にのみ既約です。ただし、次の 2 つのケースを除きます。円上の 2 次元球面の積と非向き付けファイバー バンドルは、両方とも素数ですが既約ではありません。 ${\displaystyle S^{2}\times S^{1}}$ ${\displaystyle S^{1}}$

既約多様体は素数です。実際、連結和として 表すと、 は、とからそれぞれ球を 1 つずつ取り除き 、結果として得られる 2 次元球面を 2 つ接着することで得られます。これら 2 つの (結合された) 2 次元球面は、で 2 次元球面を形成します。が既約であるということは、この 2 次元球面は球を境界としなければならないことを意味します。接着操作を元に戻すと、またはは、その球を、以前に取り除いた球の境界に接着することで得られます。ただし、この操作では、単に 3 次元球面が得られます。つまり、またはの 2 つの因数のいずれかが、実際には (自明な) 3 次元球面であり、したがって素数であるということです。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$$${\displaystyle M=N_{1}\#N_{2},}$$${\displaystyle M}$${\displaystyle N_{1}}$${\displaystyle N_{2},}$${\displaystyle M.}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N_{1}}$${\displaystyle N_{2}}$${\displaystyle N_{1}}$${\displaystyle N_{2}}$${\displaystyle M}$

を素な 3 次元多様体とし、をそれに埋め込まれた 2 次元球面とします。1 つを切断すると、 多様体は 1 つだけになるか、またはと の2 つの多様体しか得られません。後者の場合、これら 2 つの多様体の新しく作成された球面境界に球を接着すると、2 つの多様体とが得られ、は素数なので 、これら 2 つのうちの 1 つは、 であるとします。これは、 から球が 1 つ引かれていることを意味し、したがって は球自体であることを意味します。したがって、球は球の境界であり、この可能性のみが存在する場合 (作成された 2 つの多様体) を検討しているため、多様体は既約です。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M_{1}}$${\displaystyle M_{2}.}$${\displaystyle N_{1}}$${\displaystyle N_{2}}$$${\displaystyle M=N_{1}\#N_{2}.}$$${\displaystyle M}$${\displaystyle N_{1},}$${\displaystyle S^{3}.}$${\displaystyle M_{1}}$${\displaystyle S^{3}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle M}$

に沿って切断して 1 つの部分だけを取得できる場合について考える必要があります。その場合、に 1 点で交差する閉じた単純曲線が存在します。を との2 つの管状近傍の和とします。境界は2 次元球面になり、2 つの部分に切断され、 の補集合になります。 は素数であり球ではないため、補集合は球でなければなりません。この事実から生じる多様体はほぼ決定されており、注意深く分析すると、の向き付けできないファイバー束のいずれか、またはのもう1 つであることが示されます。${\displaystyle M}$${\displaystyle S}$${\displaystyle N.}$ ${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle M}$${\displaystyle S}$${\displaystyle R}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \gamma .}$ ${\displaystyle \partial R}$${\displaystyle M}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R.}$${\displaystyle M}$${\displaystyle R}$${\displaystyle M}$${\displaystyle S^{2}\times S^{1}}$${\displaystyle S^{2}}$${\displaystyle S^{1}.}$

• ウィリアム・ジャコ. 3次元多様体位相幾何学の講義. ISBN 0-8218-1693-4。

• 3次元多様体
• 連結合計
• 素分解（3次元多様体）