ボリューム形式

数学において、体積形式または高次元形式とは、微分可能な多様体の次元に等しい次数を持つ微分形式のことである。したがって、多様体上では${\displaystyle M}$寸法${\displaystyle n}$ボリューム形式とは${\displaystyle n}$-形式。これは線束のセクション空間の要素です。${\displaystyle \textstyle {\bigwedge }^{n}(T^{*}M)}$と表記される$\displaystyle \Omega ^{n}(M)}$多様体がどこにも零点を持たない体積形式を持つのは、それが向き付け可能である場合に限る。向き付け可能な多様体は無限に多くの体積形式を持つ。なぜなら、体積形式にどこにも零点を持たない実数値関数を掛けると、別の体積形式が得られるからである。向き付け不可能な多様体では、代わりに密度というより弱い概念を定義することができる。

体積形式は、微分可能多様体上の関数の積分を定義する手段を提供する。言い換えれば、体積形式は、適切なルベーグ積分によって関数を積分できる測度を生み出す。体積形式の絶対値は体積要素であり、ねじれ体積形式または擬似体積形式とも呼ばれる。体積要素も測度を定義するが、向き付け可能か否かを問わず、任意の微分可能多様体上に存在する。

ケーラー多様体は複素多様体であるため、自然に向きが付けられており、体積形式を持つ。より一般的には、${\displaystyle n}$シンプレクティック多様体上のシンプレクティック形式のth外套冪は体積形式です。多くの多様体は正準体積形式を持ちます。つまり、好ましい体積形式を選択できるような付加的な構造を持っています。向き付けられた擬リーマン多様体には、対応する正準体積形式があります。

以下では、微分可能多様体の向き付け可能性についてのみ説明します（これは、任意の位相多様体上で定義されるより一般的な概念です）。

多様体は、遷移関数がすべて正のヤコビ行列式を持つ座標アトラスを持つ場合に向き付け可能である。そのようなアトラスの極大の選択は、多様体上の向き付けである。${\displaystyle M.}$ボリューム形式${\displaystyle \omega }$の上${\displaystyle M}$座標図の地図帳のように自然な方法で方向付けが生じる${\displaystyle M}$送信${\displaystyle \omega }$ユークリッド体積形式の正の倍数へ$\displaystyle dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}.}$

ボリューム形式では、フレームの優先クラスを指定することもできます。${\displaystyle M.}$接線ベクトルの基底と呼ぶ${\displaystyle (X_{1},\ldots ,X_{n})}$右利きの場合 $$\displaystyle \omega \left(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}\right)>0.}$$

すべての右利きフレームの集合は、グループによって作用されます。${\displaystyle \mathrm {GL} ^{+}(n)}$一般線形写像の${\displaystyle n}$正の行列式を持つ次元。それらは主成分を形成する。${\displaystyle \mathrm {GL} ^{+}(n)}$線形フレームバンドルのサブバンドル${\displaystyle M,}$したがって、体積形式に関連付けられた向きは、フレームバンドルの正準縮小を与える。${\displaystyle M}$構造グループを持つサブバンドルへ${\displaystyle \mathrm {GL} ^{+}(n).}$つまり、体積の形状は${\displaystyle \mathrm {GL} ^{+}(n)}$-構造${\displaystyle M.}$フレームを考慮すると、さらなる削減が明らかに可能である。

したがって、体積の形状は${\displaystyle \mathrm {SL} (n)}$-構造も同様です。逆に、${\displaystyle \mathrm {SL} (n)}$-構造では、( 1 )を特殊な線形フレームに課し、次に必要な解を求めることで、体積形状を復元できます。${\displaystyle n}$-形状${\displaystyle \omega }$議論の均質性を要求することによって。

多様体は、どこにも消滅しない体積形式を持つ場合に限り、向き付け可能である。実際、${\displaystyle \mathrm {SL} (n)\to \mathrm {GL} ^{+}(n)}$変形収縮であるため${\displaystyle \mathrm {GL} ^{+}=\mathrm {SL} \times \mathbb {R} ^{+},}$ここで、正の実数はスカラー行列として埋め込まれています。したがって、すべての${\displaystyle \mathrm {GL} ^{+}(n)}$-構造は${\displaystyle \mathrm {SL} (n)}$-構造、そして${\displaystyle \mathrm {GL} ^{+}(n)}$-構造は、${\displaystyle M.}$より具体的には、行列式束の自明性$\displaystyle \Omega ^{n}(M)}$これは向き付け可能性と同値であり、線束が自明であるのは、それがどこにも消滅しない断面を持つ場合のみである。したがって、体積形式の存在は向き付け可能性と同値である。

体積形式が与えられた場合${\displaystyle \omega }$向き付けられた多様体上の密度${\displaystyle |\omega |}$これは、向きを無視することによって得られる、向き付け不可能な多様体上の体積擬似形式である。密度は、向き付け不可能な多様体上でもより一般的に定義することができる。

任意のボリューム擬似形式${\displaystyle \omega }$（したがって任意のボリューム形式も）は、ボレル集合上の測度を次のように 定義する。$${\displaystyle \mu _{\omega }(U)=\int _{U}\omega .}$$

違いは、測度は（ボレル）部分集合上で積分できるのに対し、体積形式は向き付けられたセル上でしか積分できないという点です。一変数微積分では、${\textstyle \int _{b}^{a}f\,dx=-\int _{a}^{b}f\,dx}$考慮する${\displaystyle dx}$単なる尺度ではなく、体積の形態として、$\int_b^a$「セル全体にわたって積分する」と示しています。${\displaystyle [a,b]}$反対の向きで、時には表記される${\displaystyle {\overline {[a,b]}}}$「。

さらに、一般的な尺度は連続的または滑らかである必要はありません。体積形式によって定義される必要はなく、より厳密に言えば、与えられた体積形式に関するラドン・ニコディム微分は絶対的に連続である必要はありません。

体積形式が与えられた場合${\displaystyle \omega }$の上${\displaystyle M,}$ベクトル場の発散を定義することができる${\displaystyle X}$一意のスカラー値関数として、${\displaystyle \operatorname {div} X,}$満足 $${\displaystyle (\operatorname {div} X)\omega =L_{X}\omega =d(X\mathbin {\!\rfloor } \omega ),}$$ どこ${\displaystyle L_{X}}$は、に沿ったリー微分を表す。${\displaystyle X}$そして${\displaystyle X\mathbin {\!\rfloor } \omega }$は、内積または左縮約を表します。${\displaystyle \omega }$平行${\displaystyle X.}$もし${\displaystyle X}$はコンパクトな台を持つベクトル場であり、${\displaystyle M}$は境界を持つ多様体である。ストークスの定理によれ ば、$${\displaystyle \int _{M}(\operatorname {div} X)\omega =\int _{\partial M}X\mathbin {\!\rfloor } \omega ,}$$これは発散定理 の一般化である。

ソレノイドベクトル場は、${\displaystyle \operatorname {div} X=0.}$ リー微分の定義から、ソレノイドベクトル場の流れの下では体積の形状が保存されることがわかる。したがって、ソレノイドベクトル場とは、まさに体積を保存する流れを持つベクトル場である。この事実は、例えば流体力学においてよく知られており、速度場の発散は流体の圧縮率を測る指標であり、それはひいては流体の流れに沿って体積がどの程度保存されるかを表す。

体積形式は一意ではなく、多様体上の非零関数に対して以下のようにトソルを形成します。非零関数が与えられた場合${\displaystyle f}$の上${\displaystyle M,}$そしてボリューム形式${\displaystyle \omega ,}$${\displaystyle f\omega }$ボリューム形式は${\displaystyle M.}$逆に、2つの体積形式が与えられた場合${\displaystyle \omega ,\omega ',}$それらの比率はゼロにならない関数である（同じ方向を定義する場合は正、反対の方向を定義する場合は負）。

座標系では、どちらも単にゼロでない関数にルベーグ測度を掛けたものであり、その比は関数の比であり、座標系の選択に依存しない。本質的には、これはラドン・ニコディム微分である。${\displaystyle \omega '}$に関して${\displaystyle \omega .}$向き付けられた多様体上では、任意の2つの体積形式の比例関係は、ラドン・ニコディムの定理 の幾何学的形式として考えることができる。

• 円筒座標系 § 線要素と体積要素
• 測定（数学）－質量、長さ、面積、体積の一般化 
• ポアンカレ計量は複素平面上の体積形状の概観を提供する
• 球面座標系 § 球面座標における積分と微分

• 小林 茂 (1972)『微分幾何学における変換群』、数学古典シリーズ、シュプリンガー、ISBN 3-540-58659-8OCLC 31374337​ 。
• スピヴァク、マイケル（1965）、『多様体上の微積分』、マサチューセッツ州レディング：WAベンジャミン社、ISBN 0-8053-9021-9。