週の多様性

数学において、ウィークス多様体（ウィークスたねんたい、英: Weeks manifold）は、フォメンコ・マトヴェーエフ・ウィークス多様体とも呼ばれ、ホワイトヘッド連結上の(5, 2) および (5, 1)デーン手術によって得られる閉じた3 次元双曲多様体である。その体積はおよそ 0.942707…（OEIS : A126774）に等しく、デイビッド・ガバイ、ロバート・マイヤーホフ、ピーター・ミリー（2009）は、それが閉じた有向双曲 3 次元多様体の中で最小の体積を持つことを示した。この多様体は、ジェフリー・ウィークス （1985）とセルゲイ・V・マトヴェーエフ、アナトリー・T・フォメンコ（1988）によって独立に発見された 。

ウィークス多様体は算術双曲型3次元多様体なので、その体積は算術データとアルマン・ボレルの公式を使って計算できる。

${\displaystyle V_{w}={\frac {3\cdot 23^{3/2}\zeta _{k}(2)}{4\pi ^{4}}}=0.942707\dots }$

ここで はを満たす数体であり はのデデキントゼータ関数である。^[1]あるいは、 ${\displaystyle k}$${\displaystyle \theta}$${\displaystyle \theta ^{3}-\theta +1=0}$${\displaystyle \zeta_{k}}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle V_{w}=\Im ({\rm {{Li}_{2}(\theta )+\ln |\theta |\ln(1-\theta ))=0.942707\dots }}}$

ここで、は多重対数であり、は3 次複素根(虚数部が正) の絶対値です。${\displaystyle {\rm {{Li}_{n}}}}$${\displaystyle |x|}$${\displaystyle \theta}$

ホワイトヘッドリンクの (5, 1) デーン手術によって得られる尖頭双曲 3 次元多様体は、 8 の字結び目の補完のいわゆる兄弟多様体、または姉妹です。8 の字結び目の補完とその兄弟は、向き付け可能な尖頭双曲 3 次元多様体の中で体積が最小です。したがって、ウィークス多様体は、2 つの最小の向き付け可能な尖頭双曲 3 次元多様体のうちの 1 つに対する双曲デーン手術によって得られます。

• マイヤーホフ多様体- 2 番目の小さなボリューム

• Agol, Ian ; Storm, Peter A.; Thurston, William P. (2007)、「双曲型 Haken 3 次元多様体の体積の下限値 (Nathan Dunfield による付録付き)」、Journal of the American Mathematical Society、20 (4): 1053–1077、arXiv : math.DG/0506338、Bibcode :2007JAMS...20.1053A、doi :10.1090/S0894-0347-07-00564-4、MR  2328715。
• テッド・チンバーグ。フリードマン、エドゥアルド。ジョーンズ、ケリー N. Reid、Alan W. (2001)、「最小体積の算術双曲 3 多様体」、Annali della Scuola Normale di Pisa。科学クラス。セリエ IV、30 (1): 1–40、MR  1882023
• ガバイ、デイビッド; マイヤーホフ、ロバート; ミリー、ピーター (2009)、「最小体積尖頭双曲型 3 次元多様体」、アメリカ数学会誌、22 (4): 1157–1215、arXiv : 0705.4325、Bibcode :2009JAMS...22.1157G、doi :10.1090/S0894-0347-09-00639-0、MR  2525782
• Matveev, Sergei V.; Fomenko, Aanatoly T. (1988)、「ハミルトン系の等エネルギー面、複雑度の増加順に 3 次元多様体の列挙、および閉じた双曲多様体の体積の計算」、Akademiya Nauk SSSR i Moskovskoe Matematicheskoe Obshchestvo。Uspekhi Matematicheskikh Nauk、43 (1): 5–22、Bibcode :1988RuMaS..43....3M、doi :10.1070/RM1988v043n01ABEH001554、MR  0937017
• ウィークス、ジェフリー(1985)、「3次元多様体上の双曲的構造」、プリンストン大学博士論文