単体体積

幾何学的位相幾何学の分野では、単体体積（グロモフノルムとも呼ばれる）は、多様体の位相的な複雑さの尺度です。より一般的には、単体ノルムはホモロジー類の複雑さを測ります。

閉じた有向多様体が与えられたとき、与えられたサイクルに相同なすべての特異鎖上の係数の絶対値の合計を最小化することによって単体ノルムを定義する。単体体積は基本クラスの単体ノルムである。^[1]^[2]

これは1982年にこれを導入したミハイル・グロモフにちなんで名付けられました。彼はウィリアム・サーストンとともに、有限体積双曲多様体の単体体積が双曲体積に比例することを証明しました。^[1]

サーストンはまた、双曲的デーン手術によって双曲的体積が減少することを証明するために単体体積を使用した。^[4]

参考文献

^ ab ベネデッティ、リッカルド; Petronio、Carlo (1992)、双曲幾何学の講義、Universitext、Springer-Verlag、ベルリン、p. 105、土井：10.1007/978-3-642-58158-8、ISBN 3-540-55534-X、MR 1219310。
^ ラトクリフ、ジョン G. (2006)、双曲多様体の基礎、大学院数学テキスト、第 149 巻 (第 2 版)、ベルリン: シュプリンガー、p. 555、doi :10.1007/978-1-4757-4013-4、ISBN 978-0387-33197-3、MR 2249478、S2CID 123040867。
^ Gabai, David (1983年1月). 「3次元多様体の葉構造とトポロジー」. Journal of Differential Geometry . 18 (3): 445–503. doi : 10.4310/jdg/1214437784 . ISSN 0022-040X.
^ ベネデッティ & ペトロニオ (1992)、196 頁以降。