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数学において、フローアホモロジーはシンプレクティック幾何学と低次元トポロジーの研究に用いられるツールである。フローアホモロジーは、有限次元モースホモロジーの無限次元版として現れる不変量である。 アンドレアス・フローアは、1988年にシンプレクティック幾何学におけるアーノルド予想の証明において、現在シンプレクティックフローアホモロジーと呼ばれるフローアホモロジーの最初のバージョンを導入した。フローアはまた、シンプレクティック多様体のラグランジュ部分多様体に関する密接に関連する理論も開発した。フローアによる3つ目の構成法は、ヤン・ミルズ汎関数を用いて、閉じた3次元多様体にホモロジー群を関連付けるものである。これらの構成法とその派生形は、シンプレクティック多様体や接触多様体、さらには（滑らかな）3次元および4次元多様体のトポロジーに関する現在の研究において、基本的な役割を果たしている。
フローアホモロジーは、通常、対象となるオブジェクトに無限次元多様体と、その上の実数値関数を関連付けることによって定義されます。シンプレクティック版では、これはシンプレクティック作用汎関数を持つシンプレクティック多様体の自由ループ空間です。3次元多様体の（インスタントン）版では、チャーン・サイモンズ汎関数を持つ3次元多様体上のSU(2)接続の空間です。大まかに言えば、フローアホモロジーは無限次元多様体上の関数のモースホモロジーです。フローア鎖複体は、関数の臨界点（または臨界点の特定の集合）によって張られるアーベル群から形成されます。鎖複体の微分は、固定された臨界点のペア（またはその集合）を結ぶ関数の勾配ベクトル場の流れ線を数えることによって定義されます。フローアホモロジーは、この鎖複体のホモロジーです。
フローアの考え方がうまく適用できる状況では、勾配流線方程式は、通常、幾何学的に意味があり、解析的に扱いやすい方程式です。シンプレクティックフローアホモロジーの場合、ループ空間内のパスに対する勾配流方程式は、円筒（ループのパスの全空間）から対象となるシンプレクティック多様体への写像に対するコーシー・リーマン方程式（摂動バージョン）です。解は擬正則曲線として知られています。次に、グロモフのコンパクト性定理を使用して、微分を定義する流線の数が有限であることを示すことで、微分が適切に定義され、二乗するとゼロになることを示します。こうしてフローアホモロジーが定義されます。インスタントンフローアホモロジーの場合、勾配流方程式は、実数直線と交差する3次元多様体上のヤン・ミルズ方程式と正確に一致します。
シンプレクティック・フローア・ホモロジー（SFH）は、シンプレクティック多様体とその非退化シンプレクティック同相写像に関連付けられたホモロジー理論です。シンプレクティック同相写像がハミルトン的である場合、このホモロジーは、シンプレクティック多様体の（普遍被覆）自由ループ空間上のシンプレクティック作用汎関数を研究することによって得られます。SFHは、シンプレクティック同相写像のハミルトン的同位性に関して不変です。
ここで、非退化とは、シンプレクティックの固定点のいずれにおいても、その導関数の固有値が 1 ではないことを意味します。この条件は、固定点が孤立していることを意味します。SFH は、このようなシンプレクティックの固定点によって生成される鎖複体のホモロジーであり、微分は実数直線とシンプレクティックの写像トーラスの積における特定の擬正則曲線の数を数えます。これは、元の多様体より 2 次元大きいシンプレクティック多様体です。適切な概複体構造を選択すると、その中の穴の開いた正則曲線(有限エネルギー) は、シンプレクティックの固定点に対応する写像トーラスのループに漸近する円筒形の端を持ちます。固定点のペア間に相対インデックスを定義することができ、微分は相対インデックス1 の正則円筒の数を数えます。
コンパクト多様体のハミルトン型シンプレクティック・フローア・ホモロジーは、その基となる多様体の特異ホモロジーと同型である。したがって、その多様体のベッチ数の和は、非退化シンプレクティック・シンプレクティック・シンプレクティック・シンプレクティック・ホモロジーの固定点の数に関するアーノルド予想の一バージョンによって予測される下限を与える。ハミルトン型シンプレクティック・シンプレクティック・シンプレクティック・ホモロジーには、量子コホモロジーと同値な変形カップ積であるパンツ積のペアも存在する。この積の別バージョンは、非完全シンプレクティック・シンプレクティック・シンプレクティック・シンプレクティック・ホモロジーにも存在する。
多様体 M の余接束の場合、フローア ホモロジーはハミルトニアンの選択に依存します。これはハミルトニアンがコンパクトではないためです。無限遠で二次式となるハミルトニアンの場合、フローア ホモロジーはM の自由ループ空間の特異ホモロジーになります (この命題の様々なバージョンの証明は、Viterbo、Salamon–Weber、Abbondandolo–Schwarz、および Cohen によるものです)。余接束のフローア ホモロジーには、基礎となる多様体のループ空間のホモロジーに対する弦トポロジー操作に対応する、より複雑な操作があります。
フローアホモロジーのシンプレクティック版は、ホモロジー的鏡面対称性予想の定式化において極めて重要な役割を果たす。
1996年にS. Piunikhin、D. Salamon、M. Schwarzは、Floerホモロジーと量子コホモロジーの関係に関する結果をまとめ、次のように定式化した。[ 1 ]
ノビコフ環を得るため、またフローアホモロジーと量子コホモロジーの両方を定義するために、上記の半正の条件とシンプレクティック多様体Mのコンパクト性が必要となります。半正の条件とは、以下のいずれかが成り立つことを意味します（ただし、3つのケースは互いに排他的ではないことに注意してください）。
シンプレクティック多様体Mの量子コホモロジー群は、通常のコホモロジーとノビコフ環 Λ のテンソル積として定義できる。
このフローアホモロジーの構成は、 M上のほぼ複素構造の選択に依存しないこと、およびモース理論と擬正則曲線のアイデアから得られるフローアホモロジーとの同型性を説明するものであり、その背景としてホモロジーとコホモロジーの間のポアンカレ双対性を認識する必要がある。
閉じた3次元多様体には、いくつかの同値なフローアホモロジーが存在する。それぞれが3種類のホモロジー群を生成し、それらは正確な三角形に収まる。3次元多様体における結び目は、各理論の鎖複体上にフィルターを誘導し、その鎖ホモトピー型は結び目不変量となる。（これらのホモロジーは、組み合わせ論的に定義されたホバノフホモロジーと同様の形式的性質を満たす。）
これらのホモロジーは、4次元多様体のドナルドソン不変量およびセイバーグ・ウィッテン不変量、ならびにシンプレクティック4次元多様体のタウベスのグロモフ不変量と密接に関連しています。これらの理論に対応する3次元多様体のホモロジーの微分は、3次元多様体クロスR上の関連する微分方程式（それぞれヤン・ミルズ、セイバーグ・ウィッテン、コーシー・リーマン）の解を考察することによって研究されます。3次元多様体のフローアホモロジーは、境界を持つ4次元多様体の相対不変量の対象にもなるはずであり、境界に沿って有界な3次元多様体を貼り合わせて得られる閉じた4次元多様体の不変量と貼り合わせ構成によって関連付けられています。 （これは位相的量子場理論の概念と密接に関連している。）ヒーガード・フローアホモロジーについては、まず3次元多様体のホモロジーが定義され、その後、それを用いて閉じた4次元多様体の不変量が定義された。
境界を持つ3次元多様体への3次元多様体のホモロジーの拡張も存在します。例えば、縫合フローアホモロジー（Juhász 2008 ）や境界フローアホモロジー（Lipshitz、Ozsváth & Thurston 2008 ）などです。これらは、境界を持つ2つの3次元多様体の境界に沿った和集合として記述される3次元多様体のフローアホモロジーの公式を貼り合わせることによって、閉じた3次元多様体の不変量と関連付けられます。
3次元多様体のフローアホモロジーには、 3次元多様体が接触構造を備えている場合、ホモロジーの特別な要素も備わっています。クロンハイマーとムロフカは、セイバーグ・ウィッテンの場合に接触要素を初めて導入しました。オズヴァスとサボは、接触多様体とオープンブック分解の間のジルーの関係を使用してヒーガードフローアホモロジー用にそれを構成しました。埋め込み接触ホモロジーでは、空集合のホモロジークラスとして無料で得られます。（他の3つとは異なり、これは定義に接触構造を必要とします。埋め込み接触ホモロジーについては、ハッチングス（2009）を参照してください。 ）
これらの理論はすべて、先験的な相対次数付けを備えています。これらの次数は、KronheimerとMrowka（SWFの場合）、GrippとHuang（HFの場合）、およびHutchings（ECHの場合）によって、（向き付けられた2平面体のホモトピー類によって）絶対次数付けに拡張されました。Cristofaro-Gardinerは、ECHとSeiberg–Witten Floerコホモロジー間のTaubesの同型がこれらの絶対次数付けを保存することを示しました。
これは、Floer 自身が導入したDonaldson 理論に関連する 3 次元多様体の不変量です。これは、3 次元多様体 (より正確には、ホモロジー 3 次元球面) 上の主 SU(2) 束上の接続空間に対する Chern–Simons 汎関数を用いて得られます。その臨界点は平坦な接続であり、その流れ線はインスタントン、すなわち実数直線と交差する 3 次元多様体上の反自己双対接続です。インスタントン Floer ホモロジーは、Floer ホモロジーのオイラー標数が Casson 不変量と一致するため、Casson 不変量の一般化と見なすことができます。
フローアがフローアホモロジーを導入して間もなく、ドナルドソンはコボルディズムが写像を誘導することに気づいた。これが、後に位相的量子場理論として知られるようになる構造の最初の例であった。
セイバーグ・ウィッテン・フローアホモロジーまたはモノポール・フローアホモロジーは、滑らかな3次元多様体（スピンc構造を持つ）のホモロジー理論です。これは、3次元多様体上のU(1)接続上のチャーン・サイモンズ・ディラック汎関数のモースホモロジーと見なすことができます。関連する勾配流方程式は、実数直線と交差する3次元多様体上のセイバーグ・ウィッテン方程式に対応します。同様に、鎖複体の生成子は、3次元多様体と実数直線の積上のセイバーグ・ウィッテン方程式の並進不変解（モノポールとして知られています）であり、微分計数解は、無限遠と負の無限遠で不変解に漸近する、3次元多様体と実数直線の積上のセイバーグ・ウィッテン方程式の解です。
セイバーグ・ウィッテン・フローアホモロジーの一バージョンは、ピーター・クロンハイマーとトマシュ・ムロフカによるモノグラフ[ 2 ]モノポールと3次元多様体で厳密に構成されており、モノポールフローアホモロジーとして知られています。タウベスは、それが埋め込み接触ホモロジーと同型であることを示しました。有理ホモロジー3次元球面に対するSWFの別の構成は、マノレスク（2003）とフロイショフ（2010）によって与えられており、両者は一致することが知られています。
ヒーガード・フローア相同性//ⓘ は、 Peter OzsváthとZoltán Szabóc構造を備えた閉じた 3 次元多様体の不変量です、ラグランジュ フローア ホモロジーに類似した構成を介して、空間のHeegaard 図、Lee、Taubes (2020)は、Heegaard フローア ホモロジーが Seiberg–Witten フローア ホモロジーと同型であることを証明し、Colin、Ghiggini、Honda (2011)は、Heegaard フローア ホモロジーのプラス バージョン (逆向き) が埋め込み接触ホモロジーと同型であることを証明しました。
3次元多様体の結び目は、ヒーガード・フローアホモロジー群にフィルターを誘導し、フィルターされたホモトピー型は結び目不変量であり、結び目フローアホモロジーと呼ばれます。これはアレクサンダー多項式を分類します。結び目フローアホモロジーは、 Ozsváth & Szabó (2004)とRasmussen (2003)によって独立に定義されました。結び目の種数を検出することが知られています。ヒーガード分割のグリッド図を使用して、結び目フローアホモロジーはManolescu、Ozsváth & Sarkar (2009)によって組み合わせ論的に構成されました。
結び目の上に分岐したS^3の二重被覆のヒーガード・フローアホモロジーは、スペクトル系列によってホバノフホモロジーと関連付けられる（Ozsváth & Szabó 2005 ）。
ヒーガード・フローアホモロジーの「ハット」バージョンは、Sarkar & Wang (2010)によって組み合わせ論的に記述された。ヒーガード・フローアホモロジーの「プラス」バージョンと「マイナス」バージョン、および関連する Ozsváth–Szabó 4 次元多様体不変量も組み合わせ論的に記述できる( Manolescu, Ozsváth & Thurston 2009 )。
マイケル・ハッチングスによる埋め込み接触ホモロジーは、3次元多様体の不変量であり（セイバーグ・ウィッテン・フローアホモロジーにおけるスピンc構造の選択に対応する、特別な第2のホモロジー類を持つ）、（クリフォード・タウベスの研究により）セイバーグ・ウィッテン・フローアコホモロジーと同型であり、結果として（クトゥルハン、リー、タウベス2020およびコリン、ギギーニ、ホンダ2011によって発表された研究により）ヒーガード・フローアホモロジーのプラス版（逆向き）と同型である。これは、セイバーグ・ウィッテン不変量と同等であることが知られているタウベスのグロモフ不変量を、閉じたシンプレクティック4次元多様体から特定の非コンパクトシンプレクティック4次元多様体（すなわち、接触3次元多様体クロスR）に拡張したものと見なすことができる。その構成はシンプレクティック場理論に類似しており、特定の閉じたリープ軌道の集合によって生成され、その微分は特定のリープ軌道の集合を端点とする特定の正則曲線の数を数える。SFTと異なる点は、それを生成するリープ軌道の集合に関する技術的な条件、および与えられた端点を持つフレドホルム指数1のすべての正則曲線を数えるのではなく、 ECH指数によって与えられる位相条件も満たす曲線のみを数える点である。特に、考慮される曲線は（主に）埋め込まれていることを意味する。
接触3次元多様体には任意の接触形式に対して閉じたリープ軌道が存在するというワインシュタイン予想は、ECHが非自明な任意の多様体上で成り立ち、タウベスがECHに密接に関連する手法を用いて証明した。この研究の拡張により、ECHとSWFの同型性が得られた。ECHにおける多くの構成（そのwell-definednessを含む）はこの同型性に基づいている（タウベス2007 ）。
ECHの接触要素は特に美しい形状をしている。それは、リープ軌道の空の集合に関連付けられたサイクルである。
埋め込み接触ホモロジーの類似物は、曲面（境界を持つ場合もある）のシンプレクティックなトーラスを写像するために定義することができ、周期フローアホモロジーとして知られており、曲面のシンプレクティックなフローアホモロジーを一般化したものです。より一般的には、3次元多様体上の任意の安定ハミルトン構造に関して定義することができます。接触構造と同様に、安定ハミルトン構造は零でないベクトル場（リープベクトル場）を定義し、ハッチングスとタウベスはそれらについてワインシュタイン予想の類似物、すなわち、それらが常に閉じた軌道を持つ（2次元トーラスのトーラスを写像する場合を除く）ことを証明しました。
シンプレクティック多様体の、横断的に交差する 2 つのラグランジュ部分多様体のラグランジュ・フローアホモロジーは、2 つの部分多様体の交点によって生成される鎖複体のホモロジーであり、その微分は擬正則ホイットニー円盤を 数える。
シンプレクティック多様体の3つのラグランジュ部分多様体L₀、L₁、L₂が与えられたとき、ラグランジュ・フローアホモロジー上に積構造が存在する。
これは、正則三角形（つまり、頂点と辺が適切な交点とラグランジュ部分多様体に写像される三角形の正則写像）を数えることによって定義されます。
この主題に関する論文は、深谷、大、小野、太田によるものです。ラロンドとコルネアによる最近の「クラスターホモロジー」に関する研究は、これとは異なるアプローチを提供しています。一対のラグランジュ部分多様体のフローアホモロジーは必ずしも存在するとは限りません。存在する場合、ハミルトニアン同位体を使用して一方のラグランジュを他方から同位体化することを妨げるものとなります。
フローアホモロジーのいくつかの種類は、ラグランジュフローアホモロジーの特殊な場合である。M のシンプレクティックフローアホモロジーは、周囲多様体が M と M の交差であり、ラグランジュ部分多様体がシンプレクティック多様体の対角線とグラフであるラグランジュフローアホモロジーの場合と考えることができる。ヒーガードフローアホモロジーの構成は、3 次元多様体のヒーガード分割を使用して定義された完全実部分多様体に対するラグランジュフローアホモロジーの変種に基づいている。Seidel–Smith と Manolescu は、ラグランジュフローアホモロジーの特定の場合としてリンク不変量を構成したが、これは組み合わせ論的に定義されたリンク不変量であるKhovanov ホモロジーと一致すると予想されている。
アティヤ・フローア予想は、インスタントン・フローアホモロジーとラグランジュ交差フローアホモロジーを結びつけるものである。[ 3 ]曲面に沿ってヒーガード分割を持つ3次元多様体Yを考える。すると、平面接続の空間はゲージ等価性を法とするシンプレクティック多様体次元は 6 g − 6 であり、gは曲面の種数である。ヒーガードの分裂では、2つの異なる3次元多様体の境界。境界を持つ各3次元多様体上のゲージ等価性を法とする平坦接続の空間は、ラグランジュ部分多様体として考える。ラグランジュ交差フローアホモロジーを考えることができる。あるいは、3次元多様体Yのインスタントンフローアホモロジーを考えることもできる。アティヤ・フローア予想は、これら2つの不変量が同型であると主張している。
マキシム・コンツェヴィッチのホモロジー的鏡面対称性予想は、カラビ・ヤウ多様体におけるラグランジアンのラグランジアン・フローアホモロジー間の等式を予測する。そして、ミラーカラビ・ヤウ多様体上の連接層のExt群。この状況では、フローアホモロジー群ではなく、フローア鎖群に注目する必要があります。パンツのペア積と同様に、擬正則n角形を使用して多重合成を構成できます。これらの合成は、-シンプレクティック多様体内のすべての（障害のない）ラグランジュ部分多様体のカテゴリを-カテゴリ、深谷カテゴリと呼ばれる。
より正確には、ラグランジアンに次数とスピン構造という追加データを加える必要がある。これらの構造を選択できるラグランジアンは、その根底にある物理学に敬意を表してブレーンと呼ばれることが多い。ホモロジー的ミラー対称性予想は、カラビ・ヤウのフカヤカテゴリーと、ある種の派生森田等価性の間に、ある種の派生森田等価性が存在すると述べている。そして、鏡像の連接層の有界導来圏の基礎となるdg圏が存在し、その逆もまた同様である。
これは、接触多様体とそれらの間のシンプレクティックコボルディズムの不変量であり、元々はヤコフ・エリアシュベルク、アレクサンダー・ギヴェンタル、ヘルムート・ホーファーによるものです。シンプレクティック場理論とその部分複体である有理シンプレクティック場理論と接触ホモロジーは、選択された接触形式のリープベクトル場の閉軌道によって生成される微分代数のホモロジーとして定義されます。微分は、接触多様体上の円筒内の特定の正則曲線を数え、自明な例は、閉リープ軌道上の（自明な）円筒の分岐被覆です。さらに、円筒接触ホモロジーまたは線形化接触ホモロジー（表記の濫用により、単に接触ホモロジーと呼ばれることもあります）と呼ばれる線形ホモロジー理論が含まれており、その鎖群は閉軌道によって生成されるベクトル空間であり、その微分は正則円筒のみを数えます。しかし、正則円盤の存在により、円筒接触ホモロジーは常に定義されるとは限らず、正則性や横断性の欠如が生じる。円筒接触ホモロジーが意味を持つ状況では、それは自由ループ空間上の作用汎関数の（わずかに修正された）モースホモロジーと見なすことができ、ループを接触形式αのループ上の積分に写像する。リープ軌道はこの汎関数の臨界点である。
SFTは、接触多様体のレジェンドリアン部分多様体の相対不変量、すなわち相対接触ホモロジーも関連付けている。その生成元はリープ弦であり、これはラグランジアン上で始まりラグランジアン上で終わるリープベクトル場の軌跡である。また、その微分は、接触多様体のシンプレクティック化において、端点が与えられたリープ弦に漸近する特定の正則ストリップを数える。
SFTでは、接触多様体はシンプレクティック多様体の写像トーラスとシンプレクティック同相写像で置き換えることができます。円筒接触ホモロジーは明確に定義され、シンプレクティック同相写像のべき乗のシンプレクティックFloerホモロジーによって与えられますが、（有理）シンプレクティック場の理論と接触ホモロジーは、一般化されたシンプレクティックFloerホモロジーとみなすことができます。シンプレクティック同相写像が時間依存ハミルトニアンの時間1写像である重要なケースでは、これらの高次の不変量にはそれ以上の情報が含まれていないことが示されました。
ある対象のフローアホモロジー理論を構築する一つの考えられる方法は、通常のホモロジーが目的のフローアホモロジーとなるような関連スペクトルを構築することである。このようなスペクトルに他のホモロジー理論を適用すると、他の興味深い不変量が得られる可能性がある。この戦略は、ラルフ・コーエン、ジョン・ジョーンズ、グレアム・シーガルによって提案され、マノレスク（2003）によるセイバーグ・ウィッテン・フローアホモロジーの場合、およびコーエンによる余接束のシンプレクティックフローアホモロジーの場合に、特定のケースで実行された。このアプローチは、マノレスクによる2013年の構成[ 4 ]、ピン（2）同変セイバーグ・ウィッテンフローアホモロジーの構築の基礎であり、彼はこれを用いて次元5以上の多様体の三角分割予想を否定した。
これらのフローア同値関係の多くは、完全かつ厳密に構築されておらず、多くの予想同値関係も証明されていません。特に擬正則曲線のコンパクト化されたモジュライ空間の構築において、解析上の技術的な困難が生じています。ホーファーは、クリス・ウィソッキとエドゥアルト・ツェンダーと共同で、多様体理論と「一般フレドホルム理論」を通して、新たな解析的基礎を開発しました。多様体プロジェクトはまだ完全には完了していませんが、いくつかの重要なケースでは、より単純な方法を用いて横断性が示されました。
フローアホモロジーは一般的に明示的に計算するのが難しい。例えば、すべての曲面シンプレクティック同相写像に対するシンプレクティックフローアホモロジーが完成したのは2007年のことである。この点において、ヒーガードフローアホモロジーは大きな成功を収めている。研究者たちはその代数的構造を利用して様々なクラスの3次元多様体に対して計算を行い、理論の大部分を計算するための組み合わせアルゴリズムを発見した。また、既存の不変量や構造とも関連しており、3次元多様体のトポロジーに関する多くの知見が得られている。
![{\displaystyle \langle [\omega ],A\rangle =\lambda \langle c_{1},A\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a49773a35ec00315c49bc758ca60ea2f170f61ad)
