サークルバンドル

数学において、円束は繊維が円である繊維束です。 ${\displaystyle S^{1}}$

有向円束は主U (1)束、または主SO (2)束とも呼ばれる。物理学では、円束は電磁気学の自然な幾何学的設定である。円束は球束の特殊なケースである。

曲面上の円束は3 次元多様体の重要な例です。より一般的な 3 次元多様体のクラスは、ザイフェルト ファイバー空間です。これは、一種の「特異」円束、または 2 次元オービフォールド上の円束として見ることができます。

マクスウェル方程式は、2形式Fで表される電磁場に対応し、 はゼロと共相である、つまり正確な である。特に、1形式A、すなわち 電磁4元ポテンシャル（アフィン接続と同値）が常に存在し、 ${\displaystyle \pi^{\!*}F}$

${\displaystyle \pi^{*}F=dA.}$

M上の円束Pとその射影

${\displaystyle \pi :P\to M}$

準同型性を持つ

${\displaystyle \pi^{*}:H^{2}(M,\mathbb{Z})\to H^{2}(P,\mathbb{Z})}$

ここで、は引き戻しです。各準同型はディラック単極子に対応し、整数コホモロジー群は電荷の量子化 に対応します。アハロノフ・ボーム効果は、電子波動関数を記述する関連する線束上の接続のホロノミーとして理解できます。本質的に、アハロノフ・ボーム効果は量子力学的効果ではありません (一般に信じられているのとは反対に)。ファイバー束や接続の構築には量子化が含まれず、量子化も必要ないからです。 ${\displaystyle \pi^{*}}$

• ホップファイバは非自明な円束の例です。
• 面の単位接線束は円束の別の例です。
• 向き付け不可能な曲面の単位接線束は、主束ではない円束です。向き付け可能な曲面だけが主単位接線束を持ちます。${\displaystyle U(1)}$
• 円束を構成する別の方法は、複素線束を使用して、関連する球（この場合は円）束を取ることです。この束はから誘導される方向を持つため、主 -束であることがわかります。^[1]さらに、 -束のチャーン-ヴェイユ理論からの特性類は、の特性類と一致します。${\displaystyle L\to X}$${\displaystyle L}$${\displaystyle U(1)}$${\displaystyle U(1)}$${\displaystyle L}$
• たとえば、複素平面曲線の解析を考えてみましょう。および特性類は非自明に引き戻されるため、層に関連付けられた直線束はチャーン類 を持つことがわかります。${\displaystyle X}$${\displaystyle {\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{x^{n}+y^{n}+z^{n}}} \右）}$${\displaystyle H^{2}(X)=\mathbb {Z} =H^{2}(\mathbb {CP} ^{2})}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(a)={\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{2}}(a)\otimes {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle c_{1}=a\in H^{2}(X)}$

多様体M上の主 -バンドルの同型類は、写像 のホモトピー類と一対一に対応しており、 はU(1) の分類空間と呼ばれる。 は無限次元複素射影空間であり、アイレンバーグ・マクレーン空間の一例であることに注意されたい。このようなバンドルは、 Mの第二整コホモロジー群の元によって分類される。 ${\displaystyle U(1)}$${\displaystyle M\to BU(1)}$${\displaystyle BU(1)}$${\displaystyle BU(1)=\mathbb {C} P^{\infty }}$ ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,2).}$ ${\displaystyle H^{2}(M,\mathbb {Z} )}$

${\displaystyle [M,BU(1)]\equiv [M,\mathbb {C} P^{\infty }]\equiv H^{2}(M)}$。

この同型性はオイラー類によって実現されます。これは、滑らかな複素直線束の最初のチャーン類と同値です(本質的には、円は、原点が除去された複素平面 と同値であるため、零断面が除去された複素直線束は円束と同値であるためです)。 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$

円束が主束となるのは、関連する写像がヌルホモトピックである場合のみであり、これは束が繊維方向に向き付け可能である場合に限ります。したがって、 M上の円束が向き付け可能でない可能性があるより一般的なケースでは、同型類は写像 のホモトピー類と 1 対 1 に対応します。これは、 である群 の拡張から得られます。 ${\displaystyle U(1)}$${\displaystyle M\to B\mathbb {Z} _{2}}$${\displaystyle M\to BO_{2}}$${\displaystyle SO_{2}\to O_{2}\to \mathbb {Z} _{2}}$${\displaystyle SO_{2}\equiv U(1)}$

上記の分類は、一般に円束にのみ適用されます。滑らかな円束、つまりアフィン接続を持つ円束の対応する分類には、より複雑なコホモロジー理論が必要です。結果として、滑らかな円束は第 2 ドリーニュ コホモロジー によって分類され、アフィン接続を持つ円束は によって分類され、直線束はによって分類されます。 ${\displaystyle H_{D}^{2}(M,\mathbb {Z} )}$${\displaystyle H_{D}^{2}(M,\mathbb {Z} (2))}$${\displaystyle H_{D}^{3}(M,\mathbb {Z} )}$

• 王シーケンス

• Chern, Shiing-shen (1977)、「円束」、Lecture Notes in Mathematics、vol. 597/1977、Springer Berlin/Heidelberg、pp. 114–131、doi :10.1007/BFb0085351、ISBN 978-3-540-08345-0。