ホワイトヘッドリンク

ホワイトヘッドリンク
編み込みの長さ	5
編み込みNo.	3
交差点番号	5
双曲体積	3.663862377
リンク番号	0
解く番号。	1
コンウェイ記法	[212]
A-B表記	52 1
シスルウェイト	L5a1
最後 / 次	L4a1 / L6a1
他の
交互

ホワイトヘッドリンクは、結び目理論において、最も基本的なリンクの 1 つであり、 JHC ホワイトヘッドにちなんで名付けられています。これは、円と8 の字型のループ を重ねて、5 つの交差を持つ交互リンクとして描くことができます。

この結び目を記述する一般的な方法は、8の字型のループを、8の字の交差点を囲む別の円形のループで重ねることによって形成されます。これら2つの非リンク間の上下関係は、交互リンクとして設定され、各ループの連続する交差点は、下と上が交互になります。この図には5つの交差点があり、そのうちの1つは8の字曲線の自己交差であり、リンク数にはカウントされません。残りの交差点は、各ループで下と上の交差点の数が同じであるため、そのリンク数は 0 です。これは非リンクと同位ではありませんが、非リンク と同位です。

この結び目の構造は、2つのループを互いに異なる方法で扱っていますが、2つのループは位相的に対称です。つまり、同じリンクを同じタイプの図に変形して、8の字として描かれたループを円形にしたり、その逆を行ったりすることができます。^[2]あるいは、この結び目を3次元で実現したものもあり、その場合、実現の幾何学的対称性によって2つのループを互いに近づけることができます。^[1]

編組理論の表記では、リンクは次のように書かれる。

${\displaystyle \sigma _{1}^{2}\sigma _{2}^{2}\sigma _{1}^{-1}\sigma _{2}^{-2}.\,}$

そのジョーンズ多項式は

${\displaystyle V(t)=t^{-{3 \over 2}}\left(-1+t-2t^{2}+t^{3}-2t^{4}+t^{5}\right).}$

この多項式と は、L10a140 リンクのジョーンズ多項式の 2 つの因数です。特に、 は、ジョーンズ多項式 を持つリンクの鏡像のジョーンズ多項式です。 ${\displaystyle V(1/t)}$${\displaystyle V(1/t)}$${\displaystyle V(t)}$

ホワイトヘッドリンクの補集合の双曲的体積はカタラン定数の4倍で、およそ3.66である。ホワイトヘッドリンクの補集合は、最小の体積を持つ2つの尖端双曲多様体のうちの1つであり、もう1つはパラメータ(-2, 3, 8)を持つプレッツェルリンクの補集合である。^[3]

ホワイトヘッドリンクの 1 つの成分に対するデーン充填は、 8 の字結び目の補集合の兄弟多様体を生成することができ、両方の成分に対するデーン充填は、それぞれ 1 つの尖端を持つ最小体積双曲多様体の 1 つと尖端を持たない最小体積双曲多様体であるウィークス多様体を生成することができます。

ホワイトヘッドリンクは、1930年代の大半をポアンカレ予想の証明に費やしたJHCホワイトヘッドにちなんで名付けられました。1934年、彼はこのリンクを、現在ホワイトヘッド多様体と名付けられているものの構築の一部として使用し、この多様体によって、彼が以前に主張したポアンカレ予想の証明が反証されました。^[4]

ウィキメディア・コモンズには、ホワイトヘッドのリンクに関連するメディアがあります。

• ソロモンの結び目
• 週の多様性
• ホワイトヘッドダブル

• 「L5a1 結び目理論リンク」、The Knot Atlas。
• ワイスタイン、エリック W.、「ホワイトヘッドリンク」、MathWorld