パス（トポロジー）

数学において、位相空間における経路とは、閉区間から ${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$

パスは位相幾何学や数学的解析の分野で重要な役割を果たします。たとえば、任意の2点を結ぶパスが存在する位相空間はパス連結であると言われています。任意の空間はパス連結成分に分割できます。空間のパス連結成分の集合は、次のように表記されることが多いです。${\displaystyle X}$${\displaystyle \pi _{0}(X).}$

また、ホモトピー理論で重要な、尖端空間におけるパスとループを定義することもできます。が基点を持つ位相空間である場合、 におけるパスは、初期点が であるパスです。同様に、 におけるループは、 を基点とするループです。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle x_{0},}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x_{0}}$

位相空間の曲線は、空でない非退化区間からの連続関数です。内の パスは、定義域がコンパクトな非退化区間（つまり、実数）である曲線です。ここで、 はパスの始点と呼ばれ、 は終点と呼ばれます。から へのパスは、始点が で終点が であるパスです。 すべての非退化コンパクト区間はに同相であるため、特にホモトピー理論では、パスは閉じた単位区間から への連続関数として定義されることがあります。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:J\to X}$ ${\displaystyle J\subseteq \mathbb {R} .}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f:[a,b]\to X}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle a<b}$${\displaystyle f(a)}$${\displaystyle f(b)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y.}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle [0,1],}$ ${\displaystyle f:[0,1]\to X}$ ${\displaystyle I:=[0,1]}$${\displaystyle X.}$

の弧 またはC 0^弧は、位相的な埋め込みでもある のパスです。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

重要なのは、パスは単に曲線のように見えるのサブセットではなく、パラメータ化も含まれていることです。たとえば、マップと は、実数直線上の 0 から 1 までの 2 つの異なるパスを表します。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle f(x)=x}$${\displaystyle g(x)=x^{2}}$

を基準とする空間内のループは、からへの経路である。ループは、への写像として、または単位円からへの連続写像として同様に見なすことができる。${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x.}$${\displaystyle f:[0,1]\to X}$${\displaystyle f(0)=f(1)}$ ${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle f:S^{1}\to X.}$

これは、が と同一視されるときの商空間であるためです。のすべてのループの集合は、のループ空間と呼ばれる空間を形成します。${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle I=[0,1]}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 1.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$

パスとループは、ホモトピー理論と呼ばれる代数位相幾何学の分野における中心的な研究対象です。パスのホモトピーは、端点を固定したままパスを連続的に変形するという概念を明確にします。

具体的には、 におけるパスのホモトピー、またはパスホモトピー は、によってインデックス付けされたパスの族であり、 ${\displaystyle X}$${\displaystyle f_{t}:[0,1]\to X}$${\displaystyle I=[0,1]}$

• ${\displaystyle f_{t}(0)=x_{0}}$そして固定されます。${\displaystyle f_{t}(1)=x_{1}}$
• によって与えられるマップは連続です。${\displaystyle F:[0,1]\times [0,1]\to X}$${\displaystyle F(s,t)=f_{t}(s)}$

ホモトピーで接続されたパスとをホモトピー(または、より正確には、固定された空間間のすべての連続関数で定義された関係を区別するために、パスホモトピー) であると言います。同様に、基点を固定したままループのホモトピーを定義することもできます。 ${\displaystyle f_{0}}$${\displaystyle f_{1}}$

ホモトピック関係は位相空間内の経路上の同値関係である。この関係のもとでの経路の同値類はホモトピー類と呼ばれ、しばしば次のように表記される。${\displaystyle f}$${\displaystyle f,}$${\displaystyle [f].}$

位相空間内のパスは、次の方法で構成できます。が からへのパスであり、 がからへのパスであるとします。 パスは、最初に をトラバースし、次に をトラバースすることによって取得されるパスとして定義されます。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle g}$${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$${\displaystyle fg}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$

${\displaystyle fg(s)={\begin{cases}f(2s)&0\leq s\leq {\frac {1}{2}}\\g(2s-1)&{\frac {1}{2}}\leq s\leq 1.\end{cases}}}$

明らかに、パス合成は の終点が の開始点と一致する場合にのみ定義されます。すべてのループが 1 つの点に基づいていると考えると、パス合成は2 項演算になります。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle g.}$${\displaystyle x_{0},}$

パス合成は、定義されるときはいつでも、パラメータ化の違いにより結合的ではありません。しかし、パスホモトピーまでは結合的です。つまり、パス合成は、ループのホモトピー類の集合上の群構造を定義します。結果として得られる群は、通常、で表される、ループのホモトピー類の集合上の群構造と呼ばれます。${\displaystyle [(fg)h]=[f(gh)].}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x_{0},}$${\displaystyle \pi _{1}\left(X,x_{0}\right).}$

パス合成の結合性が「正確に」求められる状況では、 のパスは、任意の実数について、区間 から への連続写像として定義されることがあります(このようなパスは、ムーア パスと呼ばれます)。この種のパスの長さは、 として定義されます 。パス合成は、次のように変更して、前と同じように定義されます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle [0,a]}$${\displaystyle X}$${\displaystyle a\geq 0.}$${\displaystyle f}$${\displaystyle |f|}$${\displaystyle a.}$

${\displaystyle fg(s)={\begin{cases}f(s)&0\leq s\leq |f|\\g(s-|f|)&|f|\leq s\leq |f|+|g|\end{cases}}}$

前の定義では、、およびはすべて長さ（マップのドメインの長さ）を持ちますが、この定義では が成り立ちます。前の定義で結合法則が成立しないのは、 と が同じ長さ、つまりの中点がと の間にあるのに対し、の中点はと の間にあるためです。この修正された定義では、 と は同じ長さ、つまり を持ち、と の両方で にある同じ中点を持ちます。より一般的には、と は全体で同じパラメータ化を持ちます。 ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle g}$${\displaystyle fg}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle |fg|=|f|+|g|.}$${\displaystyle (fg)h}$${\displaystyle f(gh)}$${\displaystyle 1,}$${\displaystyle (fg)h}$${\displaystyle g}$${\displaystyle h,}$${\displaystyle f(gh)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle (fg)h}$${\displaystyle f(gh)}$${\displaystyle |f|+|g|+|h|,}$${\displaystyle \left(|f|+|g|+|h|\right)/2}$${\displaystyle (fg)h}$${\displaystyle f(gh)}$

時々役に立つ、経路のカテゴリカルな描像があります。任意の位相空間は、オブジェクトが の点であり、射が経路のホモトピー類であるカテゴリを生じます。このカテゴリの任意の射は同型であるため、このカテゴリは群であり、の基本群と呼ばれます。このカテゴリのループは自己準同型です(これらはすべて の自己同型です)。の点の自己同型群は、 に基づく基本群です。より一般的には、の点を結ぶ経路のホモトピー類を使用して、の任意の部分集合上の基本群を定義できます。これは、ファン・カンペンの定理に便利です。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle A.}$

• 曲線 § トポロジー
• 局所的に経路連結な空間 – 位相空間の性質Pages displaying short descriptions of redirect targets
• パス空間（曖昧さ回避）
• パス連結空間 – 連結された位相空間Pages displaying short descriptions of redirect targets

• ロナルド・ブラウン、「トポロジーと群体」、Booksurge PLC、(2006)。
• J. ピーター・メイ、「代数的位相幾何学の簡潔なコース」、シカゴ大学出版局、(1999)。
• ジェームズ・マンクレス、『トポロジー第2版』、プレンティス・ホール、(2000)。