球状3次元多様体

数学において、球面3次元多様体 Mは、次の形式の 3次元多様体である。

${\displaystyle M=S^{3}/\Gamma }$

ここで、 は3 次元球面上の回転によって自由に作用するO(4)の有限部分群です。このような多様体はすべて素数、有向性、および閉じています。球面 3 次元多様体は楕円 3 次元多様体と呼ばれることもあります。 ${\displaystyle \ガンマ}$ ${\displaystyle S^{3}}$

ボネ・マイヤーズの定理の特殊なケースでは、測地完備で定正曲率の滑らかなリーマン計量を持つすべての滑らかな多様体は閉じていて有限基本群を持つ必要があるとされています。ウィリアム・サーストンの楕円化予想は、リチャード・ハミルトンのリッチフローを用いてグリゴリー・ペレルマンによって証明され、逆を述べています。有限基本群を持つすべての閉じた3次元多様体は、定正曲率の滑らかなリーマン計量を持ちます。(この逆は3次元に特有です。) そのため、球面3次元多様体は、まさに有限基本群を持つ閉じた3次元多様体です。

シンジの定理によれば、すべての球面 3 次元多様体は向き付け可能であり、特にSO(4)に含まれていなければならない。基本群は巡回群であるか、または偶数次の巡回群による二面体群、四面体群、八面体群、または二十面体群の中心拡張である。これにより、このような多様体の集合は、次のセクションで説明する 5 つのクラスに分類される。 ${\displaystyle \ガンマ}$

球面多様体は、サーストンの幾何化予想の 8 つの幾何学のうちの 1 つである球面幾何学を持つ多様体です。

Γ巡回多様体は、まさに 3 次元レンズ空間です。レンズ空間はその基本群によって決定されません (同型基本群を持つ非同相レンズ空間が存在します)。ただし、他の球面多様体は基本群によって決定されます。 ${\displaystyle S^{3}/\Gamma }$

3次元レンズ空間は、次の形式の要素によって生成される群の作用によって生じる 商として生じる。${\displaystyle S^{3}\subset \mathbb {C} ^{2}}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\omega &0\\0&\omega ^{q}\end{pmatrix}}.}$

ここでです。このようなレンズ空間はすべての に対して基本群を持つため、 が異なる を持つ空間はホモトピー同値ではありません。さらに、同相写像とホモトピー同値までの分類は次のように知られています。3 次元空間とは 次のようになります。 ${\displaystyle \omega =e^{2\pi i/p}}$${\displaystyle L(p;q)}$${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$${\displaystyle q}$${\displaystyle p}$${\displaystyle L(p;q_{1})}$${\displaystyle L(p;q_{2})}$

1. ホモトピー同値であるのは、ある${\displaystyle q_{1}q_{2}\equiv \pm n^{2}{\pmod {p}}}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} ;}$
2. 同相であることは${\displaystyle q_{1}\equiv \pm q_{2}^{\pm 1}{\pmod {p}}.}$

特に、レンズ空間L (7,1)とL (7,2)は、ホモトピー同値だが同相ではない2つの3次元多様体の例を与える。

レンズ空間L (1,0)は3次元球面であり、レンズ空間L (2,1)は3次元実射影空間である。

レンズ空間は、多くの方法でザイフェルト ファイバー空間として表現できます。通常は、最大 2 つの例外ファイバーを持つ 2 次元球面上のファイバー空間として表現されますが、基本群の順序が 4 のレンズ空間は、例外ファイバーを持たない射影平面上のザイフェルト ファイバー空間としても表現されます。

プリズム多様体は、その基本群が二面体群の中心拡張である 閉じた3 次元多様体 Mです。

Mの基本群π ₁ ( M )は、位数mの巡回群と表現を持つ群 の積である。

${\displaystyle \langle x,y\mid xyx^{-1}=y^{-1},x^{2^{k}}=y^{n}\rangle }$

整数k、m、nについて、 k ≥ 1、m ≥ 1、n ≥ 2かつm が2 nと互いに素である。

あるいは、基本グループはプレゼンテーションを持っている

${\displaystyle \langle x,y\mid xyx^{-1}=y^{-1},x^{2m}=y^{n}\rangle }$

互いに素な整数m、nについて、m ≥ 1、n ≥ 2 です。(ここでのn は前のnに等しく、ここでのmは前のmの 2 ^{k -1}倍です。)

後者の表現を続けます。この群は、位数 4 mのアーベル化を伴う位数 4 mnのメタ巡回群です(したがって、mとn は両方ともこの群によって決定されます)。元y は位数 2 nの巡回正規部分群を生成し、元xは位数 4 mです。中心は位数 2 mの巡回であり、 x ²によって生成され、中心による商は位数 2 nの二面体群です。

m = 1のとき、この群は二元二面体群または二環群です。最も単純な例はm = 1、n = 2 で、π ₁ ( M ) は8 次 四元数群です。

プリズム多様体は、その基本群によって一意に決定されます。つまり、閉じた 3 次元多様体がプリズム多様体Mと同じ基本群を持つ場合、それはMに同相です。

プリズム多様体は、2 つの方法でザイフェルト ファイバー空間として表現できます。

基本群は、位数mの巡回群と表現を持つ群 の積である。

${\displaystyle \langle x,y,z\mid (xy)^{2}=x^{2}=y^{2},zxz^{-1}=y,zyz^{-1}=xy, z^{3^{k}}=1\rangle }$

整数k、mについて、 k ≥ 1、m ≥ 1かつm は6 と互いに素である。

あるいは、基本グループはプレゼンテーションを持っている

${\displaystyle \langle x,y,z\mid (xy)^{2}=x^{2}=y^{2},zxz^{-1}=y,zyz^{-1}=xy, z^{3m}=1\rangle }$

奇数の整数m ≥ 1 の場合。(ここでのmは前のm の3 ^{k -1}倍です。)

後者の表現を続けます。この群の位数は 24 mです。要素xとy は、位数 8 の四元数群と同型の正規部分群を生成します。中心は位数 2 mの巡回群です。これは要素z ³とx ² = y ²によって生成され、中心による商は四面体群、つまり交代群 A ₄です。

m = 1のとき、この群は二元四面体群です。

これらの多様体は、その基本群によって一意に決定されます。これらはすべて、本質的に一意な方法でザイフェルト ファイバー空間として表現できます。商多様体は球体であり、2、3、3 の 3 つの例外的なファイバーがあります。

基本群は、 6と互いに素な位数mの巡回群と位数48の2元八面体群の積であり、その表現は次のようになる。

${\displaystyle \langle x,y\mid (xy)^{2}=x^{3}=y^{4}\rangle .}$

これらの多様体は、その基本群によって一意に決定されます。これらはすべて、本質的に一意な方法でザイフェルト ファイバー空間として表現できます。商多様体は球体であり、2、3、4 の 3 つの例外的なファイバーがあります。

基本群は、30と互いに素な位数mの巡回群と、表現が120位の2元 20面体群の積である。

${\displaystyle \langle x,y\mid (xy)^{2}=x^{3}=y^{5}\rangle .}$

mが 1 のとき、多様体はポアンカレホモロジー球面です。

これらの多様体は、その基本群によって一意に決定されます。これらはすべて、本質的に一意な方法でザイフェルト ファイバー空間として表現できます。商多様体は球体であり、2、3、5 の 3 つの例外的なファイバーがあります。

• Peter Orlik、Seifert 多様体、 Lecture Notes in Mathematics、vol. 291、Springer-Verlag (1972)。ISBN  0-387-06014-6
• ウィリアム・ジャコ、3次元多様体位相幾何学の講義 ISBN 0-8218-1693-4 
• ウィリアム・サーストン、『3次元幾何学と位相幾何学』第1巻、シルビオ・レヴィ編、プリンストン数学シリーズ、35、プリンストン大学出版、プリンストン、ニュージャージー、1997年、 ISBN 0-691-08304-5