力

ニュートンの第一運動法則は、静止している物体の自然な振る舞いは静止し続けることであり、直線上を一定速度で運動している物体の自然な振る舞いは、その直線上を一定速度で運動し続けることであると述べています。^{[ 14 ]}後者は前者から導かれます。なぜなら、物理法則はすべての慣性観測者、つまり自分が運動していると感じないすべての観測者に対して同じであるという原理があるからです。物体と連動して運動している観測者は、物体が静止しているように見えます。したがって、物体の自然な振る舞いはその観測者に対して静止し続けることであり、これは、物体が直線上を一定速度で運動しているように見える観測者は、物体が運動し続けるように見えることを意味します。^{[ 16 ] : 1–7}

第一法則によれば、直線上で一定速度で運動するには原因は不要である。原因を必要とするのは運動の 変化であり、ニュートンの第二法則は力と運動の変化の間の定量的関係を示している。ニュートンの第二法則は、物体に作用する正味の力は、その運動量が時間とともに変化する割合に等しいと述べている。物体の質量が一定の場合、この法則は、物体の加速度が物体に作用する正味の力に正比例し、正味の力の方向と同じ方向であり、物体の質量に反比例することを意味する。 ^{[ 17 ]： 204-207}

ニュートンの第二法則を現代的に表現すると、ベクトル方程式となる。 $${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}},}$$ どこ${\displaystyle \mathbf {p} }$はシステムの運動量であり、${\displaystyle \mathbf {F} }$は正味の（ベクトル和）力です。^{[ 17 ]： 399}物体が平衡状態にある場合、定義により正味の力はゼロになります（ただし、釣り合った力が存在する場合があります）。対照的に、第二法則は、物体に不均衡な力が作用すると、物体の運動量が時間とともに変化すると述べています。^{[ 14 ]}

一般的な工学応用では、システムの質量は一定に保たれるため、第二法則は単純な代数形式で表すことができます。運動量の定義により、 $${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} \left(m\mathbf {v} \right)}{\mathrm {d} t}},}$$ ここでmは質量であり、${\displaystyle \mathbf {v} }$は速度です。^{[ 4 ]： 9-1、9-2}ニュートンの第2法則を一定質量のシステムに適用する場合、mを微分演算子の外に出すことができます。すると方程式は次のようになります。 $${\displaystyle \mathbf {F} =m{\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}.}$$加速度 の定義を代入することで、ニュートンの第二法則の代数的表現が導き出される。 $${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} .}$$

ある物体が別の物体に力を及ぼすと、後者の物体は同時に前者の物体に等しい大きさで反対向きの力を及ぼします。ベクトル形式では、$\displaystyle \mathbf {F} _{1,2}}$は物体1が物体2に及ぼす力であり、$\displaystyle \mathbf {F} _{2,1}}$物体2が物体1上にある場合、 $${\displaystyle \mathbf {F} _{1,2}=-\mathbf {F} _{2,1}.}$$この法則は、作用反作用の法則 と呼ばれることもあり、$\displaystyle \mathbf {F} _{1,2}}$その行動をと${\displaystyle -\mathbf {F} _{2,1}}$反応。​

ニュートンの第三法則は、異なる物体の存在によって力が作用する状況に対称性を適用した結果である。第三法則は、すべての力は異なる物体間の相互作用であることを意味する。 ^{[ 18 ] [ 19 ]}したがって、一方向の力や、1つの物体にのみ作用する力というものは存在しない。

物体1と物体2から構成されるシステムにおいて、それらの相互作用によってシステムに働く正味の力はゼロである。 $${\displaystyle \mathbf {F} _{1,2}+\mathbf {F} _{2,1}=0.}$$ より一般的には、粒子の閉鎖系では、すべての内部力が釣り合っています。粒子は互いに加速する可能性がありますが、系の重心は加速しません。外部力が系に作用すると、重心は外部力の大きさを系の質量で割った値に比例して加速します。^{[ 4 ] : 19-1 [ 5 ]}

ニュートンの第二法則と第三法則を組み合わせると、任意の閉じた系において系の線運動量が保存されることを示すことができる。2つの粒子からなる系では、$\displaystyle \mathbf {p} _{1}}$は物体1の運動量であり、$\displaystyle \mathbf {p} _{2}}$物体2の運動量、 $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} _{1}}{\mathrm {d} t}}+{\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} _{2}}{\mathrm {d} t}}=\mathbf {F} _{1,2}+\mathbf {F} _{2,1}=0.}$$ 同様の議論を用いると、これは任意の数の粒子を持つシステムに一般化できる。一般に、すべての力が質量を持つ物体の相互作用によるものである限り、正味の運動量が失われたり得られたりしないようなシステムを定義することが可能である。^{[ 4 ]： ch.12 [ 5 ]}

一部の教科書では、ニュートンの第二法則を力の定義として用いている。^{[ 20 ] [ 21 ] [ 22 ] [ 23 ]}しかし、方程式については${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} }$質量が一定の場合${\displaystyle m}$予測的な内容を持つためには、さらなる情報と組み合わせる必要がある。^{[ 24 ] [ 4 ] : 12-1}さらに、物体が加速しているから力が働いていると推論することは、慣性系においてのみ有効である。^{[ 5 ] : 59}ニュートンの法則のどの側面を定義として採用し、どの側面を物理的内容を持つものとみなすかという問題は、さまざまな方法で解決されてきたが、^{[ 25 ] [ 26 ] : vii}最終的には理論が実際にどのように使用されるかには影響しない。^{[ 25 ]}力の概念のより明確な定義を求めた著名な物理学者、哲学者、数学者には、エルンスト・マッハとウォルター・ノールがいる。^{[ 27 ] [ 28 ]}

物体に作用するすべての力が釣り合っているとき、その物体は平衡状態にあると言われます。^{[ 17 ] : 566}したがって、平衡は、点粒子に作用する合力がゼロ（つまり、すべての力のベクトル和がゼロ）のときに発生します。拡張物体を扱う場合、正味トルクがゼロであることも必要です。物体が静止していて加速していない場合、その物体は基準系に対して静的平衡状態にあります。一方、動的平衡状態にある物体は、直線上を一定速度で移動しています。つまり、移動はしているが加速していません。ある観察者が静的平衡状態と見なすものを、別の観察者は動的平衡状態と見なすことがあり、その逆もまた然りです。^{[ 17 ] : 566}

動的

動的平衡はガリレオによって初めて記述されました。彼は、アリストテレス物理学のいくつかの前提が観察と論理によって矛盾していることに気づいたのです。ガリレオは、単純な速度の加算から、「絶対静止系」という概念が存在しないことが分かると認識しました。そして、一定速度での運動は静止と完全に等価であると結論付けました。これは、質量を持つ物体が自然に近づく「自然な状態」としての静止というアリストテレスの概念とは相反するものでした。簡単な実験によって、一定速度と静止の等価性に関するガリレオの理解が正しいことが示されました。例えば、船員が一定速度で航行する船のマストの見張り台から砲弾を落とした場合、アリストテレス物理学では、砲弾は船がその下を移動している間に真下に落下することになります。したがって、アリストテレス的な宇宙では、落下する砲弾は航行中の船のマストの根元の後ろに着地するはずです。この実験を実際に行うと、砲弾は常にマストの根元に落下します。まるで砲弾が船から離れていても船と一緒に移動することを知っているかのようです。落下する砲弾には前方への水平方向の力が加わっていないため、残された唯一の結論は、砲弾は落下中も船と同じ速度で動き続けているということです。したがって、砲弾を一定の前方速度で動かし続けるために力は必要ありません。^{[ 11 ]}

さらに、一定速度で移動する物体には、正味の力（合力）がゼロでなければなりません。これが動的平衡の定義です。物体にかかるすべての力が釣り合っているにもかかわらず、物体が一定速度で移動している状態です。動的平衡の単純な例は、動摩擦のある表面上を一定速度で移動する場合です。このような状況では、運動方向に力が加えられますが、動摩擦力は加えられた力と正確に反対方向になります。この結果、正味の力はゼロになりますが、物体はゼロでない速度で出発したため、ゼロでない速度で移動し続けます。アリストテレスはこの運動を、加えられた力によって引き起こされるものと誤って解釈しました。動摩擦を考慮に入れると、一定速度運動を引き起こす正味の力は存在しないことが明らかです。^{[ 4 ]： ch.12 [ 5 ]}

現在私たちが重力と呼んでいるものは、アイザック・ニュートンの研究まで普遍的な力として認識されていませんでした。ニュートン以前は、物体が地球に向かって落下する傾向は、天体の運動と関連しているとは理解されていませんでした。ガリレオは、自由落下するすべての物体の加速度が一定であり、物体の質量に依存しないことを突き止めることで、落下する物体の特性を記述する上で重要な役割を果たしました。今日、地球表面に向かう重力によるこの加速度は通常、${\displaystyle \mathbf {g} }$そして、その大きさは約 9.81メートル毎秒毎秒 (この測定値は海面からのものであり、場所によって異なる場合があります) で、地球の中心を指しています。^{[ 32 ]}この観測結果は、地球表面にある物体に働く重力は、その物体の質量に正比例することを意味します。したがって、質量が 1 の物体は、${\displaystyle m}$次のような力を経験するでしょう: $${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {g} .}$$

自由落下している物体の場合、この力は抵抗を受けず、物体にかかる正味の力はその物体の重力です。自由落下していない物体の場合、重力は、物体を支えるものによって加えられる反作用力によって抵抗を受けます。たとえば、地面に立っている人は、地面から上向きに作用する垂直抗力（反作用力）が、下向きに作用する重力と釣り合っているため、正味の力はゼロになります。^{[ 4 ]： ch.12 [ 5 ]}

ニュートンの重力理論への貢献は、アリストテレスが常に運動している自然な状態にあると想定していた天体の運動と、地球上で観測される落下運動を統一したことである。彼は、ケプラーの惑星運動の法則を用いて以前に記述されていた天体の運動を説明できる重力の法則を提唱した。^{[ 33 ]}

ニュートンは、重力の影響はより遠い距離では異なる形で観測される可能性があることに気づいた。特に、ニュートンは、重力による加速度が逆二乗法則で減少する場合、地球の周りを回る月の加速度は同じ重力によるものだと判断した。さらに、ニュートンは、重力による物体の加速度は、もう一方の引力体の質量に比例することに気づいた。^{[ 33 ]}これらの考えを組み合わせると、質量(${\displaystyle m_{\oplus }}$）と半径（${\displaystyle R_{\oplus }}$地球の重力加速度に対する割合： $${\displaystyle \mathbf {g} =-{\frac {Gm_{\oplus }}{{R_{\oplus }}^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }},}$$ ここで、ベクトルの方向は次のように与えられる。${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$は地球の中心から外向きの単位ベクトルである。 ^{[ 14 ]}

この式では、次元定数${\displaystyle G}$は、重力の相対的な強さを表すために用いられる定数です。この定数はニュートンの万有引力定数として知られるようになりましたが、その値はニュートンの生前には知られていませんでした。1798年になってようやく、ヘンリー・キャベンディッシュがを初めて測定することができました。${\displaystyle G}$ねじり天秤を用いて、地球の質量を測定した。これは、地球の質量が分かって以来、マスコミで広く報道された。${\displaystyle G}$上記の式から地球の質量を求めることができる。ニュートンは、すべての天体が同じ運動法則に従うことから、彼の万有引力の法則は普遍的でなければならないと気づいた。簡潔に述べると、ニュートンの万有引力の法則は、質量の球状物体にかかる力が${\displaystyle m_{1}}$質量の重力による${\displaystyle m_{2}}$は $${\displaystyle \mathbf {F} =-{\frac {Gm_{1}m_{2}}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }},}$$ どこ${\displaystyle r}$は、2 つの物体の重心間の距離であり、${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$は、最初のオブジェクトの中心から2番目のオブジェクトの中心に向かう方向を指す単位ベクトルです。^{[ 14 ]}

この公式は、20世紀まで太陽系内の運動に関するその後のすべての記述の基礎となるほど強力でした。その間、惑星、衛星、彗星、小惑星に対する複数の天体の影響による軌道のずれを計算するために、摂動解析の高度な手法[ 34 ]が発明されました。この^形式は、数学者が海王星の存在を観測される前に予測できるほど正確でした^{[ 35 ] 。}

静電気力は、 1784 年にクーロンによって、2 つの電荷間に本質的に存在する力として初めて記述されました。^{[ 36 ] : 519}静電気力の特性は、半径方向に逆二乗法則に従って変化し、引力と斥力の両方を持ち（固有の極性があり）、帯電した物体の質量に依存せず、重ね合わせの原理に従うことでした。クーロンの法則は、これらすべての観察を 1 つの簡潔な記述に統合します。^{[ 37 ]}

その後の数学者や物理学者は、電場の概念が空間内の任意の点における電荷に及ぼす静電気力を決定するのに役立つことを発見した。電場は、空間内の任意の場所に仮想的な「試験電荷」を配置し、クーロンの法則を用いて静電気力を決定することに基づいていた。^{[ 38 ]： 4-6-4-8}したがって、空間内の任意の場所における電場は次のように定義される。 $${\displaystyle \mathbf {E} ={\mathbf {F} \over {q}},}$$ どこ${\displaystyle q}$は仮想的な試験電荷の大きさです。同様に、磁場の概念は、磁石が離れた場所で互いにどのように影響し合うかを表現するために導入されました。ローレンツ力の法則は、電荷を持つ物体に働く力を示します。${\displaystyle q}$電場と磁場による影響： $${\displaystyle \mathbf {F} =q\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right),}$$ どこ${\displaystyle \mathbf {F} }$電磁力は、${\displaystyle \mathbf {E} }$は物体の位置における電場であり、${\displaystyle \mathbf {B} }$は磁場であり、${\displaystyle \mathbf {v} }$は粒子の速度である。ローレンツ力への磁気的寄与は、速度ベクトルと磁場の外積である。 ^{[ 39 ] [ 40 ]： 482}

電場と磁場の起源は、1864年にジェームズ・クラーク・マクスウェルがそれまでのいくつかの理論を20個のスカラー方程式に統一し、後にオリバー・ヘヴィサイドとジョサイア・ウィラード・ギブスによって4つのベクトル方程式に再定式化されるまで完全には解明されなかった。^{[ 41 ]}これらの「マクスウェル方程式」は、静止電荷と運動電荷による場の発生源と、場自体の相互作用を完全に記述した。これにより、マクスウェルは、電場と磁場が、彼が光速と計算した速度で伝わる波によって「自己生成」できることを発見した。この洞察は、電磁気理論の黎明期の分野を光学と結びつけ、電磁スペクトルの完全な記述に直接つながった。^{[ 42 ]}

物体が接触しているとき、それらの間に直接働く力は垂直抗力と呼ばれ、システム全体の力のうち、物体間の界面に垂直に働く成分である。^{[ 36 ]： 264}垂直抗力はニュートンの第三法則と密接に関係している。例えば、垂直抗力はテーブルや床の構造的完全性を維持する役割を担っており、また、外部の力が固体物体に作用するたびに応答する力でもある。垂直抗力が作用する例としては、物体が静止した表面に衝突する際の衝撃力が挙げられる。^{[ 4 ]： ch.12 [ 5 ]}

摩擦とは、2つの物体の相対運動に抵抗する力である。巨視的なスケールでは、摩擦力は接触点における垂直抗力に直接関係する。摩擦力は大きく2種類に分類される。静止摩擦と動摩擦である。^{[ 17 ]： 267}

静止摩擦力（${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {sf} }}$) は、静止摩擦係数で指定される限界まで、表面に平行な物体に加わる力に正確に抵抗します。${\displaystyle \mu _{\mathrm {sf} }}$）に垂直抗力を掛けたもの（${\displaystyle \mathbf {F} _{\text{N}}}$)言い換えれば、静止摩擦力の大きさは次の不等式を満たす。 $${\displaystyle 0\leq \mathbf {F} _{\mathrm {sf} }\leq \mu _{\mathrm {sf} }\mathbf {F} _{\mathrm {N} }.}$$

動摩擦力（${\displaystyle F_{\mathrm {kf} }}$）は通常、加えられた力と物体の動きの両方に依存しません。したがって、力の大きさは次のようになります。 $${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {kf} }=\mu _{\mathrm {kf} }\mathbf {F} _{\mathrm {N} },}$$

どこ${\displaystyle \mu _{\mathrm {kf} }}$は動摩擦係数である。動摩擦係数は通常、静止摩擦係数よりも小さい。^{[ 17 ]： 267-271}

張力は、質量がなく、摩擦がなく、切れず、伸びない理想的な弦を使用してモデル化できます。これらは、理想的な弦の物理的な方向を切り替えることができる理想的な滑車と組み合わせることができます。理想的な弦は、作用反作用のペアで張力を瞬時に伝達するため、2 つの物体が理想的な弦で接続されている場合、最初の物体によって弦に沿って向けられる力には、2 番目の物体によって弦に沿って反対方向に向けられる力が伴います。^{[ 43 ]}可動滑車を使用する構成を使用して同じ弦を同じ物体に複数回接続すると、負荷にかかる張力を増幅できます。負荷に作用する弦ごとに、弦の張力のもう 1 つの係数が負荷に作用します。このような機械は、負荷を移動するために必要な変位した弦の長さの増加に対応する機械的利点を提供します。これらのタンデム効果は、機械がどれほど複雑であっても負荷に対して行われる仕事が同じであるため、最終的に機械的エネルギーの保存につながります。^{[ 4 ] : ch.12 [ 5 ] [ 44 ]}

単純な弾性力は、バネを自然長に戻そうと働きます。理想的なバネは、質量がなく、摩擦がなく、壊れず、無限に伸びると考えられています。このようなバネは、バネが平衡位置からどれだけずれているかに比例して、縮むと押し、伸びると引っ張る力を及ぼします。 ^{[ 45 ]}この線形関係は、1676年にロバート・フックによって記述され、フックの法則は彼の名にちなんで名付けられました。${\displaystyle \Delta x}$変位は、理想的なバネによって加えられる力に等しい。 $${\displaystyle \mathbf {F} =-k\Delta \mathbf {x} ,}$$ どこ${\displaystyle k}$はばね定数（または力定数）であり、ばねに固有の値です。マイナス符号は、力が加えられた荷重に反対方向に作用する傾向を表しています。^{[ 4 ]： ch.12 [ 5 ]}

等速円運動をしている物体の場合、物体に作用する正味の力は次のようになります。^{[ 46 ]}$${\displaystyle \mathbf {F} =-{\frac {mv^{2}}{r}}{\hat {\mathbf {r} }},}$$ どこ${\displaystyle m}$は物体の質量であり、${\displaystyle v}$は物体の速度であり、${\displaystyle r}$は円形経路の中心までの距離であり、${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$は中心から外側に向かって半径方向を指す単位ベクトルです。これは、物体が受ける正味の力が常に曲線経路の中心に向かっていることを意味します。このような力は物体の運動に関連する速度ベクトルに垂直に作用するため、物体の速度（速度の大きさ）は変化せず、速度ベクトルの方向のみが変化します。より一般的には、物体を加速させる正味の力は、経路に垂直な成分と経路に接する成分に分解できます。これにより、物体を減速または加速させることで加速させる接線方向の力と、物体の方向を変える半径方向（向心）の力が得られます。^{[ 4 ]： ch.12 [ 5 ]}

ニュートンの法則とニュートン力学全般は、まず理想化された点粒子に力がどのように作用するかを記述するために開発されました。現実世界では、物質は拡張構造を持ち、物体のある部分に作用する力が物体の他の部分に影響を与える可能性があります。物体内の原子を結合している格子が流動したり、収縮したり、膨張したり、その他の形状変化を起こしたりするような状況では、連続体力学の理論が力が物質に及ぼす影響を記述します。例えば、拡張流体では、圧力差によって力は圧力勾配に沿って次のように作用します。 $${\displaystyle {\frac {\mathbf {F} }{V}}=-\mathbf {\nabla } P,}$$

どこ${\displaystyle V}$は流体中の物体の体積であり、${\displaystyle P}$は、空間内のあらゆる場所の圧力を表すスカラー関数です。圧力勾配と圧力差は、重力場に浮遊する流体の浮力、大気科学における風、および空気力学と飛行に関連する揚力をもたらします。^{[ 4 ]： ch.12 [ 5 ]}

動圧に関連する力の具体的な例として、流体抵抗が挙げられます。流体抵抗とは、粘性によって流体中を移動する物体の動きに抵抗する体積力です。いわゆる「ストークスの抗力」の場合、その力は速度にほぼ比例しますが、方向は逆になります。 $${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {d} }=-b\mathbf {v} ,}$$ どこ：

• ${\displaystyle b}$は流体の特性と物体の寸法（通常は断面積）に依存する定数であり、
• ${\displaystyle \mathbf {v} }$は物体の速度です。^{[ 4 ]： ch.12 [ 5 ]}

より厳密には、連続体力学における力は、おおよそ次のように定義される項を持つ 応力テンソルによって完全に記述される。$${\displaystyle \sigma ={\frac {F}{A}},}$$ どこ${\displaystyle A}$は、応力テンソルが計算される体積の関連する断面積です。この形式には、断面積に垂直に作用する力に関連する圧力項（テンソルの行列の対角要素）と、断面積に平行に作用する力に関連するせん断項（非対角要素）が含まれます。応力テンソルは、引張応力と圧縮応力を含むすべてのひずみ（変形）を引き起こす力を考慮に入れています。^{[ 3 ] [ 5 ]： 133–134 [ 38 ]： 38-1–38-11}

フレーム依存の力、つまり非ニュートン（非慣性）参照フレームを採用することによって現れる力が存在する。そのような力には、遠心力とコリオリ力が含まれる。^{[ 47 ]}これらの力は、加速していない参照フレームには存在しないため、仮想的な力とみなされる。^{[ 4 ]：第12章[ 5 ]}これらの力は実在しないため、「擬似力」とも呼ばれる。^{[ 4 ]： 12-11}

一般相対性理論では、重力は時空が平坦な幾何学から逸脱する状況で生じる仮想的な力となる。^{[ 48 ]}

広がりを持つ物体を回転させる力はトルクと関連付けられます。数学的には、力のトルクは${\displaystyle \mathbf {F} }$は、任意の基準点に対して、外積として定義されます。 $${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} ,}$$ どこ${\displaystyle \mathbf {r} }$は、基準点に対する力作用点の位置ベクトルである。 ^{[ 17 ]： 497}

トルクは、角度が位置の回転対応物であるのと同様に、角速度が速度の回転対応物であるのと同様に、角運動量が運動量の回転対応物である。ニュートンの第一運動法則の結果として、回転慣性が存在し、不均衡なトルクが作用しない限り、すべての物体は角運動量を維持する。同様に、ニュートンの第二運動法則を用いて、剛体の 瞬間角加速度に関する類似の式を導出することができる。$${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=I{\boldsymbol {\alpha }},}$$ どこ

• ${\displaystyle I}$は物体の慣性モーメントである。
• ${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$は物体の角加速度である。^{[ 17 ]： 502}

これは慣性モーメントの定義であり、慣性モーメントは質量の回転版である。より高度な力学の扱いでは、時間間隔にわたる回転が記述される場合、慣性モーメントはテンソルに置き換えられる必要があり、このテンソルは適切に解析されると、歳差運動や章動を含む回転の特性を完全に決定する。^{[ 26 ]： 96-113}

同様に、ニュートンの第二法則の微分形式はトルクの別の定義を提供する。^{[ 49 ]}$${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {dt} }},}$$ どこ${\displaystyle \mathbf {L} }$これは粒子の角運動量である。

ニュートンの第三運動法則は、トルクを及ぼすすべての物体が等しく反対のトルクを受けることを要求しており、^{[ 50 ]}したがって、内部トルクの作用によって回転や公転を経験する閉鎖系における角運動量の保存も直接的に意味します。

ヤンクは力の変化率として定義される^{[ 51 ]： 131}

${\displaystyle \mathbf {Y} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {F} }{\mathrm {d} t}}}$

この用語は、生体力学的分析^{[ 52 ]} 、運動能力評価^{[ 53 ]}、およびロボット制御^{[ 54 ]}で使用されています。2次（「tug」）、3次（「snatch」）、4次（「shake」）およびそれ以上の導関数はめったに使用されません。^{[ 51 ]}

力は、運動学的変数に関して積分することにより、多くの物理的概念を定義するために使用できます。たとえば、時間に関して積分すると、インパルスの定義が得られます。^{[ 55 ]}$${\displaystyle \mathbf {J} =\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\mathbf {F} \,\mathrm {d} t},}$$ これはニュートンの第二法則により運動量の変化に等しくなければならない（力積運動量定理が得られる）。

同様に、位置に関して積分すると、力が行う仕事の定義が得られます。 ^{[ 4 ]： 13-3}$${\displaystyle W=\int _{\mathbf {x} _{1}}^{\mathbf {x} _{2}}{\mathbf {F} \cdot {\mathrm {d} \mathbf {x} }},}$$ これは運動エネルギーの変化に相当する（仕事エネルギー定理が得られる）。^{[ 4 ]： 13-3}

パワーPは、軌道が位置変化によって延長される際の仕事Wの変化率dW / dtである。${\displaystyle d\mathbf {x} }$時間間隔 d tにおいて: ^{[ 4 ] : 13-2}$${\displaystyle \mathrm {d} W={\frac {\mathrm {d} W}{\mathrm {d} \mathbf {x} }}\cdot \mathrm {d} \mathbf {x} =\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {x} ,}$$ それで $${\displaystyle P={\frac {\mathrm {d} W}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} W}{\mathrm {d} \mathbf {x} }}\cdot {\frac {\mathrm {d} \mathbf {x} }{\mathrm {d} t}}=\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} ,}$$ と${\displaystyle \mathbf {v} =\mathrm {d} \mathbf {x} /\mathrm {d} t}$速度。​

力の代わりに、数学的に関連するポテンシャルエネルギー場の概念がよく用いられる。例えば、物体に作用する重力は、その物体の位置に存在する重力場の作用と見なすことができる。エネルギーの定義（仕事の定義を介して）を数学的に言い換えると、ポテンシャルスカラー場は${\displaystyle U(\mathbf {r} )}$は、あらゆる点で発生する力と等しく逆向きの 勾配を持つ場として定義される。$${\displaystyle \mathbf {F} =-\mathbf {\nabla } U.}$$

力は保存力または非保存力に分類できます。保存力はポテンシャルの勾配に等しく、非保存力はそうではありません。^{[ 4 ]： ch.12 [ 5 ]}

閉鎖系に作用する保存力には、運動エネルギーと位置エネルギーの間でのみエネルギーを変換できる機械的な仕事が伴います。これは、閉鎖系の場合、保存力が作用するたびに正味の機械エネルギーが保存されることを意味します。したがって、この力は空間内の2つの異なる場所間の位置エネルギーの差に直接関係しており、^{[ 56 ]}水の流れの方向と量が地域の標高の等高線図のアーティファクトであると考えられるのと同様に、ポテンシャル場のアーティファクトであると考えることができます。^{[ 4 ] : ch.12 [ 5 ]}

保存力には、重力、電磁力、ばねの力などがある。これらの力はそれぞれ、位置に依存するモデルを持ち、多くの場合、動径ベクトルで表される。${\displaystyle \mathbf {r} }$球対称ポテンシャルから生じる。^{[ 57 ]}その例を以下に示す。

重力の場合： $${\displaystyle \mathbf {F} _{\text{g}}=-{\frac {Gm_{1}m_{2}}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }},}$$ どこ${\displaystyle G}$は重力定数であり、${\displaystyle m_{n}}$は物体nの質量です。

静電気力の場合： $${\displaystyle \mathbf {F} _{\text{e}}={\frac {q_{1}q_{2}}{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }},}$$ どこ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$は自由空間の誘電率であり、${\displaystyle q_{n}}$は物体nの電荷です。

ばねの力の場合： $${\displaystyle \mathbf {F} _{\text{s}}=-kr{\hat {\mathbf {r} }},}$$ どこ${\displaystyle k}$はばね定数です。^{[ 4 ]： ch.12 [ 5 ]}

特定の物理的シナリオでは、力を単純な電位勾配によるものとしてモデル化することは不可能です。これは多くの場合、ミクロ状態のマクロな統計平均によるものです。たとえば、静止摩擦は原子間の多数の静電ポテンシャルの勾配によって引き起こされますが、マクロスケールの位置ベクトルに依存しない力モデルとして現れます。摩擦以外の非保存力には、他の接触力、張力、圧縮力、抗力などがあります。十分に詳細な記述では、これらの力はすべて保存力の結果です。なぜなら、これらのマクロな力はそれぞれ、ミクロなポテンシャルの勾配の正味の結果だからです。^{[ 4 ]： ch.12 [ 5 ]}

巨視的な非保存力と微視的な保存力の関係は、統計力学による詳細な扱いによって説明される。巨視的な閉鎖系では、非保存力が系の内部エネルギーを変化させるように作用し、しばしば熱の移動と関連している。熱力学第二法則によれば、非保存力は、エントロピーが増加するにつれて、閉鎖系内のエネルギー変換を秩序だった状態からよりランダムな状態へと必然的に引き起こす。^{[ 4 ]： ch.12 [ 5 ]}

特殊相対性理論では、質量とエネルギーは等価である（物体を加速させるのに必要な仕事を計算することでわかる）。物体の速度が増加すると、そのエネルギーも増加し、したがって質量相当量（慣性）も増加する。そのため、低速時よりも同じ量だけ加速させるには、より大きな力が必要となる。ニュートンの第二法則は、 $${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}},}$$ 数学的な定義であるため、依然として有効である。^{[ 36 ]： 855-876}しかし、相対論的相対速度で運動量が保存されるためには、${\displaystyle v}$運動量は次のように再定義されなければならない。 $${\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {m_{0}\mathbf {v} }{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}},}$$ どこ${\displaystyle m_{0}}$静止質量と${\displaystyle c}$光の速度。

一定の非ゼロ静止質量を持つ粒子の力と加速度の関係を表す式${\displaystyle m}$移動中${\displaystyle x}$速度での方向${\displaystyle v}$は：^{[ 59 ]： 216}$${\displaystyle \mathbf {F} =\left(\gamma ^{3}ma_{x},\gamma ma_{y},\gamma ma_{z}\right),}$$ どこ $${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}.}$$これはローレンツ因子 と呼ばれます。ローレンツ因子は、相対速度が光速に近づくにつれて急激に増加します。したがって、極限速度で同じ加速度を生み出すには、ますます大きな力を加える必要があります。相対速度は光速に達することはできません。${\displaystyle c}$[ ^{59 ] : 26 [ 4 ] : §15–8} もし^​${\displaystyle v}$に比べて非常に小さい${\displaystyle c}$、 それから${\displaystyle \gamma }$1に非常に近く、 $${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} }$$ は近似値である。相対性理論で使用する場合でも、の形式を復元することができる。 $${\displaystyle F^{\mu }=mA^{\mu }}$$4元ベクトル の使用を通して。この関係は相対性理論において正しい。${\displaystyle F^{\mu }}$は4つの力であり、${\displaystyle m}$は不変質量であり、${\displaystyle A^{\mu }}$は4次加速度である。^{[ 60 ]}

一般相対性理論は、力、特に重力に関するニュートン力学的な考え方から、より根本的な転換を図っています。重力の性質に関するこの新たな解釈については、以下でより詳しく説明します。

量子力学は、もともと分子、原子、または素粒子のスケールでの挙動といった微視的な現象を理解するために開発された物理学の理論です。一般的に、大まかに言えば、システムが小さいほど、適切な数学モデルには量子効果の理解が必要になります。量子物理学の概念的基盤は、古典物理学とは異なります。位置、運動量、エネルギーなどの量を物体が持つ性質として考える代わりに、選択したタイプの測定を行ったときにどのような結果が現れるかを考えます。量子力学では、物理学者は選択した測定によって特定の結果が生じる確率を計算できます。^{[ 61 ] [ 62 ]}測定の期待値は、その測定によって得られる可能性のある結果を、それぞれの発生確率で重み付けした平均値です。^{[ 63 ]}

量子力学では、相互作用は通常、力ではなくエネルギーの観点から記述されます。エーレンフェストの定理は、量子期待値と古典的な力の概念との間のつながりを提供しますが、量子物理学は古典物理学とは根本的に異なるため、このつながりは必然的に不正確です。量子物理学では、位置測定または運動量測定の期待値を計算するには、ボルンの規則が使用されます。これらの期待値は一般に時間とともに変化します。つまり、（たとえば）位置測定が行われる時間に応じて、そのさまざまな可能な結果の確率は変化します。エーレンフェストの定理は、大まかに言えば、これらの期待値が時間とともにどのように変化するかを記述する方程式は、ニュートンの第2法則を彷彿とさせる形式を持ち、力は位置エネルギーの負の微分として定義されます。しかし、特定の状況で量子効果がより顕著であればあるほど、この類似性から意味のある結論を導き出すことはより困難になります。^{[ 64 ] [ 65 ]}

量子力学は、微視的スケールで力と相互作用する2つの新しい制約も導入しており、これらは原子にとって特に重要です。原子核の強い引力にもかかわらず、不確定性原理は電子の確率分布の最小範囲を制限し^{[ 66 ]}、パウリの排他原理は電子が同じ確率分布を共有することを妨げます^{[ 67 ]} 。これにより、縮退圧として知られる新たな圧力が生じます。縮退圧と引力的な電磁力との間の動的平衡により、原子、分子、液体、固体は安定性を得ます^{[ 68 ]}。

現代の素粒子物理学では、力と粒子の加速は、運動量を持つゲージボソンの交換による数学的な副産物として説明される。量子場理論と一般相対性理論の発展に伴い、力は運動量保存則（相対性理論における4元運動量、量子電磁力学における仮想粒子の運動量）から生じる冗長な概念であることが認識された。運動量保存則は空間の均質性または対称性から直接導き出すことができ、そのため通常は力の概念よりも基本的であると考えられている。したがって、現在知られている基本的な力は、より正確には「基本的な相互作用」であると考えられている。^{[ 6 ]： 199–128}

このような相互作用の結果を詳細に予測するには高度な数学的記述が必要ですが、ファインマン図を使用することで概念的に簡単に記述できます。ファインマン図では、各物質粒子は時間とともに移動する直線（世界線を参照）として表され、通常は図の中で上または右に増加します。物質粒子と反物質粒子は、ファインマン図を通過する方向を除いて同一です。粒子の世界線は相互作用の頂点で交差し、ファインマン図は相互作用から生じる力を、粒子の世界線の方向の瞬間的な変化を伴って頂点で発生するものとして表します。ゲージボソンは波線として頂点から放出され、仮想粒子交換の場合は、隣接する頂点で吸収されます。^{[ 69 ]}ファインマン図の有用性は、基本的な相互作用の一般的な図の一部​​であるが、概念的には力とは分離している他のタイプの物理現象も、同じ規則を使用して記述できることです。例えば、ファインマン図は、中性子が電子、陽子、反ニュートリノに崩壊する様子を簡潔かつ詳細に記述することができ、この相互作用は弱い核力の原因となるゲージボソンによって媒介される。^{[ 69 ]}

ニュートンの万有引力の法則は、遠隔作用の一例です。太陽のような物体は、地球のような他の物体に、どれだけ離れていても影響を及ぼします。さらに、この遠隔作用は瞬間的です。ニュートンの理論によれば、ある物体の位置が変わると、他のすべての物体が感じる重力も、すべて同じ瞬間に変化します。アルバート・アインシュタインは、これが特殊相対性理論と矛盾していることに気づきました。特殊相対性理論では、影響は光速よりも速く伝わることはできないと予測されています。そこで彼は、相対論的に整合性のある新しい重力理論を模索しました。^{[ 74 ] [ 75 ]}水星の軌道は、ニュートンの万有引力の法則で予測されたものと一致しませんでした。一部の天体物理学者は、この矛盾を説明できる未発見の惑星（バルカン）の存在を予測しました。アインシュタインが一般相対性理論（GR）を定式化したとき、彼は水星の軌道の問題に注目し、彼の理論が修正を加えることでその矛盾を説明できることを発見した。これはニュートンの重力理論が不正確であることが初めて示された時であった。^{[ 76 ]}

それ以来、一般相対性理論は重力を最もよく説明する理論として認められてきました。一般相対性理論では、重力は力としてではなく、重力場の中で自由に運動する物体は、曲がった時空（2つの時空事象間の最短時空経路として定義される）を自身の慣性によって直線的に移動すると考えられています。物体の視点から見ると、すべての運動は重力が全く存在しないかのように起こります。運動を全体的な意味で観測したときに初めて時空の曲率が観測され、物体の曲がった経路から力が推測されます。したがって、時空における直線経路は空間における曲線として見なされ、物体の弾道軌道と呼ばれます。例えば、地面から投げられたバスケットボールは、一様な重力場にあるため放物線を描いて運動します。その時空軌道は、わずかに曲がったほぼ直線です（曲率半径は数光年程度）。物体の運動量の変化の時間微分を「重力」と呼ぶ。^{[ 5 ]}

マクスウェル方程式とそれに基づいて構築された一連の手法は、電気と磁気における力を含む幅広い物理現象を適切に記述します。この古典理論には、すでに相対性理論の効果が含まれています。^{[ 77 ]}素粒子間の量子化された電磁相互作用を理解するには、量子電磁力学（QED）が必要です。QEDでは、光子は基本的な交換粒子であり、電磁力を含む電磁気に関連するすべての相互作用を記述します。^{[ 78 ]}

今日では、粒子物理学の量子論で起こる相互作用として説明される「核力」は2種類あります。強い核力は原子核の構造的完全性を維持する力であり、陽子間の電磁反発力を凌駕する能力からその名が付けられました。^{[ 36 ] : 940 [ 79 ]}

強い力は今日、量子色力学（QCD）理論で詳述されているように、クォークとグルーオン間の相互作用を表すものとして理解されている。 ^{[ 80 ]}強い力はグルーオンによって媒介される基本力であり、クォーク、反クォーク、そしてグルーオン自身に作用する。強い力は素粒子にのみ直接作用する。ハドロン（特に原子核中の核子）間には残留力が観測され、これは核力として知られている。ここでは強い力は間接的に作用し、核力の古典的な伝達体である仮想π中間子とρ中間子の一部を形成するグルーオンとして伝達される。自由クォークの多くの探索が失敗に終わったことは、影響を受ける素粒子が直接観測できないことを示している。この現象はカラー閉じ込めと呼ばれる。^{[ 81 ]： 232}

基本的な相互作用の中で唯一、弱い核力は束縛状態を生成しません。^{[ 82 ]}弱い力は、重いWボソンとZボソンの交換によって生じます。弱い力は2種類のボソンによって媒介されるため、2種類の相互作用、すなわち「頂点」に分けられます。1つは電荷を帯びたW ⁺ボソンとW-^{ボソンが関与する荷電}電流、もう1つは電気的に中性の^Z0ボソンが関与する中性電流です。弱い相互作用の最もよく知られた効果は、ベータ崩壊（原子核中のニュートロンの崩壊）とそれに伴う放射能です。^{[ 36 ] : 951}これは荷電電流相互作用の一種です。「弱い」という言葉は、その場の強さが強い力の約^10¹³分の1であるという事実に由来します。それでも、短距離では重力よりも強い力です。一貫した電弱理論も開発されており、電磁力と弱い力は、約10⁻⁶℃を超える温度では区別できないことが示されています。10 ¹⁵ K。 ^{[ 83} ]ビッグバン初期のプラズマ衝突ではこのような温度が観測され^た。^{[ 82 ] : 201}