ローレンツ因子

ローレンツ因子またはローレンツ項（ガンマ因子とも呼ばれる^{[ 1 ]}）は、物体が運動している間に、時間、長さ、その他の物理的性質の測定値がどれだけ変化するかを表す無次元量である。この式は特殊相対性理論のいくつかの式に現れ、ローレンツ変換の導出にも現れる。その名前は、オランダの物理学者ヘンドリック・ローレンツにちなんで名付けられたローレンツ電気力学に最初に現れたことに由来する^{[ 2 ]}。

一般的にはγ（ギリシャ文字の小文字ガンマ）で表されます。ただし、超光速運動の議論などでは、γではなくΓ（ギリシャ文字の大文字ガンマ）と表記される場合もあります。

ローレンツ因子γは^{[ 3 ]}と定義される。$${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}={\frac {dt}{d\tau }},}$$ どこ：

• vは慣性基準系間の相対速度であり、
• cは真空中の光速です。
• βはvとcの比である。
• tは座標時間です。
• τは観測者にとっての固有時間である（観測者自身の座標系で時間間隔を測定する）。

これは実際によく使われる形式ですが、唯一の形式ではありません（他の形式については下記を参照）。

定義を補足するために、一部の著者は逆数を定義している^{[ 5 ]}$${\displaystyle \alpha ={\frac {1}{\gamma }}={\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}\ ={\sqrt {1-{\beta }^{2}}};}$$速度加算式を 参照してください。

以下は、 γを略記法として用いる特殊相対性理論の公式のリストです。 ^{[ 3 ] [ 6 ]}

• ローレンツ変換：最も単純なケースはx方向のブースト（ここではリストされていない任意の方向や回転を含むより一般的な形式）であり、これは、座標( x、y、z、t )を使用するある慣性フレームから、相対速度vを持つ別の( x ′、y ′、z ′、t ′ )への時空座標の変化を記述します。$${\displaystyle {\begin{aligned}t'&=\gamma \left(t-{\tfrac {vx}{c^{2}}}\right),\\[1ex]x'&=\gamma \left(x-vt\right).\end{aligned}}}$$

上記の変換の帰結として、以下の結果が得られる。

• 時間の遅れ：時計が動いている座標系で測定した2つの目盛りの間の時間（ ∆ t ′ ）は、時計の静止座標系で測定したこれらの目盛りの間の時間（ ∆ t ）よりも長い。$${\displaystyle \Delta t'=\gamma \Delta t.}$$
• 長さの収縮：物体が運動している座標系で測定した物体の長さ（ ∆ x ′ ）は、その物体自身の静止座標系で測定した長さ（ ∆ x ）よりも短い。$${\displaystyle \Delta x'=\Delta x/\gamma .}$$

運動量保存則とエネルギー保存則を適用すると、以下の結果が得られます。

• 相対論的質量：運動している物体の相対論的質量mは、${\displaystyle \gamma }$そして静止質量m ₀ :$${\displaystyle m=\gamma m_{0}.}$$
• 相対論的運動量：相対論的運動量の関係は、古典的運動量の場合と同じ形式をとりますが、上記の相対論的質量を使用します。$${\displaystyle {\vec {p}}=m{\vec {v}}=\gamma m_{0}{\vec {v}}.}$$
• 相対論的運動エネルギー：相対論的運動エネルギーの関係式は、若干修正された形で表されます。$${\displaystyle E_{k}=E-E_{0}=(\gamma -1)m_{0}c^{2}}$$として${\displaystyle \gamma }$は関数である${\displaystyle {\tfrac {v}{c}}}$非相対論的極限では${\textstyle \lim _{v/c\to 0}E_{k}={\tfrac {1}{2}}m_{0}v^{2}}$ニュートン力学的な考察から予想される通りである。

下の表では、左の列は光速の異なる割合（つまりcの単位）で速度を示しています。中央の列は対応するローレンツ因子を示し、最後の列はその逆数を示しています。太字の値は正確な値です。

この係数を表す方法は他にもあります。上記では速度vを用いましたが、運動量や速度などの関連変数を用いるのも便利な場合があります。

長時間ガンマ線バースト（GRB）の標準モデルでは、これらの爆発は超相対論的（初期γが約100より大きい）であるとされており、これはいわゆる「コンパクト性」問題の説明に用いられています。この超相対論的膨張がなければ、噴出物は光学的に厚くなり、典型的なピークスペクトルエネルギー数数百 keVでの対生成が起こりませんが、即時放射は非熱的であることが観測されています。^{[ 10 ]}

ミューオンは素粒子であり、比較的高いローレンツ因子を持つ速度で移動するため、極端な時間の遅れを経験します。ミューオンの平均寿命はわずか 2.2 μsであるため、地球の大気圏上空10 km (6.2 mi)で宇宙線衝突によって生成されたミューオンは、その崩壊率により地上では検出されないはずです。しかし、これらの衝突から発生したミューオンの約 10% は依然として地表で検出可能であり、それによって時間の遅れがミューオンの崩壊率に及ぼす影響が実証されています。^{[ 11 ]}   

• 慣性座標系
• 適切な速度
• 擬似迅速性

• メリフィールド、マイケル。「γ – ローレンツ因子（および時間の遅れ）」。60のシンボル。ノッティンガム大学のためのブレイディ・ハラン。
• メリフィールド、マイケル。「γ2 – ガンマ再読み込み」。60のシンボル。ノッティンガム大学のためのブレイディ・ハラン。