4つの力

特殊相対性理論では、4 元力は古典的な力に代わる4 元ベクトルです。

4元力は、粒子の固有時間に対する粒子の4元運動量の変化率として定義されます。したがって、

$${\displaystyle \mathbf {F} ={\mathrm {d} \mathbf {P} \over \mathrm {d} \tau }.}$$

一定で不変な質量 を持つ粒子の場合、4 元運動量は関係式 で与えられ、ここで は4 元速度です。ニュートンの第 2 法則と同様に、4 元力と4 元加速度( ) を次の式で関連付けることもできます。 ${\displaystyle m>0}$${\displaystyle \mathbf {P} =m\mathbf {U} }$${\displaystyle \mathbf {U} =\gamma (c,\mathbf {u} )}$${\displaystyle \mathbf {A} }$

$${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {A} =\left(\gamma {\mathbf {f} \cdot \mathbf {u} \over c},\gamma {\mathbf {f} }\right).}$$

ここ

$${\displaystyle {\mathbf {f} }={\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}\left(\gamma m{\mathbf {u} }\right)={\mathrm {d} \mathbf {p} \over \mathrm {d} t}}$$

そして

$${\displaystyle {\mathbf {f} \cdot \mathbf {u} }={\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}\left(\gamma mc^{2}\right)={\mathrm {d} E \over \mathrm {d} t}.}$$

ここで、、はそれぞれ粒子の速度、運動量、粒子に作用する力を記述する3次元ベクトルであり、は粒子の全エネルギーです。 ${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \mathbf {p} }$${\displaystyle \mathbf {f} }$${\displaystyle E}$

前のセクションの公式から、4 元力の時間成分は、相対論的補正を除けば、消費される電力であることがわかります。これは、熱交換がなくなるか無視できる、純粋に機械的な状況でのみ当てはまります。 ${\displaystyle \mathbf {f} \cdot \mathbf {u} }$${\displaystyle \gamma /c}$

完全な熱力学的ケースでは、仕事だけでなく熱もエネルギーの変化に寄与し、これがエネルギー運動量共ベクトルの時間成分となる。この場合、4元力の時間成分には、電力のほかに加熱率が含まれる。^[1]ただし、仕事と熱はどちらも慣性を持つため、意味のある形で分離することはできないことに注意。^{[2]この事実は接触力、つまり}応力エネルギー運動量テンソルにも当てはまる。^{[3] [2]}${\displaystyle h}$${\displaystyle \mathbf {f} \cdot \mathbf {u} }$

したがって、熱力学的状況では、4元力の時間成分は出力に比例せず、より一般的な表現（ケースバイケース）を持ち、これは仕事と熱の組み合わせからの内部エネルギーの供給を表し、^{[2] [1] [4] [3]}ニュートン極限では となる。 ${\displaystyle \mathbf {f} \cdot \mathbf {u} }$${\displaystyle h+\mathbf {f} \cdot \mathbf {u} }$

一般相対性理論では、4 元力と4 元加速度の関係は同じままですが、4 元力の要素は、固有時間に関する 共変微分を通じて4 元運動量の要素に関連付けられます。

$${\displaystyle F^{\lambda }:={\frac {DP^{\lambda }}{d\tau }}={\frac {dP^{\lambda }}{d\tau }}+\Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \nu }U^{\mu }P^{\nu }}$$

さらに、異なる座標系間の座標変換の概念を使用して力を定式化することができます。粒子が瞬間的に静止している座標系での力の正しい表現を知っていると仮定します。次に、別のシステムへの変換を実行して、対応する力の表現を得ることができます。^[5]特殊相対性理論では、変換は相対的に一定の速度で移動する座標系間のローレンツ変換になりますが、一般相対性理論では一般座標変換になります。

ある座標系で瞬間的に静止している質量の粒子に作用する4 元力について考えます。他の座標系に対して一定の速度で移動する別の座標系における相対論的力は、ローレンツ変換を使用して得られます。 ${\displaystyle F^{\mu }=(F^{0},\mathbf {F} )}$${\displaystyle m}$${\displaystyle f^{\mu }}$${\displaystyle v}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {f} &=\mathbf {F} +(\gamma -1)\mathbf {v} {\mathbf {v} \cdot \mathbf {F} \over v^{2}},\\f^{0}&=\gamma {\boldsymbol {\beta }}\cdot \mathbf {F} ={\boldsymbol {\beta }}\cdot \mathbf {f} .\end{aligned}}}$$

どこ。 ${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}=\mathbf {v} /c}$

一般相対論では、力の表現は次のようになる。

$${\displaystyle f^{\mu }=m{DU^{\mu } \over d\tau }}$$

共変微分 を持つ。運動方程式は ${\displaystyle D/d\tau }$

$${\displaystyle m{d^{2}x^{\mu } \over d\tau ^{2}}=f^{\mu }-m\Gamma _{\nu \lambda }^{\mu }{dx^{\nu } \over d\tau }{dx^{\lambda } \over d\tau },}$$

ここで、はクリストッフェル記号です。外部からの力がない場合、これは曲がった時空の測地線の方程式になります。上記の方程式の 2 番目の項は、重力の役割を果たします。 が自由落下フレーム における力の正しい表現である場合、等価原理を使用して任意の座標 における 4 元力を表すことができます。 ${\displaystyle \Gamma _{\nu \lambda }^{\mu }}$${\displaystyle f_{f}^{\alpha }}$${\displaystyle \xi ^{\alpha }}$${\displaystyle x^{\mu }}$

$${\displaystyle f^{\mu }={\partial x^{\mu } \over \partial \xi ^{\alpha }}f_{f}^{\alpha }.}$$

特殊相対性理論では、ローレンツの 4 元力(電磁場内に位置する荷電粒子に作用する 4 元力) は次のように表されます。 $${\displaystyle f_{\mu }=qF_{\mu \nu }U^{\nu },}$$

どこ

• ${\displaystyle F_{\mu \nu }}$は電磁テンソルであり、
• ${\displaystyle U^{\nu }}$は4元速度であり、
• ${\displaystyle q}$電荷です。

• 4ベクトル
• 4速
• 4加速
• 4つの運動量
• 4 段階

• リンドラー、ヴォルフガング (1991)。特殊相対論入門(第 2 版)。オックスフォード: オックスフォード大学出版局。ISBN 0-19-853953-3。