曲率半径

曲線がデカルト座標でy ( x )、つまり関数のグラフとして与えられている場合、曲率半径は (曲線が 2 次まで微分可能であると仮定して) となります。

$${\displaystyle R=\left|{\frac {\left(1+y'^{\,2}\right)^{\frac {3}{2}}}{y''}}\right|\,,}$$

どこ${\textstyle y'={\frac {dy}{dx}}\,,}$${\textstyle y''={\frac {d^{2}y}{dx^{2}}},}$また、| z |はzの絶対値を表します。

曲線が関数x ( t )とy ( t )によって媒介変数表示されている場合、曲率半径は

$${\displaystyle R=\left|{\frac {ds}{d\varphi }}\right|=\left|{\frac {\left({{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}}\right)^{\frac {3}{2}}}{{\dot {x}}{\ddot {y}}-{\dot {y}}{\ddot {x}}}}\right|}$$

どこ${\textstyle {\dot {x}}={\frac {dx}{dt}},}$${\textstyle {\ddot {x}}={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}},}$${\textstyle {\dot {y}}={\frac {dy}{dt}},}$そして${\textstyle {\ddot {y}}={\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}.}$

経験的に、この結果は次のように解釈できます^{[ 2 ]}

$${\displaystyle R={\frac {\left|\mathbf {v} \right|^{3}}{\left|\mathbf {v} \times \mathbf {\dot {v}} \right|}}\,,}$$

どこ

$${\displaystyle \left|\mathbf {v} \right|={\big |}({\dot {x}},{\dot {y}}){\big |}=R{\frac {d\varphi }{dt}}\,.}$$

γ : ℝ → ℝ ^{n が}ℝ ⁿ内のパラメーター化された曲線である場合、曲線の各点における曲率半径ρ : ℝ → ℝは^{[ 3 ]}で与えられます。  

$${\displaystyle \rho ={\frac {\left|{\boldsymbol {\gamma }}'\right|^{3}}{\sqrt {\left|{\boldsymbol {\gamma }}'\right|^{2}\,\left|{\boldsymbol {\gamma }}''\right|^{2}-\left({\boldsymbol {\gamma }}'\cdot {\boldsymbol {\gamma }}''\right)^{2}}}}\,.}$$

特殊なケースとして、f ( t )がℝからℝへの関数である場合、そのグラフの曲率半径γ ( t ) = ( t , f ( t ))は、

$${\displaystyle \rho (t)={\frac {\left|1+f'^{\,2}(t)\right|^{\frac {3}{2}}}{\left|f''(t)\right|}}.}$$

γを上記のようにし、tを固定します。tにおけるγのゼロ次、一次、二次導関数に一致するパラメータ化された円の半径ρを求めたいのです。明らかに、半径は位置γ ( t )には依存せず、速度γ ′( t )と加速度γ ″( t )にのみ依存します。2 つのベクトルvとwから得られる独立したスカラーは、v · v、v · w、およびw · wの3 つだけです。したがって、曲率半径は、3 つのスカラー| γ ′( t ) | ²、| γ ″( t ) | ^{2 、}およびγ ′( t ) · γ ″( t )の関数でなければなりません。^{[ 3 ]}

ℝ ⁿにおけるパラメーター化された円の一般式は

$${\displaystyle \mathbf {g} (u)=\mathbf {a} \cos(h(u))+\mathbf {b} \sin(h(u))+\mathbf {c} }$$

ここで、c ∈ ℝ ⁿは円の中心（導関数では消えるので関係ない）、a、b ∈ ℝ ⁿは長さρの垂直ベクトル（つまり、a · a = b · b = ρ ²およびa · b = 0）、h  : ℝ → ℝはtで 2 回微分可能な任意の関数です。

gの関連する導関数は次のようになります。

$${\displaystyle {\begin{aligned}|\mathbf {g} '|^{2}&=\rho ^{2}(h')^{2}\\\mathbf {g} '\cdot \mathbf {g} ''&=\rho ^{2}h'h''\\|\mathbf {g} ''|^{2}&=\rho ^{2}\left((h')^{4}+(h'')^{2}\right)\end{aligned}}}$$

ここで、gのこれらの導関数をtにおけるγの対応する導関数と等しいとおくと、次の式が得られます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)|^{2}&=\rho ^{2}h'^{\,2}(t)\\{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\cdot {\boldsymbol {\gamma }}''(t)&=\rho ^{2}h'(t)h''(t)\\|{\boldsymbol {\gamma }}''(t)|^{2}&=\rho ^{2}\left(h'^{\,4}(t)+h''^{\,2}(t)\right)\end{aligned}}}$$

3つの未知数（ ρ、h ′( t )、h ″( t ) ）を含むこれら3つの方程式をρについて解くと、曲率半径の式が得られます。

$${\displaystyle \rho (t)={\frac {\left|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\right|^{3}}{\sqrt {\left|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\right|^{2}\,\left|{\boldsymbol {\gamma }}''(t)\right|^{2}-{\big (}{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\cdot {\boldsymbol {\gamma }}''(t){\big )}^{2}}}}\,,}$$

または、読みやすさのためにパラメータtを省略すると、

$${\displaystyle \rho ={\frac {\left|{\boldsymbol {\gamma }}'\right|^{3}}{\sqrt {\left|{\boldsymbol {\gamma }}'\right|^{2}\;\left|{\boldsymbol {\gamma }}''\right|^{2}-\left({\boldsymbol {\gamma }}'\cdot {\boldsymbol {\gamma }}''\right)^{2}}}}\,.}$$

上半平面内の半径aの半円の場合、${\textstyle R=|-a|=a\,,}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}y&={\sqrt {a^{2}-x^{2}}}\\y'&={\frac {-x}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}\\y''&={\frac {-a^{2}}{\left(a^{2}-x^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\,.\end{aligned}}}$$

下半平面内の 半径aの半円の場合$${\displaystyle y=-{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}\,.}$$

半径aの円の曲率半径はaに等しい。

長軸が2 a、短軸が2 bの楕円では、長軸上の頂点はどの点よりも曲率半径が小さい。${\textstyle R={b^{2} \over a}}$;また、短軸上の頂点は、どの点よりも曲率半径が最大であり、R = ⁠ a ² / b ⁠ です。

楕円の曲率半径を地心座標の関数として表す${\displaystyle t}$と${\displaystyle \tan t={\frac {y}{x}}}$は$${\displaystyle R(t)={\frac {(b^{2}\cos ^{2}t+a^{2}\sin ^{2}t)^{3/2}}{ab}}.}$$最小値は${\displaystyle t=0}$そして${\displaystyle t=180^{\circ }}$そしてその最大値は${\displaystyle t=\pm 90^{\circ }}$。

蒸着薄膜を含む半導体構造における応力は、通常、製造プロセス中の熱膨張（熱応力）によって生じる。熱応力は、通常、成膜が室温以上で行われるために発生する。成膜温度から室温まで冷却される際に、基板と膜の熱膨張係数の差によって熱応力が発生する。 ^{[ 4 ]}

内部応力は、基板上に原子が堆積される際に薄膜内に形成される微細構造によって生じる。引張応力は、薄膜中の微小空隙（欠陥とみなされる小さな穴）によって生じる。これは、空隙を挟んだ原子間の引力相互作用によるものである。

薄膜半導体構造における応力は、ウェーハの座屈を引き起こします。応力を受けた構造の曲率半径は、構造内の応力テンソルに関連しており、修正ストーニー式で表すことができます。^{[ 5 ]}曲率半径を含む応力を受けた構造のトポグラフィーは、光学スキャナ法を使用して測定できます。最新のスキャナツールは、基板の完全なトポグラフィーを測定し、2つの主曲率半径を測定する機能を備えており、90メートル以上の曲率半径に対して0.1%程度の精度を提供します。^{[ 6 ]}