運動エネルギー

運動エネルギー
ジェットコースターの車両は、軌道の一番下に達したときに最大の運動エネルギーに達します。車両が上昇し始めると、運動エネルギーは重力による位置エネルギーに変換され始めます。摩擦による損失を無視すると、システム内の運動エネルギーと位置エネルギーの合計は一定のままです。
一般的な記号	KE、E k、K、またはT
SI単位	ジュール(J)
他の量からの導出	E k = ⁠1/2⁠ m v 2 E k = E t + E r

物理学では、物体の運動エネルギーとは、物体の運動によって生じるエネルギーの形態である。^[1]

古典力学では、速度vで運動する質量 mの非回転物体の運動エネルギーはである。^[2] ${\textstyle {\frac {1}{2}}mv^{2}}$

物体の運動エネルギーは、その速度を達成するために必要な仕事、つまり力 ( F ) と変位 ( s ) の積に等しい。物体は加速中にこのエネルギーを獲得し、速度が変化しない限りこの運動エネルギーを維持する。物体が現在の速度から静止状態に減速するときにも、同じ量の仕事が行われる。^[2]

運動エネルギーのSI 単位はジュールですが、英国の単位はフィートポンドです。

相対論的力学では、v が光速よりはるかに小さい場合にのみ、 は運動エネルギーの良い近似値となります。 ${\textstyle {\frac {1}{2}}mv^{2}}$

形容詞「運動」はギリシャ語の「運動」を意味する「κίνησις kinesis 」に由来する。運動エネルギーと位置エネルギーの二分法は、アリストテレスの現実性と潜在性の概念にまで遡ることができる。^[3]

古典力学におけるE ∝ mv ²の原理は、ゴットフリート・ライプニッツとヨハン・ベルヌーイによって初めて開発され、彼らは運動エネルギーを生きている力( vis viva)と表現しました。^{[4] : 227} オランダのウィレムのグラーヴェザンデは、1722 年にこの関係の実験的証拠を示しました。ウィレムのグラーヴェザンデは、粘土のブロックに異なる高さから重りを落とすことで、その貫入の深さが衝突速度の 2 乗に比例することを測定しました。エミリー・デュ・シャトレはこの実験の意味を理解し、説明を発表しました。^[5]

運動エネルギーと仕事という用語が現在の科学的な意味を持つようになったのは、19世紀半ばに遡る。これらの概念の初期の理解は、 1829年に運動エネルギーの数学を概説した「機械効果の計算」と題する論文を発表したガスパール＝ギュスターヴ・コリオリによるものである。ウィリアム・トムソン（後のケルビン卿）は、1849年から1851年頃に「運動エネルギー」という用語を作ったとされている。^{[6] [7]} 1853年に「位置エネルギー」という用語と、それを補完する「実エネルギー」という語句を導入したランキンは、 ^[8]後にウィリアム・トムソンとピーター・テイトが「実」を「運動」に置き換えたと述べている。^[9]

エネルギーは化学エネルギー、熱エネルギー、電磁放射、重力エネルギー、電気エネルギー、弾性エネルギー、核エネルギー、静止エネルギーなど、さまざまな形で発生します。これらは、位置エネルギーと運動エネルギーという2つの主要なクラスに分類できます。運動エネルギーは物体の移動エネルギーです。運動エネルギーは物体間で伝達され、他の種類のエネルギーに変換されます。^[10]

運動エネルギーは、それが他の形態のエネルギーに、または他の形態のエネルギーからどのように変換されるかを示す例によって最もよく理解されるかもしれません。たとえば、自転車に乗る人は、食べ物から得られる化学エネルギーを使用して、自転車を選択した速度まで加速します。水平面では、空気抵抗と摩擦を克服する以外に、この速度を維持するための作業は不要です。化学エネルギーは運動エネルギー、つまり運動のエネルギーに変換されていますが、このプロセスは完全に効率的ではなく、自転車に乗る人の体内で熱が発生します。

動いているサイクリストと自転車の運動エネルギーは、他の形に変換することができます。たとえば、サイクリストが惰性で登れるほどの高さの坂に遭遇すると、自転車は頂上で完全に停止します。運動エネルギーは、現在、大部分が重力による位置エネルギーに変換されており、坂の反対側を惰性で下ることで解放できます。自転車は摩擦によってエネルギーの一部を失ったため、さらにペダルをこがなければ、元の速度に戻ることはありません。エネルギーは破壊されるのではなく、摩擦によって別の形に変換されただけです。あるいは、サイクリストは車輪の 1 つにダイナモを接続し、下り坂で電気エネルギーを生成することもできます。エネルギーの一部が電気エネルギーに変換されているため、坂の下では、発電機がない場合よりも自転車の速度が遅くなります。別の可能性としては、サイクリストがブレーキをかけることが挙げられます。この場合、運動エネルギーは摩擦によって熱として消散します。

速度の関数であるあらゆる物理量と同様に、物体の運動エネルギーは、物体と観察者の参照フレームとの関係に依存します。したがって、物体の運動エネルギーは不変ではありません。

宇宙船は打ち上げ時に化学エネルギーを使用し、軌道速度に達するためにかなりの運動エネルギーを獲得します。完全な円軌道では、地球近傍空間ではほとんど摩擦がないため、この運動エネルギーは一定のままです。ただし、再突入時に運動エネルギーの一部が熱に変換されるため、それが明らかになります。軌道が楕円または双曲線の場合、軌道全体にわたって運動エネルギーと位置エネルギーが交換されます。地球または他の巨大な物体に最も近づくときに運動エネルギーが最大になり、位置エネルギーが最低になります。一方、最大距離では位置エネルギーが最大になり、運動エネルギーが最低になります。ただし、損失やゲインを無視すると、運動エネルギーと位置エネルギーの合計は一定のままです。

運動エネルギーは、ある物体から別の物体に伝達されます。ビリヤードのゲームでは、プレーヤーはキューボールをキュースティックで打つことによってキューボールに運動エネルギーを与えます。キューボールが別のボールに衝突すると、キューボールは劇的に減速し、そのキューボールに当たったボールは、運動エネルギーが伝達されて加速します。ビリヤードの衝突は実質的に弾性衝突であり、運動エネルギーは保存されます。非弾性衝突では、運動エネルギーは熱、音、結合エネルギー（結合構造の破壊）など、さまざまな形のエネルギーに消散します。

フライホイールはエネルギー貯蔵の方法として開発されました。これは、運動エネルギーが回転運動にも貯蔵されることを示しています。

運動エネルギーについては、適切な物理的状況でそれを記述する数学的記述がいくつか存在する。一般的な人間の経験における物体やプロセスについては、次の式が用いられる。1/2⁠古典力学で与えられたmv ^{2 は}適しています。ただし、物体の速度が光速に匹敵する場合は、相対論的効果が重要になり、相対論的な公式が使用されます。物体が原子または原子未満のスケールにある場合は、量子力学的効果が重要になり、量子力学的モデルを使用する必要があります。

運動エネルギーの扱いは、一定の光速と比較した物体の相対速度に依存します。人間が直接経験する速度は非相対的であり、それよりも高い速度には相対性理論が必要です。

古典力学では、点物体（質量が一点に存在すると想定できるほど小さい物体）または回転しない剛体の運動エネルギーは、物体の質量と速度に依存します。運動エネルギーは、質量と速度の二乗の積の 1/2 に等しくなります。式で表すと次のようになります。

${\displaystyle E_{\text{k}}={\frac {1}{2}}mv^{2}}$

ここで、 は質量、は物体の速度（速度の大きさ）です。SI 単位では、質量はキログラム、速度はメートル毎秒、結果として生じる運動エネルギーはジュールで測定されます。 ${\displaystyle m}$${\displaystyle v}$

例えば、80kg（約180ポンド）の質量が毎秒18メートル（時速約40マイル、または時速65キロメートル）で移動するときの運動エネルギーは次のように計算されます。

${\displaystyle E_{\text{k}}={\frac {1}{2}}\cdot 80\,{\text{kg}}\cdot \left(18\,{\text{m/s}}\right)^{2}=12,960\,{\text{J}}=12.96\,{\text{kJ}}}$

人がボールを投げるとき、ボールが手から離れるときにボールに速度を与えるために人がボールに仕事をします。動いているボールは何かに当たってそれを押すことができ、当たったものに対して仕事をします。動いている物体の運動エネルギーは、静止状態からその速度まで動かすために必要な仕事、または静止状態にある間に物体が行うことができる仕事に等しくなります。つまり、正味の力 × 変位 = 運動エネルギー、つまり、

${\displaystyle Fs={\frac {1}{2}}mv^{2}}$

運動エネルギーは速度の二乗に比例して増加するため、速度が 2 倍になる物体は、運動エネルギーが 4 倍になります。たとえば、ブレーキ力が一定であると仮定すると、他の車の 2 倍の速度で走行する車は、停止するのに 4 倍の距離を必要とします。この 4 倍になることで、速度を 2 倍にするには 4 倍の作業が必要になります。

物体の運動エネルギーは、次の式によってその運動量と関連しています。

${\displaystyle E_{\text{k}}={\frac {p^{2}}{2m}}}$

どこ：

• ${\displaystyle p}$勢いがある
• ${\displaystyle m}$体の質量です

並進運動エネルギー、すなわち直線運動に関連する運動エネルギーは、質量が一定で質量の中心が速度で直線運動している剛体のもので、上図のように次の式に等しい。 ${\displaystyle m}$${\displaystyle v}$

${\displaystyle E_{\text{t}}={\frac {1}{2}}mv^{2}}$

どこ：

• ${\displaystyle m}$体の質量です
• ${\displaystyle v}$物体の重心の速度です。

いかなる物体の運動エネルギーも、それが測定される基準フレームに依存します。しかし、孤立したシステム、つまりエネルギーが出入りできないシステムの全エネルギーは、それが測定される基準フレーム内では時間の経過とともに変化しません。したがって、ロケット エンジンによって運動エネルギーに変換される化学エネルギーは、選択された基準フレームに応じて、ロケット シップとその排気流の間で異なって分割されます。これは、オーバート効果と呼ばれます。しかし、運動エネルギー、燃料の化学エネルギー、熱などを含むシステムの全エネルギーは、基準フレームの選択に関係なく、時間の経過とともに保存されます。ただし、異なる基準フレームで移動する異なる観測者は、この保存されたエネルギーの値について意見が一致しません。

このようなシステムの運動エネルギーは、参照フレームの選択に依存します。そのエネルギーの最小値を与える参照フレームは、運動量中心フレーム、つまりシステムの合計運動量がゼロになる参照フレームです。この最小の運動エネルギーは、システム全体の 不変質量に寄与します。

力Fが物体に対してFに平行な距離 sで行う仕事Wは、

${\displaystyle W=F\cdot s}$。

ニュートンの第二法則を使う

${\displaystyle F=ma}$

ここで、 mは質量、aは物体の 加速度であり、

${\displaystyle s={\frac {at^{2}}{2}}}$

加速された物体が時間tで移動した距離は、物体の 速度vで表すと${\displaystyle v=at}$

${\displaystyle W=ma{\frac {at^{2}}{2}}={\frac {m(at)^{2}}{2}}={\frac {mv^{2}}{2}}.}$

質量mの粒子を微小時間間隔dtの間に加速するために行われた仕事は、力 Fと微小変位 d xのドット積で与えられる。

${\displaystyle \mathbf {F} \cdot d\mathbf {x} =\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} dt={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}\cdot \mathbf {v} dt=\mathbf {v} \cdot d\mathbf {p} =\mathbf {v} \cdot d(m\mathbf {v} )\,,}$

ここで、 p  =  m  v の関係とニュートンの第二法則の妥当性を仮定しています。（ただし、以下の特殊相対論的導出も参照してください。）

積の法則を適用すると次のようになります。

${\displaystyle d(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )=(d\mathbf {v} )\cdot \mathbf {v} +\mathbf {v} \cdot (d\mathbf {v} )=2(\mathbf {v} \cdot d\mathbf {v} ).}$

したがって、（質量が一定でdm = 0であると仮定すると）

${\displaystyle \mathbf {v} \cdot d(m\mathbf {v} )={\frac {m}{2}}d(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )={\frac {m}{2}}dv^{2}=d\left({\frac {mv^{2}}{2}}\right).}$

これは全微分なので（つまり、粒子がそこに到達した方法ではなく、最終状態にのみ依存します）、これを積分して結果を運動エネルギーと呼ぶことができます。

${\displaystyle E_{\text{k}}=\int _{v_{1}}^{v_{2}}\mathbf {p} d\mathbf {v} =\int _{v_{1}}^{v_{2}}m\mathbf {v} d\mathbf {v} ={mv^{2} \over 2}{\bigg \vert }_{v_{1}}^{v_{2}}={1 \over 2}m(v_{2}^{2}-v_{1}^{2}).}$

この式は、運動エネルギー ( E _k )が、物体の運動量( p ) と物体の速度( v ) の微小変化とのドット積の積分に等しいことを示しています。物体は静止しているとき (動かないとき) は運動エネルギーがない状態にあると想定されます。

剛体 Q が質量中心を通る任意の線を中心に回転している場合、回転運動エネルギー( ) を持ちます。これは単純に可動部分の運動エネルギーの合計であり、次のように表されます。 ${\displaystyle E_{\text{r}}\,}$

${\displaystyle E_{\text{r}}=\int _{Q}{\frac {v^{2}dm}{2}}=\int _{Q}{\frac {(r\omega )^{2}dm}{2}}={\frac {\omega ^{2}}{2}}\int _{Q}{r^{2}}dm={\frac {\omega ^{2}}{2}}I={\frac {1}{2}}I\omega ^{2}}$

どこ：

• ωは物体の角速度である
• rはその線からの任意の質量dmの距離である。
• ${\displaystyle I}$は物体の慣性モーメントであり、 に等しい。${\textstyle \int _{Q}{r^{2}}dm}$

(この方程式では、慣性モーメントは質量中心を通る軸を中心に取られなければならず、ω によって測定される回転はその軸の周りでなければなりません。物体が偏心形状のために揺れるシステムでは、より一般的な方程式が存在します)。

物体のシステムには、システム内の物体の相対的な動きによる内部運動エネルギーが存在する場合があります。たとえば、太陽系では、惑星と小惑星が太陽の周りを回っています。ガスタンク内では、分子があらゆる方向に動いています。システムの運動エネルギーは、システムに含まれる物体の運動エネルギーの合計です。

静止している巨視的物体（すなわち、物体の運動量の中心に対応するように基準フレームが選択されている）は、分子または原子レベルでさまざまな種類の内部エネルギーを持っている可能性があり、分子の移動、回転、振動、電子の移動とスピン、および原子スピンによる運動エネルギーと見なすことができます。特殊相対性理論によって提供されるように、これらはすべて物体の質量に寄与します。巨視的物体の動きについて議論する場合、言及される運動エネルギーは通常、巨視的動きの運動エネルギーのみです。ただし、あらゆる種類のすべての内部エネルギーは、物体の質量、慣性、および総エネルギーに寄与します。

流体力学では、非圧縮性流体の流れ場における各点の単位体積あたりの運動エネルギーを、その点の動圧と呼びます。^[11]

${\displaystyle E_{\text{k}}={\frac {1}{2}}mv^{2}}$

体積の単位であるVで割ると次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {E_{\text{k}}}{V}}&={\frac {1}{2}}{\frac {m}{V}}v^{2}\\q&={\frac {1}{2}}\rho v^{2}\end{aligned}}}$

ここで、は動圧、ρは非圧縮性流体の密度です。 ${\displaystyle q}$

速度、したがって単一物体の運動エネルギーはフレーム依存（相対的）であり、適切な慣性基準系を選択することにより、任意の非負の値を取ることができる。たとえば、観測者を通過する弾丸は、この観測者の基準系において運動エネルギーを持つ。同じ弾丸は、弾丸と同じ速度で動いている観測者にとっては静止しており、したがって運動エネルギーはゼロである。^[12]対照的に、物体システムの全運動エネルギーは、すべての物体が同じ速度でない限り、慣性基準系を適切に選択することによってゼロに減らすことはできない。それ以外の場合、すべての物体が静止している慣性基準系は選択できないため、全運動エネルギーはゼロ以外の最小値を持つ。この最小運動エネルギーは、基準系に依存しない システムの不変質量に寄与する。

システムの全運動エネルギーは慣性基準系に依存します。つまり、運動量中心のフレームの全運動エネルギーと、全質量が質量中心に集中した場合に得られる運動エネルギーの合計です。

これは簡単に示すことができます。フレームkにおけるフレームiの質量中心の相対速度をとします。 ${\displaystyle \textstyle \mathbf {V} }$

${\displaystyle v^{2}=\left(v_{i}+V\right)^{2}=\left(\mathbf {v} _{i}+\mathbf {V} \right)\cdot \left(\mathbf {v} _{i}+\mathbf {V} \right)=\mathbf {v} _{i}\cdot \mathbf {v} _{i}+2\mathbf {v} _{i}\cdot \mathbf {V} +\mathbf {V} \cdot \mathbf {V} =v_{i}^{2}+2\mathbf {v} _{i}\cdot \mathbf {V} +V^{2},}$

それから、

${\displaystyle E_{\text{k}}=\int {\frac {v^{2}}{2}}dm=\int {\frac {v_{i}^{2}}{2}}dm+\mathbf {V} \cdot \int \mathbf {v} _{i}dm+{\frac {V^{2}}{2}}\int dm.}$

しかし、質量中心フレームにおける運動エネルギーは、質量中心フレームで定義によりゼロとなる総運動量となり、総質量は となる。これを代入すると、次の式が得られる。^[13]${\textstyle \int {\frac {v_{i}^{2}}{2}}dm=E_{i}}$${\textstyle \int \mathbf {v} _{i}dm}$${\textstyle \int dm=M}$

${\displaystyle E_{\text{k}}=E_{i}+{\frac {MV^{2}}{2}}.}$

したがって、システムの運動エネルギーは、運動量中心の参照フレーム、つまり質量の中心が静止している参照フレーム（質量中心フレームまたは他の運動量中心フレーム）に対して最も低くなります。異なる参照フレームでは、質量中心の速度で移動する全質量に対応する追加の運動エネルギーがあります。運動量中心フレームのシステムの運動エネルギーは不変の量です（すべての観測者が同じものとして認識します）。

物体の全運動エネルギーを、物体の質量中心の並進運動エネルギーと質量中心の周りの回転エネルギー (回転エネルギー) の合計に分割すると便利な場合があります。

${\displaystyle E_{\text{k}}=E_{\text{t}}+E_{\text{r}}}$

どこ：

• E _kは総運動エネルギーである
• E _{t は}並進運動エネルギーである
• E _{r は}静止系における回転エネルギーまたは角運動エネルギーである。

したがって、飛行中のテニスボールの運動エネルギーは、回転による運動エネルギーと並進による運動エネルギーの合計になります。

物体の速度が光速のかなりの部分である場合、相対論的力学を使用してその運動エネルギーを計算する必要があります。相対論では、総エネルギーはエネルギーと運動量の関係によって与えられます。

$${\displaystyle E^{2}=(p{\textrm {c}})^{2}+\left(m_{0}{\textrm {c}}^{2}\right)^{2}\,}$$

ここでは、線形運動量の相対論的表現を使用します。ここで、は物体の（静止）質量、速度、cは真空中の光速です。すると、運動エネルギーは、相対論的エネルギー全体から静止エネルギーを引いたものになります。 ${\displaystyle p=m\gamma v}$${\textstyle \gamma =1/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle v}$$${\displaystyle E_{K}=E-m_{0}c^{2}={\sqrt {(p{\textrm {c}})^{2}+\left(m_{0}{\textrm {c}}^{2}\right)^{2}}}-m_{0}c^{2}}$$

低速では、平方根を展開することができ、静止エネルギーは減少し、ニュートンの運動エネルギーが得られます。

まず、線形運動量の式から始めます。ここで、 です。 部分積分すると、 ${\displaystyle \mathbf {p} =m\gamma \mathbf {v} }$${\textstyle \gamma =1/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$

${\displaystyle E_{\text{k}}=\int \mathbf {v} \cdot d\mathbf {p} =\int \mathbf {v} \cdot d(m\gamma \mathbf {v} )=m\gamma \mathbf {v} \cdot \mathbf {v} -\int m\gamma \mathbf {v} \cdot d\mathbf {v} =m\gamma v^{2}-{\frac {m}{2}}\int \gamma d\left(v^{2}\right)}$

以来、 ${\displaystyle \gamma =\left(1-v^{2}/c^{2}\right)^{-{\frac {1}{2}}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{\text{k}}&=m\gamma v^{2}-{\frac {-mc^{2}}{2}}\int \gamma d\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)\\&=m\gamma v^{2}+mc^{2}\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}-E_{0}\end{aligned}}}$

${\displaystyle E_{0}}$は不定積分に対する積分定数です。

得られた式を簡略化すると

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{\text{k}}&=m\gamma \left(v^{2}+c^{2}\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)\right)-E_{0}\\&=m\gamma \left(v^{2}+c^{2}-v^{2}\right)-E_{0}\\&=m\gamma c^{2}-E_{0}\end{aligned}}}$

${\displaystyle E_{0}}$は、およびのとき、 を観察することによって見つけられ、${\displaystyle \mathbf {v} =0,\ \gamma =1}$${\displaystyle E_{\text{k}}=0}$

${\displaystyle E_{0}=mc^{2}}$

結果として次の式が得られる

${\displaystyle E_{\text{k}}=m\gamma c^{2}-mc^{2}={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}-mc^{2}=(\gamma -1)mc^{2}}$

この式は、物体を静止状態から加速するために費やされる仕事は、速度が光速に近づくにつれて無限大に近づくことを示しています。したがって、この境界を越えて物体を加速することは不可能です。

この計算の数学的副産物は質量エネルギー等価式である。静止状態の物体はエネルギー含有量を持っている必要がある。

${\displaystyle E_{\text{rest}}=E_{0}=mc^{2}}$

低速（v ≪ c ）では、相対論的運動エネルギーは古典的運動エネルギーでよく近似されます。これは二項近似、または逆平方根の テイラー展開の最初の2項を取ることで行われます。

${\displaystyle E_{\text{k}}\approx mc^{2}\left(1+{\frac {1}{2}}{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)-mc^{2}={\frac {1}{2}}mv^{2}}$

したがって、総エネルギーは静止質量エネルギーと低速時の非相対論的運動エネルギーに分割できます。 ${\displaystyle E_{k}}$

物体が光よりはるかに遅い速度で動く場合（例えば地球上の日常的な現象）、級数の最初の2つの項が支配的になります。テイラー級数近似の次の項は

${\displaystyle E_{\text{k}}\approx mc^{2}\left(1+{\frac {1}{2}}{\frac {v^{2}}{c^{2}}}+{\frac {3}{8}}{\frac {v^{4}}{c^{4}}}\right)-mc^{2}={\frac {1}{2}}mv^{2}+{\frac {3}{8}}m{\frac {v^{4}}{c^{2}}}}$

低速の場合は小さくなります。たとえば、速度が 10 km/s (22,000 mph) の場合、非相対論的運動エネルギーの補正は 0.0417 J/kg (非相対論的運動エネルギーが 50 MJ/kg の場合) であり、速度が 100 km/s の場合は 417 J/kg (非相対論的運動エネルギーが 5 GJ/kg の場合) です。

運動エネルギーと運動量の相対論的関係は次のように表される。

${\displaystyle E_{\text{k}}={\sqrt {p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}-mc^{2}}$

これはテイラー級数として展開することもでき、その最初の項はニュートン力学からの単純な表現である: ^[14]

${\displaystyle E_{\text{k}}\approx {\frac {p^{2}}{2m}}-{\frac {p^{4}}{8m^{3}c^{2}}}.}$

これは、エネルギーと運動量の公式が特別なものでも公理的なものではなく、質量とエネルギーの等価性と相対性原理から生まれた概念であることを示唆しています。

慣例に従って

${\displaystyle g_{\alpha \beta }\,u^{\alpha }\,u^{\beta }\,=\,-c^{2}}$

ここで粒子の 4元速度は

${\displaystyle u^{\alpha }\,=\,{\frac {dx^{\alpha }}{d\tau }}}$

は粒子の固有時間ですが、一般相対性理論では粒子の運動エネルギーを表す式もあります。 ${\displaystyle \tau }$

粒子が運動量を持っている場合

${\displaystyle p_{\beta }\,=\,m\,g_{\beta \alpha }\,u^{\alpha }}$

4元速度u _obsを持つ観測者のそばを通過するとき、観測される粒子の全エネルギー（局所慣性系で測定）の式は次のようになる。

${\displaystyle E\,=\,-\,p_{\beta }\,u_{\text{obs}}^{\beta }}$

運動エネルギーは総エネルギーから静止エネルギーを引いたものとして表すことができます。

${\displaystyle E_{k}\,=\,-\,p_{\beta }\,u_{\text{obs}}^{\beta }\,-\,m\,c^{2}\,.}$

対角で空間的に等方的な計量（g _tt、g _ss、g _ss、g _ss）の場合を考えてみましょう。

${\displaystyle u^{\alpha }={\frac {dx^{\alpha }}{dt}}{\frac {dt}{d\tau }}=v^{\alpha }u^{t}}$

ここでv ^αは座標系に対して測定された通常の速度であり、

${\displaystyle -c^{2}=g_{\alpha \beta }u^{\alpha }u^{\beta }=g_{tt}\left(u^{t}\right)^{2}+g_{ss}v^{2}\left(u^{t}\right)^{2}\,.}$

u ^tを解く と

${\displaystyle u^{t}=c{\sqrt {\frac {-1}{g_{tt}+g_{ss}v^{2}}}}\,.}$

したがって、静止した観測者（v = 0） の場合

${\displaystyle u_{\text{obs}}^{t}=c{\sqrt {\frac {-1}{g_{tt}}}}}$

そして運動エネルギーは次のような形をとる。

${\displaystyle E_{\text{k}}=-mg_{tt}u^{t}u_{\text{obs}}^{t}-mc^{2}=mc^{2}{\sqrt {\frac {g_{tt}}{g_{tt}+g_{ss}v^{2}}}}-mc^{2}\,.}$

残りのエネルギーを因数分解すると次のようになります。

${\displaystyle E_{\text{k}}=mc^{2}\left({\sqrt {\frac {g_{tt}}{g_{tt}+g_{ss}v^{2}}}}-1\right)\,.}$

この表現は、平坦空間計量の特殊相対論的なケースに帰着し、

${\displaystyle {\begin{aligned}g_{tt}&=-c^{2}\\g_{ss}&=1\,.\end{aligned}}}$

一般相対性理論に対するニュートンの近似では

${\displaystyle {\begin{aligned}g_{tt}&=-\left(c^{2}+2\Phi \right)\\g_{ss}&=1-{\frac {2\Phi }{c^{2}}}\end{aligned}}}$

ここで、Φ はニュートンの重力ポテンシャルです。つまり、質量の大きい物体の近くでは時計の進みが遅くなり、測定棒が短くなります。

量子力学では、運動エネルギーのような観測可能なものは演算子として表現される。質量mの粒子1つに対して、運動エネルギー演算子はハミルトニアンの項として現れ、より基本的な運動量演算子によって定義される。非相対論的ケースの運動エネルギー演算子は次のように記述できる。 ${\displaystyle {\hat {p}}}$

${\displaystyle {\hat {T}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}.}$

これは、運動エネルギーを運動量で表す古典的な表現でを に置き換えることによって得られることに注意されたい。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle {\hat {p}}}$

${\displaystyle E_{\text{k}}={\frac {p^{2}}{2m}}.}$

シュレーディンガー描像では、位置座標に関して微分をとる 形をとり、したがって${\displaystyle {\hat {p}}}$${\displaystyle -i\hbar \nabla }$

${\displaystyle {\hat {T}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}.}$

波動関数によって記述されるN個の電子系の電子運動エネルギーの期待値は、1電子演算子の期待値の合計である。 ${\displaystyle \left\langle {\hat {T}}\right\rangle }$ ${\displaystyle \vert \psi \rangle }$

${\displaystyle \left\langle {\hat {T}}\right\rangle =\left\langle \psi \left\vert \sum _{i=1}^{N}{\frac {-\hbar ^{2}}{2m_{\text{e}}}}\nabla _{i}^{2}\right\vert \psi \right\rangle =-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{\text{e}}}}\sum _{i=1}^{N}\left\langle \psi \left\vert \nabla _{i}^{2}\right\vert \psi \right\rangle }$

ここで、は電子の質量であり、はi^番目の電子の座標に作用するラプラシアン演算子であり、その合計はすべての電子に適用されます。 ${\displaystyle m_{\text{e}}}$${\displaystyle \nabla _{i}^{2}}$

量子力学の密度汎関数形式は、電子密度の知識のみを必要とし、つまり、形式的には波動関数の知識を必要としない。電子密度が与えられた場合、正確なN電子運動エネルギー汎関数は不明である。しかし、1電子系の特定のケースでは、運動エネルギーは次のように表される。 ${\displaystyle \rho (\mathbf {r} )}$

${\displaystyle T[\rho ]={\frac {1}{8}}\int {\frac {\nabla \rho (\mathbf {r} )\cdot \nabla \rho (\mathbf {r} )}{\rho (\mathbf {r} )}}d^{3}r}$

ここで、はフォン・ヴァイツゼッカーの運動エネルギー汎関数 として知られています。${\displaystyle T[\rho ]}$

• 脱出速度
• フットポンド
• ジュール
• 運動エネルギー貫通体
• 発射体の単位質量あたりの運動エネルギー
• 運動学的発射体
• 平行軸定理
• 位置エネルギー
• 反動

• 物理学教室 (2000)。「運動エネルギー」。2015年7月19日閲覧。
• セントアンドリュース大学数学統計学部 (2000)。「ガスパール＝ギュスターヴ・ド・コリオリ (1792–1843) の伝記」。2006 年 3 月 3 日閲覧。
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• ティプラー、ポール、ルウェリン、ラルフ (2002)。現代物理学(第 4 版)。WH フリーマン。ISBN 0-7167-4345-0。

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