正味の力

力学において、正味の力とは、物体に作用するすべての力の合計です。例えば、2つの力が物体に反対方向に作用し、一方の力が他方よりも大きい場合、それらの力は、大きい方の力と小さい方の力の差である単一の力に置き換えることができます。その力が正味の力です。^{[ 1 ]}

物体に力が作用すると、その加速度は変化します。正味の力とは、ニュートンの運動第二法則で説明されているように、物体の加速度に及ぼすすべての力の総合的な効果のことです。

物体上の特定の点に正味の力が加わると、それに伴うトルクを計算できます。正味の力とトルクの合計は合力と呼ばれ、物体に作用するすべての力が個別に作用した場合と同じように物体を回転させます。^{[ 2 ]}

物体に作用する全ての力が、全くトルクを生み出さないという状況も起こり得る。これは、正味の力が作用線に沿って作用する場合に起こる。

文献によっては、 「合力」と「正味力」という用語が同じ意味であるかのように使われていることがあります。しかし、これは必ずしも正しいとは限りません。特に、回転する物体の運動や、すべてが完全にバランスのとれた状態（静的平衡）といった複雑なトピックにおいては、両者の意味は異なります。このような場合、「正味力」と「合力」は異なる意味を持つことを理解することが重要です。

物理学において、力はベクトル量とみなされます。これは、力が大きさ（またはマグニチュード）だけでなく、作用する方向も持つことを意味します。力は通常、太字の記号Fで表されますが、ベクトル性を示すために記号の上に矢印を付ける場合もあります。例えば、次のようになります。${\displaystyle \mathbf {F} }$。

力を視覚的に表現する必要がある場合、線分を描きます。この線分は、力が作用する点Aから始まり、別の点Bで終わります。この線は、力の方向（ AからBへ）だけでなく、力の大きさも示します。線が長いほど、力は強くなります。

物理学における重要な概念の一つは、力を足し合わせることができるということであり、これはベクトル加算の基礎となる。この概念はガリレオやニュートンの時代から物理学の中心であり、1800年代後半から1900年代初頭にかけて確立されたベクトル解析の基礎を形成してきた。 ^{[ 3 ]}

右の図は、「先端から尾部へ」の方法を用いて2つの力を加算する方法を示しています。この方法では、力を図示します。${\displaystyle {\mathbf {\mathbf {a} }}}$、 そして${\displaystyle {\mathbf {\mathbf {b} }}}$最初の力の先端から。結果として生じる力、つまり「合計」の力は、${\displaystyle \mathbf {F} _{t}={\mathbf {\mathbf {a} }}+{\mathbf {\mathbf {b} }}}$は、最初の力の始点（尾部）から2番目の力の終点（先端部）まで引かれます。この概念を理解することは、力がどのように相互作用し、組み合わさって物体の運動と平衡に影響を与えるかを理解するための基礎となります。

力が拡張された物体（一点ではない物体）に作用する場合、力は複数の異なる点に作用させることができます。このような力は「束縛ベクトル」と呼ばれます。これらの力を合計するには、同じ点における力として考慮する必要があることを覚えておくことが重要です。

「正味の力」という概念は、これらの力すべてが物体に及ぼす総体的な影響を考える際に重要になります。しかし、正味の力だけでは必ずしも物体の運動を維持できるとは限りません。なぜなら、正味の力に加えて、これらの力に伴う「トルク」、つまり回転効果も重要だからです。元の力の効果を再現するには、正味の力を適切な位置に、適切なトルクを伴って加える必要があります。

正味の力と適切なトルクが一点に作用すると、それらは合力と呼ばれる力を構成します。この合力とトルクの組み合わせは、元のすべての力とその関連するトルクと同じ効果を物体に及ぼします。

力は束縛ベクトルとして知られています。つまり、方向と大きさ、そして作用点を持つということです。力を定義する便利な方法は、点Aから点Bへの線分を用いることです。これらの点の座標をA = (A _x , A _y , A _z ) および B = (B _x , B _y , B _z ) とすると、点 Aに作用する力ベクトルは次のようになります。

${\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {B} -\mathbf {A} =(B_{x}-A_{x},B_{y}-A_{y},B_{z}-A_{z})。$

ベクトルの長さ${\displaystyle \mathbf {\mathbf {B}} -\mathbf {\mathbf {A}} }$ の大きさを定義する${\displaystyle \mathbf {\mathbf {F}} }$そして、それは次のように与えられる。

${\displaystyle |\mathbf {F} |={\sqrt {(B_{x}-A_{x})^{2}+(B_{y}-A_{y})^{2}+(B_{z}-A_{z})^{2}}}.}$

点A_に作用する2つの力F1と F2の合計は、_それらを定義する線分の合計から計算できます。F1 = B − A、F2 = D − Aとすると、これら2つのベクトルの合計は次のようになります_。    

${\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {F} _{1}+\mathbf {F} _{2}=\mathbf {B} -\mathbf {A} +\mathbf {D} -\mathbf {A} ,}$

これは次のように書くことができる

${\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {F} _{1}+\mathbf {F} _{2}=2\left({\frac {\mathbf {B} +\mathbf {D} }{2}}-\mathbf {A} \right)=2(\mathbf {E} -\mathbf {A} ),}$

ここで、Eは点Bと点Dを結ぶ線分BDの中点である。

したがって、力F ₁とF ₂の合計は、2 つの力の端点BとDを結ぶ線分の中点EとAを結ぶ線分の長さの 2 倍になります。この長さを 2 倍にすることは、 ADとABにそれぞれ平行な線分BCとDCを定義して平行四辺形ABCD を完成させることで容易に実現できます。この平行四辺形の対角線AC は、2 つの力ベクトルの合計です。これは、力の加算に関する平行四辺形の法則として知られています。

合力と合トルクは、剛体の運動に作用する力系の効果を置き換えるものです。興味深い特殊なケースとして、トルクのない合力があり、これは次のように求められます。

1. ベクトル加算は、正味の力を求めるために使用されます。
2. トルクがゼロとなる作用点を決定するには、以下の式を使用してください。

${\displaystyle \mathbf {r} \times \mathbf {F} _{\mathrm {R} }=\sum _{i=1}^{N}(\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {F} _{i})}$

どこ${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {R} }}$は正味の力です。${\displaystyle \mathbf {r} }$適用点を特定し、個々の力は$\displaystyle \mathbf {F} _{i}}$適用ポイント付き$\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$トルクのない合力を生み出すような作用点は存在しないのかもしれない。

右図は、単純な平面系における合力の作用線を求めるための簡単な図解法を示している。

1. 実際の力の作用線$\displaystyle \mathbf {F} _{1}}$そして$\displaystyle \mathbf {F} _{2}}$左端の図で交差します。ベクトル加算が実行された後、「$\displaystyle \mathbf {F} _{1}}$得られた正味の力は、作用線が共通の交点を通るように移動されます。その点に関してすべてのトルクはゼロなので、合力のトルクは${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {R} }}$これは、実際の力のトルクの合計に等しい。
2. 図の中央の図は、2 つの平行な実際の力を示しています。ベクトルの加算後、「$\displaystyle \mathbf {F} _{2}}$正味の力は適切な作用線に伝達され、そこで合力となる。${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {R} }}$この手順は、すべての力を、作用線（薄い点線）が一点（図の右側に任意に設定された、いわゆる極）で交わる成分に分解することに基づいています。次に、前のケースで述べた議論を力とその成分に適用して、トルクの関係を示します。
3. 右端の図は偶力、つまり正味の力の大きさがゼロであるが正味のトルクを生み出す、大きさが等しく反対向きの2つの力を示しています。${\displaystyle \tau =Fd}$   どこ${\displaystyle \ d}$ は、それらの作用線間の距離です。合力がないため、このトルクは「純粋な」トルクと表現できます。

一般に、剛体に作用する力の系は、常に1つの力と1つの純粋なトルク（前節参照）に置き換えることができます。力は正味の力ですが、追加のトルクを計算するには、正味の力に作用線を割り当てる必要があります。作用線は任意に選択できますが、追加の純粋なトルクはこの選択に依存します。特殊なケースでは、この追加のトルクがゼロになるような作用線を見つけることが可能です。

力の配置に関わらず、合力とトルクを求めることができます。しかし、興味深い特殊なケースとして、トルクのない合力があります。これは、物体がまるで質点のように回転せずに動くため、概念的にも実用的にも有用です。

一部の著者は、合力と正味の力を区別せず、これらの用語を同義語として使用しています。^{[ 4 ]}

• スクリュー理論
• 質量中心
• 不均一場における重心