持ち上げる（力）

翼型は、空気が通過する際に下向きの力を及ぼすことで揚力を発生させます。ニュートンの第三法則によれば、空気は翼型に等しく反対方向の（上向きの）力を及ぼさなければならず、それが揚力となります。^{[ 15 ] [ 16 ] [ 17 ] [ 18 ]}

気流が翼型に近づくと上向きに湾曲しますが、翼型を通過すると方向が変わり、下向きに湾曲した経路をたどります。ニュートンの第2法則によれば、この流れの方向の変化には、翼型が空気に下向きの力を加える必要があります。次に、ニュートンの第3法則によれば、空気は翼型に上向きの力を及ぼす必要があり、その結果、方向の変化とは反対の反作用力である揚力が発生します。飛行機の翼の場合、翼は空気に下向きの力を及ぼし、空気は翼に上向きの力を及ぼします。^{[ 19 ] [ 20 ]} 流れの下向きの方向転換は、翼型の下面のみによって生じるのではなく、翼型上の気流が下向きの方向転換の大部分を占めています。^{[ 21 ] [ 22 ] [ 23 ] [ 24 ]}

この説明は正しいが、不完全である。翼型が実際に接触しているよりもはるかに深い流れの帯に下向きの旋回を与える仕組みを説明していない。さらに、揚力が圧力差によって発生すること、そしてその圧力差がどのように維持されるかについても言及していない。^{[ 4 ]}

この説明には2つの一般的な説があり、1つは「通過時間が等しい」という説に基づくもので、もう1つは気流の「阻害」という説に基づくものである。

空気の流れの阻害

等しい通過時間の説明と同様に、「障害物」または「流線管の狭窄」の説明では、上面上の流れは下面上の流れよりも速いと主張しますが、速度の差の理由が異なります。この説明では、湾曲した上面が流れに対する障害物としてより強く作用し、流線がより狭くなり、流線管が狭くなると主張します。流線管が狭くなると、質量保存の法則により、流速が増加する必要があります。^{[ 48 ]}等しい通過時間の説明と同様に、ベルヌーイの原理 により、速度が速くなると上面圧力が低下し、揚力が増加します。時には、ベンチュリノズルに例えられ、翼の上面がベンチュリノズルのように作用して流れを狭めていると主張することもあります。^{[ 49 ]}

障害物の説明における重大な欠陥の 1 つは、流線管の狭窄がどのように発生するか、またそれが下面よりも上面の方が大きい理由を説明していないことです。下面が平らで上面が湾曲している従来の翼の場合、これはある程度直感的に理解できますが、平板、対称翼型、ヨットの帆、または逆さまに飛ぶ従来の翼型がどのように揚力を発生させるかを説明しておらず、狭窄または障害物の量に基づいて揚力を計算しようとする試みは実験結果を予測しません。^{[ 50 ] [ 51 ] [ 52 ] [ 53 ]}もう 1 つの欠陥は、質量保存則が流れが加速する満足のいく物理的理由ではないことです。物体の加速を効果的に説明するには、それを加速する力を特定する必要があります。^{[ 54 ]}

圧力とは、空気が自身および接触する表面に及ぼす単位面積あたりの垂直力のことである。揚力は圧力を介して伝達され、圧力は翼型の表面に垂直に作用する。したがって、正味の力は圧力差として現れる。正味の力の方向は、翼型の上面の平均圧力が下面の平均圧力よりも低いことを意味する。^{[ 56 ]}

これらの圧力差は、湾曲した気流に伴って生じます。流体が湾曲した経路をたどるとき、流れの方向に垂直な圧力勾配が生じ、曲線の外側では圧力が高く、内側では圧力が低くなります。^{[ 57 ]}この湾曲した流線と圧力差の間の直接的な関係は、流線曲率定理と呼ばれることもあり、1754年にレオンハルト・オイラーによってニュートンの第2法則から導き出されました。

$\displaystyle {\frac {\operatorname {d} p}{\operatorname {d} R}}=\rho {\frac {v^{2}}{R}}}$

この式の左辺は、流体の流れに垂直な圧力差を表しています。式の右辺では、ρは密度、vは速度、Rは曲率半径です。この式は、速度が速く曲率が小さいほど圧力差が大きくなり、直線流（R → ∞）では圧力差がゼロになることを示しています。^{[ 58 ]}

迎角とは、翼型の翼弦線と流入する気流との間の角度のことです。対称翼型は、迎角がゼロのとき揚力をゼロにします。しかし、迎角が増加すると、空気はより大きな角度で偏向され、気流速度の垂直成分が増加するため、揚力が増加します。小さな角度では、対称翼型は迎角にほぼ比例する揚力を発生させます。^{[ 59 ] [ 60 ]}

迎角が増加すると、揚力はある角度で最大になります。この臨界迎角を超えて迎角を増やすと、上面の流れが翼から剥離します。下方への偏向が少なくなるため、翼型は揚力を少なくします。翼型は失速したと言われます。^{[ 61 ]}

特定の対気速度で翼型が発生できる最大揚力は、翼型の形状、特にキャンバー（右図に示すように、上面が下面よりも凸状になる曲率）の量に依存します。キャンバーを大きくすると、一般的に特定の対気速度での最大揚力は増加します。^{[ 62 ] [ 63 ]}

キャンバー翼型は、迎角がゼロのときに揚力を発生させます。翼弦線が水平の場合、後縁は下向きになり、空気は後縁に沿って流れるため、下向きに偏向されます。^{[ 64 ]}キャンバー翼型が逆さまになっている場合、揚力が上向きになるように迎角を調整できます。これが、飛行機が逆さまに飛ぶことができる理由です。^{[ 65 ] [ 66 ]}

揚力に影響を与える周囲の流体条件には、流体の密度、粘度、流速が含まれます。密度は温度と媒体の音速、つまり圧縮性の影響によって変化します。

揚力は空気密度に比例し、流れの速度の二乗にほぼ比例します。また、揚力は翼の大きさにも依存し、一般的には揚力方向に投影された翼面積に比例します。計算においては、これらの要素に基づいた揚力係数を用いて揚力を定量化するのが便利です。

翼型の表面がどんなに滑らかに見えても、空気分子のスケールではどんな表面も粗い。表面に飛んできた空気分子は、粗い表面で元の速度に対してランダムな方向に跳ね返る。その結果、空気を連続体として見た場合、表面に沿って滑ることができず、翼型に対する空気の速度は表面でほぼゼロに減少する（つまり、空気分子は表面に沿って滑るのではなく、表面に「くっつく」）。これは滑りなし条件として知られている。^{[ 67 ]}表面の空気は速度がほぼゼロだが、表面から離れた空気は動いているため、表面に近い空気がせん断運動を受ける薄い境界層が存在する。^{[ 68 ] [ 69 ]}空気の粘性はせん断に抵抗し、翼型表面に表面摩擦抗力と呼ばれるせん断応力を生じさせる。ほとんどの翼型の表面の大部分では、境界層は自然に乱流となり、表面摩擦抗力を増加させる。^{[ 69 ] [ 70 ]}

通常の飛行条件下では、境界層は後縁まで上面と下面の両方に付着したままであり、流れの残りの部分への影響はわずかです。境界層が存在しない非粘性流理論の予測と比較すると、付着した境界層は揚力をわずかに減少させ、圧力分布をいくらか変化させ、その結果、表面摩擦抗力に加えて粘性に関連する圧力抗力が発生します。表面摩擦抗力と粘性に関連する圧力抗力の合計は、通常、プロファイル抗力と呼ばれます。^{[ 70 ] [ 71 ]}

翼型の最大揚力は、一定の対気速度では境界層剥離によって制限されます。迎角が増加すると、境界層が上面に付着したままではいられなくなる点に達します。境界層が剥離すると、右の流れ可視化写真に示すように、上面の上に再循環流の領域が残ります。これは失速、または失速として知られています。失速を超える迎角では、揚力は大幅に減少しますが、ゼロにはなりません。揚力係数の観点から、失速前に達成できる最大揚力は、一般的に単一要素翼型では 1.5 未満ですが、高揚力スロット付きフラップと前縁装置を展開した翼型では 3.0 を超えることがあります。^{[ 72 ]}

流線型の形状や失速翼を持たない鈍体周りの流れは、強い抗力に加えて揚力も発生させる可能性がある。この揚力は一定である場合もあれば、渦放出によって振動する場合もある。物体の柔軟性と渦放出の相互作用により、変動する揚力の影響が増大し、渦誘起振動が発生する可能性がある。^{[ 73 ]}例えば、円柱周りの流れはカルマン渦列を生成する。これは、円柱の側面から渦が交互に放出される現象である。流れの振動性により、正味（平均）揚力は無視できるほど小さいにもかかわらず、円柱に変動する揚力が発生する。揚力周波数は、流れのレイノルズ数に依存する無次元ストローハル数によって特徴付けられる。 ^{[ 74 ] [ 75 ]}

柔軟な構造物の場合、この振動する揚力は渦誘起振動を引き起こす可能性があります。共振や揚力の強いスパン方向の相関など、特定の条件下では、揚力変動による構造物の動きが著しく増大する可能性があります。このような振動は、工業用煙突のような高い人工構造物において問題を引き起こし、崩壊の危険性があります。^{[ 73 ]}

マグナス効果では、自由流中の回転する円筒によって揚力が発生します。ここでは、機械的な回転が境界層に作用し、円筒の両側の異なる場所で境界層が剥離します。非対称な剥離により、流れに関して円筒の実効形状が変化し、円筒は外側の流れの中で循環を伴う揚力翼のように機能します。^{[ 76 ]}

翼型の形状と迎角が連携して、翼型が通過する空気に対して下向きの力を及ぼします。ニュートンの第三法則によれば、空気は翼型に対して等しく反対方向の（上向きの）力を及ぼす必要があり、これが揚力となります。^{[ 17 ]}

空気によって加えられる正味の力は、翼面上の圧力差として生じます。^{[ 78 ]}流体中の圧力は絶対値で常に正であるため、^{[ 79 ]}圧力は常に押す力として考えなければならず、引く力として考えてはいけません。したがって、圧力は翼の上面と下面の両方で翼のあらゆる場所で内側に押します。流れる空気は翼の存在に反応して、翼の上面の圧力を下げ、下面の圧力を上げます。下面の圧力は上面の圧力の低下による下向きの圧力よりも強く上向きに押し上げ、その結果として揚力が生じます。^{[ 78 ]}

揚力を生み出す圧力差は翼の表面に直接作用するが、圧力差がどのように生じるかを理解するには、より広い領域における流れの挙動を理解する必要がある。

翼型は広い範囲にわたって流れの速度と方向に影響を与え、速度場と呼ばれるパターンを生成します。翼型が揚力を発生させると、翼型の前方の流れは上方に偏向され、翼型の上下の流れは下方に偏向され、翼型のはるか後方の空気ははるか前方の流れと同じ状態になります。上面上の流れは加速され、翼型の下の流れは減速されます。前方の空気の上方への偏向とすぐ後ろの空気の下方への偏向と合わせて、流れの正味の循環成分が確立されます。下方への偏向と流速の変化は顕著で、右側の流れのアニメーションで見られるように広い範囲に及びます。流れの方向と速度のこれらの違いは、翼型の近くで最大となり、はるか上方と下方で徐々に減少します。速度場のこれらの特徴はすべて、揚力流れの理論モデルにも現れます。^{[ 80 ] [ 81 ]}

圧力は広範囲にわたって影響を受け、圧力場と呼ばれる不均一な圧力パターンが生じます。翼型が揚力を発生させるとき、図中の等圧線（一定圧力の曲線）で示されているように、翼型の上部には拡散した低圧領域があり、通常は下部には拡散した高圧領域があります。表面に作用する圧力差は、この圧力場の一部にすぎません。^{[ 82 ]}

不均一な圧力は、高圧から低圧の方向に空気に力を及ぼします。翼型の周囲の圧力場図に示されたブロック矢印が示すように、力の方向は翼型の周囲の場所によって異なります。翼型の上部の空気は低圧領域の中心に向かって押し出され、翼型の下部の空気は高圧領域の中心から外側に向かって押し出されます。

ニュートンの第二法則によれば、力が加わると空気はその力の方向に加速します。したがって、添付の圧力場図の垂直方向の矢印は、翼の上と下の空気が加速、つまり下向きに曲がっていることを示しており、この不均一な圧力が流れのアニメーションで見られる流れの下向きの偏向の原因となっています。この下向きの曲がりを生み出すには、翼は正の迎角を持つか、十分な正のキャンバーを持つ必要があります。上面上の流れが下向きに曲がるのは、上面の圧力が下面の圧力よりも高いため、空気が下向きに押し下げられる結果であることに注意してください。「コアンダ効果」に言及するいくつかの説明では、粘性が下向きの曲がりに重要な役割を果たしていると示唆されていますが、これは誤りです（上記の「コアンダ効果に関する論争」を参照）。

翼の前方の矢印は、翼の前方の流れが上向きに偏向されることを示し、翼の後方の矢印は、翼の上を下向きに偏向された後、後方の流れが再び上向きに偏向されることを示しています。これらの偏向は、流れのアニメーションでも確認できます。

翼の前方と後方の矢印は、翼の上方の低圧領域を通過する空気が、流入時に加速され、流出時に減速されることを示しています。翼の下方の高圧領域を通過する空気は、流入時に減速され、流出時に加速されます。このように、不均一な圧力は、流れのアニメーションで確認できる流速の変化の原因でもあります。流速の変化は、粘性のない定常流において、圧力が低いほど流速が速く、圧力が高いほど流速が遅くなるというベルヌーイの原理と一致しています。

このように、流れの方向と速度の変化は、不均一な圧力によって直接引き起こされます。しかし、この因果関係は一方通行ではなく、両方向に同時に作用します。空気の動きは圧力差によって影響を受けますが、圧力差の存在は空気の動きに依存します。したがって、この関係は相互的、または相反する相互作用です。空気の流れは圧力差に応じて速度または方向を変え、圧力差は速度または方向の変化に対する空気の抵抗によって維持されます。^{[ 83 ]}圧力差は、それが押し付ける対象がある場合にのみ存在できます。空気力学的流れでは、圧力差は空気の慣性に押し付けられ、空気は圧力差によって加速されます。^{[ 84 ]}これが、空気の質量が計算に含まれる理由であり、揚力が空気密度に依存する理由です。

翼面に揚力を発生させる圧力差を維持するには、翼面周囲の広い領域で不均一な圧力パターンを維持する必要があります。そのためには、垂直方向と水平方向の両方で圧力差を維持する必要があり、ベルヌーイの原理に従って流れを下向きに方向転換させ、流速を変化させる必要があります。圧力差と流れの方向および速度の変化は、相互作用によって互いに維持し合います。圧力差は、ニュートンの第2法則と、表面に沿った流れが翼面の主に下向きに傾斜した輪郭に沿って流れるという事実から自然に生じます。そして、空気が質量を持つという事実は、この相互作用にとって重要です。^{[ 85 ]}

揚力を発生させるには、流れが下向きに曲がることと、ベルヌーイの原理に合致する流速の変化の両方が必要です。上記の「翼型における揚力の簡略化された物理的説明」で示された簡略化された説明は、いずれも揚力をどちらか一方だけで説明しようとしているため不十分であり、現象の一部しか説明できず、他の部分は説明されないままになっています。^{[ 86 ]}

翼型表面の圧力分布が分かっている場合、総揚力を決定するには、表面の局所的な要素からの圧力力への寄与を合計する必要があります。各要素はそれぞれ独自の局所的な圧力値を持っています。したがって、総揚力は、翼型表面全体にわたって、遠方場の流れに垂直な方向の圧力の積分です。 ^{[ 87 ]}

${\displaystyle L=\oint p\mathbf {n} \cdot \mathbf {k} \;\mathrm {d} S,}$

どこ：

• Sは、平均気流に垂直な方向に測定された、翼型の投影面積（平面面積）である。
• nは翼の方向を指す法線単位ベクトルである。
• kは、自由流方向に対して垂直な垂直単位ベクトルである。

上記の揚力方程式は、圧力に比べて小さい表面摩擦力を無視している。

積分式でkの代わりに自由流に平行な流れ方向ベクトルiを使用すると、圧力抗力D _pの式が得られます(これはプロファイル抗力の圧力部分と、翼が三次元の場合は誘導抗力を含みます)。スパン方向ベクトルjを使用すると、横方向力Yが得られます。

${\displaystyle {\begin{aligned}D_{p}&=\oint p\mathbf {n} \cdot \mathbf {i} \;\mathrm {d} S,\\Y&=\oint p\mathbf {n} \cdot \mathbf {j} \;\mathrm {d} S.\end{aligned}}}$

この積分の妥当性は、一般的に翼型形状が区分的に滑らかな閉曲線であることを必要とする。

揚力は翼の大きさに依存し、翼面積にほぼ比例する。特定の翼型の揚力を揚力係数で定量化することは、しばしば便利である。${\displaystyle C_{L}}$これは、翼の単位面積あたりの揚力を定義するものです。

値が${\displaystyle C_{L}}$特定の迎角の翼の場合、特定の流れ条件で発生する揚力を決定することができます。^{[ 88 ]}

${\displaystyle L={\tfrac {1}{2}}\rho v^{2}SC_{L}}$

どこ

• ${\displaystyle L}$揚力は
• ${\displaystyle \rho }$空気密度は
• ${\displaystyle v}$速度または真対気速度
• ${\displaystyle S}$平面形状（投影）翼面積
• ${\displaystyle C_{L}}$は、所望の迎角、マッハ数、およびレイノルズ数における揚力係数である^{[ 89 ]。}

これらの式は、質量保存則、ニュートンの第2法則（運動量保存則）、エネルギー保存則、粘性作用に関するニュートンの法則、フーリエの熱伝導法則、密度、温度、圧力の関係を示す状態方程式、および流体の粘性と熱伝導率の式を表しています。^{[ 95 ] [ 96 ]}

原理的には、NS方程式は、翼面での貫通流や滑りがないという境界条件と組み合わせることで、通常の大気飛行におけるあらゆる状況で揚力を高精度で予測するために使用できる。しかし、実際の状況における気流は、少なくとも翼の後部では、翼面近傍の境界層に常に乱流を伴う。NS方程式をそのままの形で解いて揚力を予測するには、乱流の詳細を最小の渦まで解く計算が必要となる。これは、最も強力なコンピュータでもまだ不可能である。^{[ 97 ]}したがって、原理的にはNS方程式は揚力の完全かつ非常に正確な理論を提供するが、揚力の実際的な予測には、乱流の影響を直接計算するのではなく、RANS方程式でモデル化する必要がある。

これらは、乱流運動を時間平均したNS方程式と、乱流モデリングによって表される時間平均流に対する乱流の影響（次元解析と、乱流が時間平均の意味で境界層にどのように影響するかに関する経験的情報の組み合わせに基づく追加の方程式セット）です。 ^{[ 98 ] [ 99 ]} RANS解は、翼型を囲む密なグリッドの点で定義された時間平均速度ベクトル、圧力、密度、および温度で構成されます。

必要な計算量は、生のNS計算で乱流運動をすべて解くのに必要な量のごくわずかな割合（10億分の1）^{[ 97 ]}であり、大型コンピュータが利用可能になったことで、3次元で完全な航空機のRANS計算を実行することが現実的になりました。乱流モデルは完璧ではないため、RANS計算の精度は完全ではありませんが、実用的な航空機設計には十分です。RANSによって予測される揚力は、通常、実際の揚力の数パーセント以内です。

オイラー方程式は、粘性、熱伝導、乱流の影響を除いたNS方程式です。^{[ 100 ]} RANS解と同様に、オイラー解は、翼型を囲む密なグリッド点における速度ベクトル、圧力、密度、温度で構成されます。オイラー方程式はNS方程式よりも単純ですが、厳密な解析解を得るのには適していません。

ポテンシャル流理論を用いることで、さらに簡略化が可能となり、決定すべき未知数の数を減らし、場合によっては解析解を求めることができるようになる。これについては後述する。

オイラー法またはポテンシャル流計算のいずれも、失速角以下の迎角では翼表面の圧力分布をほぼ正確に予測しますが、揚力全体については10～20%程度の誤差が生じる可能性があります。一方、失速角以上の迎角では、非粘性流計算では失速が発生していないと予測されるため、揚力を大幅に過大評価してしまいます。

ポテンシャル流理論では、流れは非回転であると仮定されます。つまり、小さな流体の塊は正味の回転速度を持たないと仮定されます。数学的には、これは速度ベクトル場の回転がどこでもゼロに等しいという記述で表されます。非回転流には、速度をポテンシャルと呼ばれるスカラー関数の勾配として表すことができるという便利な性質があります。このように表現された流れはポテンシャル流と呼ばれます。^{[ 101 ] [ 102 ] [ 103 ] [ 104 ]}

ポテンシャル流理論では、流れは非圧縮性であると仮定されます。非圧縮性ポテンシャル流理論の利点は、ポテンシャルについて解くべき方程式（ラプラス方程式）が線形であるため、他の既知の解を重ね合わせることで解を構築できることです。非圧縮性ポテンシャル流方程式は、複素変数の関数理論に基づく方法である等角写像によっても解くことができます。20世紀初頭、コンピュータが普及する以前は、等角写像を用いて、ある種の理想化された翼型形状に対する非圧縮性ポテンシャル流方程式の解を生成し、揚力翼型上の圧力分布に関する最初の実用的な理論的予測を提供しました。

ポテンシャル方程式の解は、速度場のみを直接決定する。圧力場は、ベルヌーイの式を用いて速度場から導出される。

揚力流れにポテンシャル流れ理論を適用するには、特別な処理と追加の仮定が必要です。問題は、非粘性流れにおける翼型への揚力は翼型周囲の流れの循環を必要とするため（下記の「循環とクッタ・ジュコフスキーの定理」を参照）、翼型周囲の領域全体で連続な単一のポテンシャル関数では、非ゼロの循環を持つ流れを表現できないことです。この問題の解決策は、翼型表面のある点から無限遠まで伸びる曲線または直線である分岐カットを導入し、そのカットを横切るポテンシャルの値にジャンプを許容することです。ポテンシャルのジャンプは、流れの循環をポテンシャルのジャンプに等しくし、非ゼロの循環を表現できるようにします。ただし、ポテンシャルのジャンプは、ポテンシャル方程式やその他の境界条件によって決定されない自由パラメータであるため、解は不確定です。ポテンシャル流れの解は、任意の循環値と任意の揚力値に対して存在します。この不確定性を解決する一つの方法は、^クッタ条件[ ^{105 ] [ 106 ]}を課すことである。これは、考えられるすべての解の中で、流れが後縁から滑らかに離れる解が物理的に妥当な解であるというものである。流線図は、流れが後縁を回り、後縁より前方の上面から離れる揚力ゼロの流れパターンと、クッタ条件に従って流れが後縁から滑らかに離れる正の揚力を持つ別の流れパターンを示している。

これは、翼型が非常に薄く、迎角が小さいという仮定を加えたポテンシャル流れ理論です。^{[ 107 ]}線形化された理論は、翼型の圧力分布の一般的な特性と、それが翼型の形状と迎角によってどのように影響を受けるかを予測しますが、設計作業には十分な精度ではありません。2D翼型の場合、このような計算はPCのスプレッドシートでほんの一瞬で実行できます。

翼型が揚力を発生させるとき、全体の速度場のいくつかの要素が、翼型の周囲の空気の正味の循環に寄与する。すなわち、翼型の前方の上昇流、上方の加速流、下方の減速流、そして後方の下降流である。

循環とは、非粘性流体が翼型の周囲で「回転」（または渦度）する総量として理解することができる。

クッタ・ジュコフスキーの定理は、 2次元翼型の単位幅あたりの揚力と流れの循環成分との関係を示しています。^{[ 80 ] [ 108 ] [ 109 ]}これは、翼型が静止状態から動き出し、開始渦が形成されて残されることで翼型の周囲に循環が形成されるという、翼型周囲の流れの発達を追跡する揚力の説明における重要な要素です。^{[ 110 ] [ 111 ] [ 112 ]}揚力は、クッタ・ジュコフスキーの定理から推測されます。この説明は主に数学的なものであり、その一般的な流れは、物理的な因果関係ではなく、論理的な推論に基づいています。^{[ 113 ]}

クッタ・ジュコフスキーモデルは、二次元翼型がどれだけの循環や揚力を生み出すかを予測するものではありません。クッタ・ジュコフスキーモデルを用いて単位翼幅あたりの揚力を計算するには、循環の既知の値が必要です。特に、クッタ条件（後方よどみ点が翼型の後縁に移動し、飛行中ずっとそこに付着する条件）が満たされる場合、等角写像法を用いて揚力を理論的に計算することができます。

従来の翼型が生み出す揚力は、その設計と、前進速度、迎角、空気密度といった飛行条件の両方によって決まります。揚力は、境界層吹き出しや吹き出しフラップの使用などによって、人工的に循環を増やすことで増大させることができます。フレットナーローターでは、翼型全体が円形であり、翼幅軸を中心に回転することで循環を生み出します。

翼端の垂直方向の圧力勾配により、空気は翼の下から横方向に流れ、その後上方に流れて上面に戻ります。これにより翼端の圧力勾配が小さくなり、揚力も小さくなります。揚力は翼根から翼端に向かって翼幅方向に減少する傾向があり、翼型断面の周囲の圧力分布も翼幅方向にそれに応じて変化します。飛行方向に対して垂直な平面の圧力分布は、右の図のようになります。^{[ 115 ]}この翼幅方向に変化する圧力分布は、速度場との相互作用によって維持されます。翼の下側の流れは外側に加速され、翼端の外側の流れは上方に加速され、翼の上側の流れは内側に加速されるため、右の図に示すような流れパターンになります。^{[ 116 ]}

同じ翼型と断面揚力を持つ二次元の流れよりも流れの下向きの曲がりが大きく、二次元の流れと比較して同じ揚力を得るにはより大きな断面迎角が必要となる。^{[ 117 ]}翼は、自由流が下向きに傾いているかのように、自ら作り出した下降気流の中で飛行しているようなもので、その結果、全空力ベクトルは二次元の場合と比べてわずかに後方に傾く。力ベクトルの後方への追加成分は、揚力誘起抗力と呼ばれる。

翼の上側と下側における翼幅方向の速度成分の差（上側が内側方向、下側が外側方向）は、後縁から下流の航跡まで持続する。流れが後縁を離れると、この速度差は渦シートと呼ばれる比較的薄いせん断層を横切って生じる。

翼端から流れ出る気流は翼端渦を形成する。主渦シートは後縁から下流へ進むにつれて外縁部で巻き上がり、翼端渦と合流する。翼端渦と、それらに流れを供給する渦シートが合わさったものを渦流と呼ぶ。

後流渦の渦度に加えて、翼の境界層にも「束縛渦度」と呼ばれる渦度があり、翼の両側の後流シートを馬蹄形の渦系に繋げています。この馬蹄形の渦系は、1907年にイギリスの航空パイオニアであるランチェスターによって認識されました。^{[ 118 ]}

束縛渦度と後流の渦度の分布が与えられれば、ビオ・サバールの法則（ベクトル解析の関係式）を用いて、翼の揚力によって引き起こされる場内の任意の場所における速度摂動を計算することができる。3次元翼の揚力分布と揚力誘導抗力に関する近似理論は、翼の馬蹄形渦系に適用されたこのような解析に基づいている。^{[ 119 ] [ 120 ]}これらの理論では、束縛渦度は通常理想化され、翼内部のキャンバー面に存在すると仮定される。

このような理論では速度が渦度から推測されるため、一部の著者は、例えば「渦によって誘発される速度」といった用語を用いて、渦度が速度の摂動の原因であることを示唆するような状況を説明する。^{[ 121 ]}しかし、このように渦度と速度の間に機械的な因果関係を帰することは、物理学と矛盾する。^{[ 122 ] [ 123 ] [ 124 ]}翼の周りの流れにおける速度の摂動は、実際には圧力場によって生じる。^{[ 125 ]}

揚力翼の周囲の流れは、流れ場のあらゆる点において局所的にも、流れの任意の拡張領域にわたって積分的にも、運動量保存に関するニュートンの第2法則を満たさなければなりません。拡張領域の場合、ニュートンの第2法則は制御体積の運動量定理の形をとります。ここで、制御体積は解析のために選択された流れの任意の領域です。運動量定理は、制御体積の境界で作用する積分力（面積分）が、制御体積の内部を通過する流体粒子の運動量の積分時間変化率（物質微分）に等しいことを示しています。定常流の場合、これは境界を通過する運動量フラックスの正味面積分として表すことができます。^{[ 126 ]}

2次元翼型の周りの揚力流れは通常、翼型を完全に囲む制御体積内で解析され、制御体積の内側境界は翼型表面となり、単位スパンあたりの下向きの力が計算されます。${\displaystyle -L'}$は翼型によって流体に及ぼされます。外側境界は通常、大きな円または大きな長方形です。翼型から離れたこの外側境界では、速度と圧力は一様流と渦に関連する速度と圧力でよく表され、粘性応力は無視できるため、外側境界で積分する必要がある力は圧力だけです。^{[ 127 ] [ 128 ] [ 129 ]}自由流速度は通常水平であると仮定され、揚力は鉛直上向きであるため、鉛直運動量が関心のある成分です。

自由空気の場合（地面がない場合）、力${\displaystyle -L'}$翼型が流体に及ぼす力は、右図に示すように、外側境界の形状に応じて、運動量フラックスと外側境界での圧力差として部分的に現れます。高さよりもはるかに長い平らな水平長方形の場合、前面と背面を通る垂直運動量のフラックスは無視でき、揚力は上面と下面の統合された圧力差によって完全に説明されます。^{[ 127 ]}正方形または円形の場合、運動量フラックスと圧力差はそれぞれ揚力の半分を占めます。^{[ 127 ] [ 128 ] [ 129 ]}幅よりもはるかに高い垂直長方形の場合、上面と下面の不均衡な圧力力は無視でき、揚力は運動量フラックスによって完全に説明され、前面から制御体積に入る上向きの運動量のフラックスが揚力の半分を占め、背面から制御体積から出る下向きの運動量のフラックスが残りの半分を占めます。^{[ 127 ]}

上記で説明したすべての制御体積解析の結果は、上記で説明したクッタ・ジュコフスキーの定理と一致しています。縦長の長方形と円形の制御体積の両方が、この定理の導出に使用されています。^{[ 128 ] [ 129 ]}

翼型は、上記の「翼型周辺の広い流れ」で説明されているように、周囲の空気中に圧力場を生成します。この場に関連する圧力差は徐々に減衰し、遠距離では非常に小さくなりますが、完全に消滅することはありません。飛行機の下方では、圧力場は正の圧力擾乱として持続し、地面に到達して、右図に示すように、地面に周囲圧力よりわずかに高い圧力のパターンを形成します。^{[ 130 ]}飛行機のはるか下では圧力差は非常に小さいですが、広い領域に広がり、かなりの力になります。安定した水平飛行の場合、圧力差による積分力は、飛行機の全空力揚力と飛行機の重量に等しくなります。ニュートンの第三法則によれば、空気によって地面に及ぼされるこの圧力力は、地面によって空気に及ぼされる等しく反対方向の上向きの力によって相殺され、これにより、飛行機によって空気に及ぼされるすべての下向きの力が相殺されます。揚力による大気全体に作用する正味の力はゼロであり、したがって大気中に垂直運動量の累積は生じない。これは、近代空気力学の発展初期にランチェスターによって指摘された通りである。^{[ 131 ]}