自由落下

1551年、ドミンゴ・デ・ソトは、自由落下する物体は一定の加速度で加速し、この加速度は地球の質量によって引き起こされると初めて述べた^{[ 3 ]。}この物理学の重要な概念は、後にガリレオとニュートンによる重力の研究に不可欠であった。ガリレオはデ・ソトを自身の研究のインスピレーションと源泉として認めたが、アイザック・ニュートンはガリレオ・ガリレイの著作を読んだにもかかわらず、彼について言及することはなかった。20世紀には、ピエール・デュエムが彼の力学における重要な業績を認め、彼の研究を現代力学の先駆けとみなした^{[ 4 ] [ 5 ] 。}

真偽不明の逸話によると、1589年から1592年にかけて、ガリレオはピサの斜塔から質量が異なる2つの物体を落としたという。このような落下速度を考えると、ガリレオがこの実験から多くの情報を得られたとは考えにくい。彼が観察した落下物体のほとんどは、実際には斜面を転がり落ちる物体であった。これにより、ガリレオは水時計と自身の脈拍（ストップウォッチはまだ発明されていなかった）で時間間隔を測定できるほど速度を落とすことができた。彼はこれを「100回」繰り返し、「2つの観測値のずれが脈拍の10分の1を超えない精度」に達するまで続けた。1589年から1592年にかけて、ガリレオは落下物体の運動に関する未発表の原稿『De Motu Antiquiora』を執筆した。

これは、惑星表面近くをわずかな距離落下する物体の垂直運動の「教科書的な」例です。物体にかかる重力が空気抵抗よりもはるかに大きい場合、あるいは物体の速度が常に終端速度よりもはるかに小さい場合（下記参照）、空気中でのこの近似は妥当です。

${\displaystyle v(t)=v_{0}-gt\,}$そして

${\displaystyle y(t)=v_{0}t+y_{0}-{\frac {1}{2}}gt^{2},}$

どこ

${\displaystyle v_{0}\,}$は速度の初期垂直成分（m/s）です。

${\displaystyle v(t)\,}$は、${\displaystyle t\,}$（MS）。

${\displaystyle y_{0}\,}$は初期高度（メートル）です。

${\displaystyle y(t)\,}$高度は${\displaystyle t\,}$（m）

${\displaystyle t\,}$経過時間（秒）です。

${\displaystyle g\,}$は重力による加速度（地球表面付近では9.81 m/s² ^）です。

初速度がゼロの場合、初期位置からの落下距離は経過時間の二乗に比例して増加する。

${\displaystyle v(t)=-gt}$そして${\displaystyle y_{0}-y(t)={\frac {1}{2}}gt^{2}.}$

さらに、奇数の和は平方数になるため、連続する時間間隔で落下する距離は奇数に比例して増加する。この落下物体の挙動の説明はガリレオによってなされた。^{[ 8 ]}

このケースは、スカイダイバー、パラシュート降下者、または質量のあるあらゆる物体に適用されます。${\displaystyle m}$、および断面積、${\textstyle A,}$レイノルズ数${\textstyle Re}$臨界レイノルズ数をはるかに超えているため、空気抵抗は落下速度の二乗に比例し、${\textstyle v}$、

ニュートンの法則では、垂直方向の運動方程式が成り立つ。

${\displaystyle m{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}=mg-{\tfrac {1}{2}}\rho C_{\mathrm {D} }Av^{2}\,,}$

どこ${\displaystyle \rho }$空気密度と${\displaystyle C_{\mathrm {D} }}$は抗力係数であり、一定であると仮定する（${\textstyle Re>1000}$ただし、一般的にはレイノルズ数に依存します。

静止状態から落下する物体と、高度による空気密度の変化がない（理想気体）と仮定します。${\textstyle 1/\rho =RT/p}$)、解決策は次のとおりです。

${\displaystyle v(t)=v_{\infty }\tanh \left({\frac {gt}{v_{\infty }}}\right),}$

ここで終端速度は次式で与えられる。

${\displaystyle v_{\infty }={\sqrt {\frac {2mg}{\rho C_{D}A}}}\,.}$

物体の速度と時間の関係を時間積分することで、時間の関数としての垂直位置を求めることができる。

${\displaystyle y=y_{0}+{\frac {v_{\infty }^{2}}{g}}\ln \cosh \left({\frac {gt}{v_{\infty }}}\right).}$

人間の終端速度を56m/sとすると 、10秒後には348メートル落下し、終端速度の94%に達し、12秒後には455メートル落下し、終端速度の97%に達することがわかる。重力場は（垂直方向の）位置に依存するg(y)である。${\textstyle y_{0}\ll R,}$${\textstyle g/g_{o}=1-2y_{0}/R.}$高度とともに直線的に減少するが、高度は地球の半径に比べて小さい。${\textstyle R=}$6379  km。

しかし、高高度から落下する物体のように、空気密度が一定であると仮定できない場合、運動方程式を解析的に解くことは非常に困難になり、通常は運動の数値シミュレーションが必要になります。図は、地球の上層大気を通過する小さな流星体（加速度 1.0  km/s² ）に作用する力を示しています。$100g_0$ジョー・キッティンガーとフェリックス・バウムガルトナーの記録ジャンプを含むHALOジャンプもこのカテゴリーに属する。 ^{[ 9 ]}

他の力が作用しない状態で互いに周回する宇宙空間の2つの物体は、互いに自由落下していると言えます。例えば、月や人工衛星が地球の周りを「落下」したり、惑星が太陽の周りを「落下」したりします。物体が球形であると仮定すると、運動方程式はニュートンの万有引力の法則によって支配され、重力による2体問題の解は、ケプラーの惑星運動の法則に従う楕円軌道となります。地球に近い落下物体と周回物体とのこの関係は、ニュートンの砲弾という思考実験によって最もよく説明されます。

角運動量を持たない2つの物体が互いに半径方向に接近して運動する場合、離心率e = 1の楕円軌道（半径方向楕円軌道）の特殊なケースと考えることができます。これにより、半径方向の経路上の2つの点状物体の自由落下時間を計算できます。この運動方程式の解は、距離の関数としての時間を示します。

${\displaystyle t(y)={\sqrt {\tfrac {{y_{0}}^{3}}{2\mu }}}{\bigl (}{\sqrt {{\tfrac {y}{y_{0}}}\left(1-{\tfrac {y}{y_{0}}}\right)}}+\arccos {\sqrt {\tfrac {y}{y_{0}}}}{\bigr )},}$

どこ

${\displaystyle t}$秋が始まってからの時間

${\displaystyle y}$は物体の中心間の距離です

$\displaystyle y_0}}$は初期値です${\displaystyle y}$

${\displaystyle \mu =G(m_{1}+m_{2})}$は標準重力パラメータです。

代入${\textstyle y=0}$自由落下時間を得る

$t_{\text{ff}}=\pi {\sqrt {y_{0}^{3}/(8\mu )}}}$そして${\displaystyle t/t_{\text{ff}}=2/\pi \left({\sqrt {y_{r}\left(1-y_{r}\right)}}+\arccos {\sqrt {y_{r}}}\right),}$

これは時間t _r (無次元) と相対距離y _r (1↘0) を含みます。

• 分離は時間の関数として明示的に表現できます: ^{[ 10 ]}

${\displaystyle y(t)=y_{0}~Q(1-{\frac {t}{t_{\text{ff}}}};{\tfrac {3}{2}},{\tfrac {1}{2}})~,}$どこ${\textstyle Q(x;\alpha ,\beta )}$はベータ分布の分位関数です。

• 正則化不完全ベータ関数の逆関数としても知られる${\textstyle I_{x}(\alpha ,\beta ).}$
• ${\displaystyle I_{x}({\tfrac {3}{2}},{\tfrac {1}{2}})={\tfrac {\mathrm {B} (x;\,{\tfrac {3}{2}},{\tfrac {1}{2}})}{\mathrm {B} ({\tfrac {3}{2}},{\tfrac {1}{2}})}},}$と${\displaystyle B(x)=\int _{0}^{x}t^{1/2}\,(1-t)^{-1/2}\,dt=\int _{0}^{x}[t/(1-t)]^{1/2}\,dt}$そして分母：${\displaystyle {\frac {\Gamma ({\tfrac {3}{2}})\,\Gamma ({\tfrac {1}{2}})}{\Gamma (2)}}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}\cdot {\sqrt {\pi }}/[{\frac {3!}{({\tfrac {3}{2}})!2^{3}}}{\sqrt {\pi }}]={\tfrac {2}{3}}{\sqrt {\pi }}\cdot ({\tfrac {3}{2}})!}$^{[ 11 ]}

• 分子：${\displaystyle \int _{0}^{x}1/[{\frac {1}{t}}-1]^{1/2}\,dt=int(t=x)-int(t=0)}$0<t<1 の場合。

この解は、解析的冪級数によって正確に表すこともできます。

${\displaystyle y(t)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\cdot \lim _{r\to 0}{\bigl (}{\tfrac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} r^{\,n-1}}}\left[r^{n}\left({\tfrac {7}{2}}{\bigl (}\arcsin({\sqrt {r}})-{\sqrt {r-r^{2}}}{\bigr )}\right)^{-{\frac {2}{3}}n}\right]{\bigr )}=}$

${\displaystyle x/\lim _{r\to 0}[\left({\tfrac {7}{2}}{\bigl (}\arcsin({\sqrt {r}})-{\sqrt {r-r^{2}}}{\bigr )}\right)^{\frac {2}{3}}]'+{\tfrac {x^{2}}{2!}}\lim _{r\to 0}({\tfrac {\mathrm {d} ^{1}}{\mathrm {d} r^{1}}}{\bigl [}r^{2}\left({\tfrac {7}{2}}{\bigl (}\arcsin({\sqrt {r}})-{\sqrt {r-r^{2}}}{\bigr )}\right)^{-{\frac {4}{3}}}{\bigr ]})}$

${\displaystyle +{\tfrac {x^{3}}{3!}}\lim _{r\to 0}{\bigl (}{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} r^{2}}}\left[r^{3}\left({\tfrac {7}{2}}{\bigl (}\arcsin({\sqrt {r}})-{\sqrt {r-r^{2}}}{\bigr )}\right)^{-2}\right]{\bigr )}+\cdots }$^{[ 12 ]}

これを評価すると次のようになります。^{[ 13 ] [ 14 ]}

${\displaystyle y(t)/y_{0}=x-{\tfrac {1}{5}}x^{2}-{\tfrac {3}{175}}x^{3}-{\tfrac {23}{7875}}x^{4}-{\tfrac {1894}{3,031875}}x^{5}-{\tfrac {3293}{21,896875}}x^{6}-{\tfrac {2,418092}{62,077,640625}}x^{7}-\cdots }$

${\displaystyle =x-{\tfrac {1}{5}}x[x+({\tfrac {3}{7}}x^{2}+{\tfrac {23}{315}}x^{3}+{\tfrac {1894}{121,275}}x^{4}+{\tfrac {3293}{875,875}}x^{5}+{\tfrac {2,418092}{2,483,105625}}x^{6}+\cdots ){\tfrac {1}{5}}]}$

${\displaystyle =x(1-{\tfrac {1}{5}}x[1+{\tfrac {x}{5}}({\tfrac {3}{7}}+{\tfrac {x}{5}}{\bigl (}{\tfrac {23}{63}}+{\tfrac {1894}{24,255}}x+{\tfrac {3293}{175,175}}x^{2}+{\tfrac {2,418092}{496,621125}}x^{3}{\bigr )}+\cdots )]),}$

どこ

${\displaystyle x=\left[{\tfrac {3}{2}}\left({\frac {\pi }{2}}-t{\sqrt {\tfrac {2\mu }{{y_{0}}^{3}}}}\right)\right]^{2/3}=[{\tfrac {3}{4}}\pi \cdot (1-t/t_{\text{ff}})]^{2/3}.}$^{[ 15 ]}

この多項式は実現が難しく、実用的な解決策ではない^{[ 16 ]}。