ローレンツ力

電磁気学において、ローレンツ力とは、電場と磁場によって荷電粒子に及ぼされる力のことである。ローレンツ力は、荷電粒子が電磁環境下でどのように運動するかを決定づけ、電気モーターや粒子加速器の動作からプラズマの挙動に至るまで、多くの物理現象の根底にある。

ローレンツ力は2つの成分から構成される。電気力は、正電荷に対しては電場の方向と同じ方向に、負電荷に対しては電場の方向とは逆方向に作用し、粒子を直線的に加速させる傾向がある。磁力は粒子の速度と磁場の両方に垂直に作用し、粒子を曲線軌道に沿って運動させる。その軌道は、磁場の方向に応じて円形または螺旋状になることが多い。

力の法則の変形は、電流が流れる導線に働く磁力（ラプラス力と呼ばれることもある）や、ファラデーの誘導法則で説明される磁場を通過する導線ループに働く起電力などを記述する。^{[ 1 ]}

電荷と電流によって電場と磁場がどのように生成されるかを記述するマクスウェル方程式とともに、ローレンツ力法則は古典電磁気学の基礎を形成している。^{[ 2 ] [ 3 ]}この法則は特殊相対性理論では有効であるが、量子効果が重要になる小さなスケールでは破綻する。特に、粒子の固有スピンは、ローレンツ力では説明できない電磁場との追加的な相互作用を引き起こす。

歴史家たちは、この法則は1865年に発表されたジェームズ・クラーク・マクスウェルの論文に暗黙のうちに含まれていると示唆している。^{[ 1 ]}ヘンドリック・ローレンツは1895年に完全な導出に至り、^{[ 4 ]}オリバー・ヘヴィサイドが磁力の寄与を正しく特定してから数年後に電気力の寄与を特定した。^{[ 5 ]}

一定の電流が流れる導線を外部磁場中に置くと、導線内の各移動電荷はローレンツ力を受けます。これらの力が合わさって、導線に正味の巨視的な力が生じます。一様な磁場中の直線状の静止導線の場合、この力は次のように表されます。^{[ 19 ]}$${\displaystyle \mathbf {F} =I{\boldsymbol {\ell }}\times \mathbf {B} ,}$$ ここで、Iは電流であり、ℓは大きさが導線の長さで、方向が導線に沿って電流の方向と一致するベクトルである。

この方程式の導出は簡単である。長さℓ、断面積A、電流Iによる電荷qを持つ導体を考える。この導体を、導体内の電荷の速度と角度θをなす大きさBの磁場中に置くと、単一の電荷qに及ぼされる力は次のようになる。

$${\displaystyle F_{q}=qvB\sin \theta ,}$$

したがって、N個の電荷の場合、${\displaystyle N=n\ell A,}$ （ここでnは導線内の電荷密度）導体に及ぼされる力は

$${\displaystyle F=NF_{q}=qvBn\ell A\sin \theta =BI\ell \sin \theta ,}$$ ここで、電流I = nqvA です。これは、外積の定義を用いた上記の式と同じです。

導線が直線でない場合、または磁場が不均一な場合は、導線の各微小セグメントに式を適用することで、総力を計算できます。${\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}}$そして、これらの力をすべて積分して合計します。この場合、定常電流が流れる静止した導線にかかる正味の力は^{[ 20 ]です。}

$${\displaystyle \mathbf {F} =I\int (\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\times \mathbf {B} ).}$$

この法則の応用例の一つがアンペールの法則で、これは電流が流れる2本の導線間の引力または斥力を記述するものです。各導線はビオ・サバールの法則で記述される磁場を生成し、それがもう一方の導線にローレンツ力を及ぼします。電流が同じ方向に流れる場合、導線は引き合い、電流が反対方向に流れる場合は斥力となります。この相互作用は、1メートル離れた2本の直線状の平行な導線の間に1メートルあたり2× ^10⁻⁷ニュートンの力を生み出す定常電流として、アンペアの以前の定義の基礎となりました。 ^{[ 21 ]}

もう一つの応用例は誘導電動機です。固定子巻線の交流電流は移動する磁場を生成し、それが回転子に電流を誘導します。その結果生じるローレンツ力${\displaystyle \mathbf {F} }$ローターに作用する力はトルクを生み出し、モーターを回転させます。したがって、磁場がローレンツ力法則に従わない場合でも、ローレンツ力法則は適用されません。${\displaystyle \mathbf {B} }$電流によって生成される${\displaystyle I}$現在の${\displaystyle I}$磁場の動きによって誘発される${\displaystyle \mathbf {B} }$。

運動起電力とは、導体を磁場の中を移動させることによって発生する起電力のことである。

変圧器の起電力は、変化する磁場によって誘起される。

導体ループ内の電荷に作用するローレンツ力は、電荷を回路内で移動させることで電流を発生させることができます。この効果は、誘導電動機や発電機の基本的なメカニズムです。これは起電力（emf）という量で表され、電磁誘導の理論において中心的な役割を果たします。抵抗のある単純な回路では、${\displaystyle R}$起電力${\displaystyle {\mathcal {E}}}$電流が発生する${\displaystyle I}$オームの法則によれば${\displaystyle {\mathcal {E}}=IR}$[ ^{22 ]​}

ローレンツ力の2つの成分（電気成分と磁気成分）はどちらも回路の起電力に寄与するが、そのメカニズムは異なる。どちらの場合も、誘導起電力はファラデーの磁束法則で表され、閉ループの周りの起電力はループを通過する磁束の負の変化率に等しいと述べている。 ^{[ 23 ]}$${\displaystyle {\mathcal {E}}=-{\frac {\mathrm {d} \Phi _{B}}{\mathrm {d} t}}.}$$磁束${\displaystyle \Phi _{B}}$は磁場の表面積分として定義される。${\displaystyle \mathbf {B} }$表面上${\displaystyle \mathbf {\Sigma } (t)}$ループで囲まれています: ^{[ 23 ]}

$${\displaystyle \Phi _{B}=\int _{\Sigma }\mathbf {B} \cdot {\rm {d}}\mathbf {S} }$$

磁束は、ループが時間とともに移動または変形するか、あるいは磁場自体が時間とともに変化するかのいずれかによって変化する可能性があります。これら 2 つの可能性は、磁束規則によって記述される 2 つのメカニズムに対応します。^{[ 23 ]}

• 運動起電力：回路が静止しているが不均一な磁場の中を移動する。
• 変圧器の起電力：回路は静止したまま、磁場は時間とともに変化する。

誘導起電力の符号はレンツの法則によって与えられ、誘導電流は元の磁束の変化に抵抗する磁場を生成すると述べている。^{[ 23 ]}

フラックスルールは、マクスウェル・ファラデー方程式とローレンツ力法則から導出できます。^{[ 22 ]}場合によっては、特に拡張系では、フラックスルールを直接適用することが困難であったり、完全な記述が得られない場合があり、完全なローレンツ力法則を使用する必要があります。（ファラデーの法則の適用不能性を参照。）^{[ 24 ]}

運動起電力

運動起電力の基本的なメカニズムは、導体棒が棒とその運動方向の両方に垂直な磁場の中を移動することで説明できます。磁場内での移動により、導体の移動電子は、棒の長さに沿って駆動するローレンツ力の磁気成分（qv×B）を受けます。これにより、棒の両端間で電荷が分離されます。定常状態では、蓄積された電荷による電場が磁力と釣り合います。^{[ 25 ]}

棒が不均一な磁場中を移動する閉じた導体ループの一部である場合、同じ効果によって回路に電流が流れることがあります。例えば、磁場が限られた空間領域に閉じ込められており、ループが最初はこの領域の外側にあるとします。ループが磁場内に入ると、磁束を囲むループの面積が増加し、起電力が発生します。ローレンツ力の観点から見ると、これは、磁場がループの領域に入る部分の電荷キャリアに磁力を及ぼすためです。ループ全体が均一な磁場内にあり、一定速度で移動を続けると、囲まれた磁束の総量は一定のままとなり、起電力は消滅します。この状況では、ループの両側の磁力が相殺されます。

電磁力を定量的に記述しようとする初期の試みは、18 世紀半ばに行われた。1760年にヨハン・トビアス・マイヤーらが磁極に働く力^{[ 32 ]}と、 1762 年にヘンリー・キャベンディッシュが帯電した物体に働く力^{[ 33 ]}が逆二乗法則に従うと提唱した。しかし、どちらの場合も実験による証明は完全でも決定的でもなかった。1784 年にシャルル＝オーギュスタン・ド・クーロンがねじり天秤を用いて実験によってこれが真実であることを決定的に示すことができたのは、それ以降のことであった^{[ 34 ]} 。1820年にハンス・クリスチャン・エルステッドが磁針にボルタ電流が作用することを発見した直後、アンドレ＝マリー・アンペールは同年、実験によって 2 つの電流要素間の力の角度依存性の公式を考案することができた。^{[ 35 ] [ 36 ]}これらの記述すべてにおいて、力は常に、電場や磁場ではなく、関係する物質の性質と2つの質量または電荷間の距離によって記述されていました。^{[ 37 ]}

電場と磁場の現代的な概念は、マイケル・ファラデーの理論、特に力線の考え方で初めて現れ、後にケルビン卿とジェームズ・クラーク・マクスウェルによって完全な数学的記述が与えられた。^{[ 38 ]}現代の観点から見ると、マクスウェルの 1865 年の場の方程式の定式化には、電流に関連するローレンツ力方程式の形式を特定することができるが、^{[ 1 ] [ 39 ]}マクスウェルの時代には、彼の方程式が運動する荷電物体に及ぼす力とどのように関連しているかは明らかではなかった。JJトムソンは、マクスウェルの場の方程式から、物体の特性と外部場の観点から、運動する荷電物体に及ぼす電磁力を導出しようとした最初の人物である。陰極線中の荷電粒子の電磁気的挙動を決定することに興味を持ったトムソンは、1881 年に論文を発表し、その中で外部磁場による粒子に及ぼす力を示しかし、いくつかの計算ミスと変位電流の不完全な記述により、トムソンは式に誤ったスケール係数 1/2 を含めてしまい、^{[ 5 ] [ 40 ]に至った。}$${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {q}{2}}\mathbf {v} \times \mathbf {B} .}$$オリバー・ヘヴィサイドは現代のベクトル表記法を発明し、それをマクスウェルの場の方程式に適用しました。また、彼は（1885年と1889年に）トムソンの導出の誤りを修正し、運動する帯電物体に作用する磁力の正しい形式に到達しました。^{[ 5 ] [ 41 ] [ 42 ]}最後に、1895年に^{[ 4 ] [ 43 ]}ヘンドリック・ローレンツは、電場と磁場の両方からの全力への寄与を含む電磁力の公式の現代的な形式を導出しました。ローレンツは、エーテルと伝導のマクスウェルの記述を放棄することから始めました。代わりに、ローレンツは物質と光を伝えるエーテルを区別し、マクスウェル方程式を微視的なスケールに適用しようとしました。ローレンツは、静止エーテルに対するヘヴィサイド版のマクスウェル方程式を用い、ラグランジュ力学（下記参照）を適用して、現在彼の名が冠されている力法則の正しい完全な形式に到達した。^{[ 44 ] [ 45 ]}

E場とB場は、磁気ベクトルポテンシャルAと（スカラー）静電ポテンシャルϕで 置き換えることができる。$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} &=-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\\[1ex]\mathbf {B} &=\nabla \times \mathbf {A} \end{aligned}}}$$ ここで、∇は勾配、∇⋅は発散、∇×は回転です。

力が $${\displaystyle \mathbf {F} =q\left[-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}+\mathbf {v} \times (\nabla \times \mathbf {A} )\right].}$$

三重積の恒等式を用いると、これは次のように書き換えられる。 $${\displaystyle \mathbf {F} =q\left[-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}+\nabla \left(\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} \right)-\left(\mathbf {v} \cdot \nabla \right)\mathbf {A} \right].}$$

（座標と速度成分は独立変数として扱う必要があるため、del演算子はのみに作用することに注意してください。）${\displaystyle \mathbf {A} }$、ではない${\displaystyle \mathbf {v} }$（したがって、上記の式ではファインマンの添え字表記を使用する必要はありません。）連鎖律を用いると、の対流微分は次のようになります。${\displaystyle \mathbf {A} }$は：^{[ 46 ]}$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {A} }$$ したがって、上記の式は次のようになります。 $${\displaystyle \mathbf {F} =q\left[-\nabla (\phi -\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} )-{\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}\right].}$$

v = ẋおよび ​$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left[{\frac {\partial }{\partial {\dot {\mathbf {x} }}}}\left(\phi -{\dot {\mathbf {x} }}\cdot \mathbf {A} \right)\right]=-{\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}},}$$この方程式を便利なオイラー・ラグランジュ形式 に変換することができる^{[ 47 ]}

どこ$${\displaystyle \nabla _{\mathbf {x} }={\hat {x}}{\dfrac {\partial }{\partial x}}+{\hat {y}}{\dfrac {\partial }{\partial y}}+{\hat {z}}{\dfrac {\partial }{\partial z}}}$$そして$${\displaystyle \nabla _{\dot {\mathbf {x} }}={\hat {x}}{\dfrac {\partial }{\partial {\dot {x}}}}+{\hat {y}}{\dfrac {\partial }{\partial {\dot {y}}}}+{\hat {z}}{\dfrac {\partial }{\partial {\dot {z}}}}.}$$

電磁場中の質量mと電荷qの荷電粒子のラグランジアンは、粒子に及ぼされる力ではなく、エネルギーの観点から粒子のダイナミクスを記述します。古典的な表現は次のように与えられます。 ^{[ 47 ]}$${\displaystyle L={\frac {m}{2}}\mathbf {\dot {r}} \cdot \mathbf {\dot {r}} +q\mathbf {A} \cdot \mathbf {\dot {r}} -q\phi }$$ ここで、Aとϕは上記のポテンシャル場である。${\displaystyle V=q(\phi -\mathbf {A} \cdot \mathbf {\dot {r}} )}$これは、速度に依存する一般化された位置エネルギーとして識別でき、したがって、${\displaystyle \mathbf {F} }$非保存力として。^{[ 48 ]}ラグランジアンを使用すると、上記のローレンツ力の式を再び得ることができます。

ハミルトニアンは、ルジャンドル変換を用いてラグランジアンから導出できる。正準運動量は $${\displaystyle p_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {r}}_{i}}}=m{\dot {r}}_{i}+qA_{i}(\mathbf {r} ).}$$ ルジャンドル変換を適用すると^{[ 49 ]が得られる。}$${\displaystyle H={\dot {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {p} -L={\frac {[\mathbf {p} -q\mathbf {A} (\mathbf {r} )]^{2}}{2m}}+q\phi .}$$この古典的なハミルトニアンは量子力学に直接一般化され、${\displaystyle \mathbf {p} }$そして${\displaystyle \mathbf {r} }$非通勤事業者になる。

相対論的ラグランジアンは $${\displaystyle L=-mc^{2}{\sqrt {1-\left({\frac {\dot {\mathbf {r} }}{c}}\right)^{2}}}+q\mathbf {A} (\mathbf {r} )\cdot {\dot {\mathbf {r} }}-q\phi (\mathbf {r} )}$$

この作用は、時空における粒子の経路の相対論的な弧長から、位置エネルギーの寄与を差し引いたものに、量子力学ではベクトルポテンシャルに沿って運動する荷電粒子によって得られる位相として実現できる追加の寄与を加えたものである。

量子力学では、粒子はシュレーディンガー方程式によって時間発展が支配される波動関数によって記述されます。この定式化は力を明示的に含みませんが、ハミルトニアンにポテンシャル項を通して電磁場との相互作用を取り入れることで、ハミルトニアン力学の枠組みを拡張します。質量が非相対論的な粒子の場合、${\displaystyle m}$そして料金を請求する${\displaystyle q}$ハミルトニアンは次の形式をとる。 $${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {1}{2m}}\left[{\hat {\mathbf {p} }}-q\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)\right]^{2}+q\Phi (\mathbf {r} ,t),}$$ この式は、ローレンツ力法則につながる古典的なハミルトニアンを直接一般化したものです。重要な違いは、量子力学では位置が${\displaystyle \mathbf {r} }$そして勢い${\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}}$これらは交換しない演算子である。その結果、量子力学は波の干渉や量子化などの根本的に異なる振る舞いを包含する。^{[ 52 ]}

古典物理学では電場と磁場のみが粒子の運動に影響を与えるのに対し、量子力学では電磁ポテンシャル自体が観測可能な効果を生み出すことができる。これはアハロノフ・ボーム効果によって例示される。この効果では、荷電粒子が電場と磁場がゼロの領域を通過するが、立ち入り不可能な領域に閉じ込められた磁束を取り囲む。古典的なローレンツ力は粒子の経路に沿ってゼロであるが、スクリーン上で観測される干渉パターンは囲まれた磁束に応じて変化し、量子力学におけるベクトルポテンシャルの物理的意義を明らかにする。^{[ 53 ]}

それにもかかわらず、古典的なローレンツ力法則は量子力学の近似として現れます。エーレンフェストの定理によれば、運動量演算子の期待値は古典的なローレンツ力法則に似た方程式に従って変化します。アハロノフ・ボームの設定においても、波束の平均運動は古典的な軌道に従います。^{[ 54 ]}

電子などの量子粒子は固有のスピンも持ち、これにより古典的なローレンツ力で記述されるものとは異なる追加の電磁相互作用が生じる。非相対論的極限では、これはパウリ方程式によって捉えられ、スピンと磁場の結合項が含まれる。 $${\displaystyle {\hat {H}}_{\text{Pauli}}={\frac {1}{2m}}\left[{\hat {\mathbf {p} }}-q\mathbf {A} \right]^{2}+q\Phi +{\frac {q\hbar }{2m}}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {B} ,}$$ どこ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$はパウリ行列である。この項は、古典理論には存在しないスピン依存力をもたらす。完全な相対論的処理はディラック方程式によって与えられ、これは最小結合を通してスピンと電磁相互作用を組み込み、電子の磁気回転比などの特徴を正しく予測する。^{[ 55 ]}

多くの実際の応用において、ローレンツ力だけでは荷電粒子の集団的な振る舞いを正確に記述するには不十分であり、これは実際的にも基礎的にも言える。実際のシステムには、相互作用する多数の粒子が含まれており、これらの粒子はそれぞれ独自の電場Eと磁場Bを生成する。電流、流れ、プラズマといった集団的な効果を考慮するには、ボルツマン方程式、フォッカー・プランク方程式、ナビエ・ストークス方程式といった、より複雑な方程式が必要となる。これらのモデルは、粒子間の相互作用や自己無撞着な電場生成を組み込んだ単一粒子のダイナミクスを超え、磁気流体力学、電気流体力学、プラズマ物理学といった分野、さらには天体物理学や超伝導現象の理解において中心的な役割を果たす。

ローレンツ力は、以下のような多くの装置で発生します。

• サイクロトロンおよびその他の円形経路粒子加速器
• イオントラップ
• 質量分析計
• 速度フィルター
• マグネトロン
• ローレンツ力速度測定法

導体中の電流に働くラプラス力として現れるこの力は、以下のような多くの装置で発生します。

• 電気モーター
• レールガン
• リニアモーター
• スピーカー
• 磁気プラズマ推進器
• 発電機
• 単極発電機
• リニアオルタネーター

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• ローレンツ力（実演）
• 均一磁場における粒子ビームの磁気偏向に関するインタラクティブなJavaアプレット。 2011年8月13日にWayback Machineにアーカイブ済み。作成者：Wolfgang Bauer