クーロンの法則

クーロンの逆二乗の法則、または単にクーロンの法則は、静止している2つの電荷を帯びた粒子間の力の大きさを計算する物理学の実験法則^{[1]です。この電気力は、慣例的に}静電気力またはクーロン力と呼ばれています。^[2]この法則は以前から知られていましたが、1785年にフランスの物理学者シャルルオーギュスタン・ド・クーロンによって初めて発表されました。クーロンの法則は、粒子の電荷量について意味のある議論を可能にしたため、電磁気学の理論の発展に不可欠であり、おそらくその出発点でさえありました。[ ^{1 ]}

この法則は、2つの点電荷間の静電引力または反発力の大きさ、または絶対値は、それらの電荷の大きさの積に正比例し、それらの間の距離の2乗に反比例することを述べています。^[4]クーロンは、同じ電荷を持つ物体は反発することを発見しました。

したがって、これら3つのテストから、同じ種類の電気で通電された2つのボールが互いに及ぼす反発力は、距離の2乗に反比例することがわかります。^[5]

クーロンはまた、反対の電荷を持つ物体は反二乗の法則に従って引き合うことも示しました。 $${\displaystyle |F|=k_{\text{e}}{\frac {|q_{1}||q_{2}|}{r^{2}}}}$$

ここで、k _eは定数、q ₁とq _{2 は}各電荷の量、スカラーr は電荷間の距離です。

力は 2 つの電荷を結ぶ直線に沿って作用します。電荷の符号が同じ場合、それらの間の静電気力によって電荷は反発します。電荷の符号が異なる場合、それらの間の力によって電荷は引き付けられます。

この法則は逆二乗の法則であり、アイザック・ニュートンの万有引力の逆二乗の法則に似ているが、重力は常に物体を引き付けるのに対し、静電気力は電荷を引き付けたり反発させたりします。また、重力は静電気力よりもはるかに弱い。^{[2]クーロンの法則は}ガウスの法則を導くのに使用でき、その逆も同様です。静止している一点電荷の場合、2つの法則は同等であり、同じ物理法則を異なる方法で表現しています。^{[6]この法則は}広範囲にテストされており、観測により10 ⁻¹⁶ mから10 ⁸ mのスケールでこの法則が支持されています。^[6]

地中海周辺の古代文化では、琥珀の棒などの特定の物体を猫の毛でこすると、羽や紙片などの軽い物体を引き寄せることができることがわかっていました。ミレトスのタレスは、紀元前600年頃に、摩擦によって琥珀が小さな物体を引き寄せることに気づいたときに、静電気についての最初の記録を残しました。 ^{[7] [ 8] [9]}

1600年、イギリスの科学者ウィリアム・ギルバートは電気と磁気を注意深く研究し、磁石効果と琥珀をこすったときに生じる静電気を区別しました。^[8]彼は、こすった後に小さな物体を引き付ける性質を指すために、新ラテン語のelectricus（「琥珀の」または「琥珀のような」という意味で、ギリシャ語の「琥珀」のἤλεκτρον [ elektron ]から）を造りました。^[10]この関連性から、英語の「electric」と「electricity」という単語が生まれ、 1646年のトーマス・ブラウンのPseudodoxia Epidemicaで初めて印刷されました。^[11]

18世紀初期の研究者の中には、電気力は重力と同様に距離とともに減少する（距離の2乗に反比例して減少する）のではないかと考えた人物としては、コンデンサーのプレート間の力を測定したダニエル・ベルヌーイ^[12]やアレッサンドロ・ボルタ、1758年に反比例の法則を仮定したフランツ・エピヌスなどがいた^[13]。

イギリスのジョセフ・プリーストリーは、帯電球を使った実験に基づいて、電気力はニュートンの万有引力の法則に似た反比例の法則に従うと最初に提唱した人物の一人である。しかし、彼はこれを一般化したり詳しく説明したりはしなかった。^[14] 1767年に、彼は電荷間の力は距離の反比例に比例すると推測した。^{[15] [16]}

1769年、スコットランドの物理学者ジョン・ロビソンは、彼の測定によれば、同じ符号の電荷を持つ2つの球の間の反発力はx ^−2.06のように変化すると発表しました。^[17]

1770年代初頭、イギリスのヘンリー・キャベンディッシュは、荷電物体間の力が距離と電荷の両方に依存することをすでに発見していたが、公表していなかった。[ 18 ^{]キャベンディッシュはメモの中で、「したがって、電気的な引力と反発力は、}物体間の距離の累乗に反比例すると考えられる」と記している。1/50⁠番目と2番目の1/50⁠ th、そしてそれが逆重複比率とまったく異なると考える理由はありません。

最終的に、1785年にフランスの物理学者シャルル・オーギュスタン・ド・クーロンは、電気と磁気に関する最初の3つの報告書を発表し、その中で彼の法則を述べました。この出版物は、電磁気学の理論の発展に不可欠なものでした。^[4]彼は、ねじり天秤を使用して荷電粒子の反発力と引力を研究し、2つの点電荷間の電気力の大きさは、電荷の積に正比例し、それらの間の距離の2乗に反比例することを決定しました。

ねじり天秤は、細い繊維で中央から吊り下げられた棒で構成されています。繊維は非常に弱いねじりバネとして機能します。クーロンの実験では、ねじり天秤は絶縁棒で、その一端に金属でコーティングされたボールが取り付けられ、絹糸で吊り下げられていました。ボールには既知の静電気の電荷が充電され、同じ極性の2番目の帯電ボールがその近くに持ってこられました。2つの帯電ボールは互いに反発し、繊維を特定の角度でねじりました。この角度は、計器の目盛りから読み取ることができました。特定の角度で繊維をねじるのに必要な力を知ることで、クーロンはボール間の力を計算し、反比例の法則を導き出すことができました。

クーロンの法則によれば、真空中の位置にある電荷が位置にある別の電荷の近傍で受ける静電力は^{[19]に等しい。}${\textstyle \mathbf {F} _{1}}$${\displaystyle q_{1}}$${\displaystyle \mathbf {r} _{1}}$${\displaystyle q_{2}}$${\displaystyle \mathbf {r} _{2}}$ $${\displaystyle \mathbf {F} _{1}={\frac {q_{1}q_{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}{{\hat {\mathbf {r} }}_{12} \over {|\mathbf {r} _{12}|}^{2}}}$$

ここで、 は電荷間の変位ベクトル、はから を指す単位ベクトル、 は電気定数です。ここで、はベクトル表記に使用されます。ニュートンの第 3 法則によれば、が受ける静電力はです。${\textstyle \mathbf {r_{12}=r_{1}-r_{2}} }$${\textstyle {\hat {\mathbf {r} }}_{12}}$${\textstyle q_{2}}$${\textstyle q_{1}}$${\displaystyle \varepsilon _{0}}$${\textstyle \mathbf {\hat {r}} _{12}}$${\textstyle \mathbf {F} _{2}}$${\displaystyle q_{2}}$${\textstyle \mathbf {F} _{2}=-\mathbf {F} _{1}}$

両方の電荷が同じ符号（同じ電荷）を持つ場合、積は 正であり、力の方向は で与えられ、電荷は互いに反発します。電荷が反対の符号を持つ場合、積は負であり、力の方向は で与えられ、電荷は互いに引き合います。^[20]${\displaystyle q_{1}q_{2}}$${\displaystyle q_{1}}$${\textstyle {\widehat {\mathbf {r} }}_{12}}$${\displaystyle q_{1}q_{2}}$${\displaystyle q_{1}}$${\textstyle -{\hat {\mathbf {r} }}_{12}}$

重ね合わせの法則により、クーロンの法則を任意の数の点電荷に拡張できます。点電荷のシステムにより点電荷に作用する力は、各電荷により点電荷に単独で作用する個々の力のベクトル加算に過ぎません。結果として生じる力のベクトルは、その点の電界ベクトルと平行で、点電荷は除去されます。

真空中の離散電荷系による位置の小さな電荷に働く力は^[19]${\textstyle \mathbf {F} }$${\displaystyle q}$${\displaystyle \mathbf {r} }$${\textstyle n}$

$${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )={q \over 4\pi \varepsilon _{0}}\sum _{i=1}^{n}q_{i}{{\hat {\mathbf {r} }}_{i} \over {|\mathbf {r} _{i}|}^{2}},}$$

ここで、はi番目の電荷の大きさ、はその位置から へのベクトル、 はの方向の単位ベクトルです。 ${\displaystyle q_{i}}$${\textstyle \mathbf {r} _{i}}$${\displaystyle \mathbf {r} }$${\textstyle {\hat {\mathbf {r} }}_{i}}$${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$

この場合、線形重ね合わせの原理も使用されます。連続電荷分布の場合、電荷を含む領域上の積分は、空間の各微小要素を点電荷として扱う無限の合計に相当します。電荷の分布は通常、線形、表面、または体積です。 ${\displaystyle dq}$

線形電荷分布（電線内の電荷の良い近似）では、位置における単位長さあたりの電荷を与え、長さの無限小要素である^[21]${\displaystyle \lambda (\mathbf {r} ')}$${\displaystyle \mathbf {r} '}$${\displaystyle d\ell '}$ $${\displaystyle dq'=\lambda (\mathbf {r'} )\,d\ell '.}$$

表面電荷分布（平行板コンデンサのプレート上の電荷の良い近似）では、位置 における単位面積あたりの電荷を与え、面積の無限小要素です。 ${\displaystyle \sigma (\mathbf {r} ')}$${\displaystyle \mathbf {r} '}$${\displaystyle dA'}$$${\displaystyle dq'=\sigma (\mathbf {r'} )\,dA'.}$$

体積電荷分布（例えばバルク金属内の電荷）の場合、 は位置における単位体積あたりの電荷を与え、 は体積の無限小要素である。^[20]${\displaystyle \rho (\mathbf {r} ')}$${\displaystyle \mathbf {r} '}$${\displaystyle dV'}$ $${\displaystyle dq'=\rho ({\boldsymbol {r'}})\,dV'.}$$

真空中の位置にある小さな試験電荷に働く力は、電荷分布の積分で与えられる。 ${\displaystyle q}$${\displaystyle {\boldsymbol {r}}}$$${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int dq'{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r'} }{|\mathbf {r} -\mathbf {r'} |^{3}}}.}$$

クーロンの法則の「連続電荷」バージョンは、その位置が荷電粒子（電子や陽子など）の位置と直接重なる位置に適用されることは決してありません。これは、電場や電位を古典的に分析するには有効な位置ではありません。電荷は現実には常に離散的であり、「連続電荷」の仮定は、分析できないはずの単なる近似値です。 ${\displaystyle |\mathbf {r} -\mathbf {r'} |=0}$${\displaystyle |\mathbf {r} -\mathbf {r'} |=0}$

クーロンの法則における比例定数は、 単位に関する歴史的な選択の結果である。^{[19] : 4–2}${\displaystyle {\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}}$$${\displaystyle \mathbf {F} _{1}={\frac {q_{1}q_{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}{{\hat {\mathbf {r} }}_{12} \over {|\mathbf {r} _{12}|}^{2}}}$$

定数は真空の誘電率である。^[22] CODATA 2022の推奨値^[23]を用いると、クーロン定数^[24]は ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$${\displaystyle \varepsilon _{0}}$$${\displaystyle k_{\text{e}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}=8.987\ 551\ 7862(14)\times 10^{9}\ \mathrm {N{\cdot }m^{2}{\cdot }C^{-2}} .}$$

クーロンの逆二乗則が成立するためには3つの条件を満たす必要がある: ^[25]

1. 電荷は球対称の分布を持つ必要があります（例：点電荷、または帯電した金属球）。
2. 電荷は重複してはなりません (例: 異なる点電荷である必要があります)。
3. 電荷は非加速参照フレームに対して静止している必要があります。

これらの最後のものは静電近似として知られています。動きが起こると、2 つの物体に生じる力を変える追加の要素が導入されます。この追加の力の部分は磁力と呼ばれます。動きが遅い場合、磁力は最小限であり、クーロンの法則は依然としてほぼ正しいと見なすことができます。ただし、この場合のより正確な近似はウェーバー力です。電荷が互いに対してより速く動いている場合、または加速が発生した場合は、マクスウェル方程式とアインシュタインの相対性理論を考慮する必要があります。

電場は、単位電荷が受けるクーロン力を空間内の各点に関連付けるベクトル場です。^[19]電荷に対するクーロン力の強さと方向は、電荷が属する他の電荷によって確立される電場によって決まります。最も単純なケースでは、電場は単一の発生源点電荷によってのみ生成されると考えられます。より一般的には、重ね合わせの原理によって、電場は全体に寄与する電荷の分布によって生成されます。 ${\textstyle \mathbf {F} }$${\textstyle q_{t}}$${\textstyle \mathbf {E} }$${\textstyle \mathbf {F} =q_{t}\mathbf {E} }$

電界が正のソース点電荷によって生成される場合、電界の方向はそこから放射状に外側に向いた線、つまり電界内に配置された正の点テスト電荷が移動する方向を指します。負のソース点電荷の場合、方向は放射状に内側になります。 ${\textstyle q}$${\textstyle q_{t}}$

電場Eの大きさはクーロンの法則から導かれる。点電荷の1つを発生源、もう1つを試験電荷とすると、クーロンの法則から、真空中で特定の距離rにある単一の発生源点電荷Qによって生成される電場 Eの大きさは次のように与えられる。 $${\displaystyle |\mathbf {E} |=k_{\text{e}}{\frac {|q|}{r^{2}}}}$$

n個の離散電荷のシステムは、重ね合わせによって大きさと方向が ${\displaystyle q_{i}}$${\textstyle \mathbf {r} _{i}=\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i}}$$${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )={1 \over 4\pi \varepsilon _{0}}\sum _{i=1}^{n}q_{i}{{\hat {\mathbf {r} }}_{i} \over {|\mathbf {r} _{i}|}^{2}}}$$

クーロンの法則は原子内でも成り立ち、正電荷を帯びた原子核と負電荷を帯びた電子のそれぞれとの間の力を正確に表します。この単純な法則は、原子同士を結合させて分子を形成する力や、原子と分子を結合させて固体や液体を形成する力も正確に表します。一般に、イオン間の距離が増加すると、引力と結合エネルギーがゼロに近づき、イオン結合は不利になります。反対電荷の大きさが増加すると、エネルギーが増加し、イオン結合がより有利になります。

厳密に言えば、クーロンの法則はガウスの法則だけでは導出できません。ガウスの法則はEの回転に関する情報を何も与えないからです(ヘルムホルツ分解とファラデーの法則を参照)。ただし、点電荷からの電場が球対称であると仮定すれば、ガウスの法則からクーロンの法則を証明できます(この仮定は、クーロンの法則自体と同様に、電荷が静止している場合は正確に当てはまり、電荷が運動している場合はほぼ当てはまります)。

クーロンの法則は、移動する電荷によって生成される磁場の形状を理解するために使用できます。これは、特殊相対性理論により、特定のケースでは磁場が電場によって引き起こされる力の変換であることが示されるためです。粒子の履歴に加速が含まれない場合、上に示したマクスウェル方程式を解く際の対称性の議論によってサポートされている、独自の慣性系内の任意のテスト粒子に対してクーロンの法則を想定できます。クーロンの法則は、同じ形式になるように移動するテスト粒子に拡張できます。この仮定は、クーロンの法則とは異なり、静止したテスト電荷に限定されないローレンツ力の法則によってサポートされています。電荷が観測者に対して不変であると考えると、均一に移動する点電荷の電場と磁場は、クーロンの法則によって与えられた電荷の参照フレーム内でテスト電荷にかかる4 つの力をローレンツ変換し、ローレンツ力の形式で与えられた定義によって磁場と電場を割り当てることによって導出できます。^[27]均一に運動する点電荷に対して求められる場は次のように表される: ^[28]ここで、は点源の電荷、は点源から空間内の点までの位置ベクトル、は荷電粒子の速度ベクトル、は荷電粒子の速度を光速で割った比、はとの間の角度である。 $${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}r^{3}}}{\frac {1-\beta ^{2}}{(1-\beta ^{2}\sin ^{2}\theta )^{3/2}}}\mathbf {r} }$$$${\displaystyle \mathbf {B} ={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}r^{3}}}{\frac {1-\beta ^{2}}{(1-\beta ^{2}\sin ^{2}\theta )^{3/2}}}{\frac {\mathbf {v} \times \mathbf {r} }{c^{2}}}={\frac {\mathbf {v} \times \mathbf {E} }{c^{2}}}}$$${\displaystyle q}$${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$

この形式の解は、特殊相対論の枠組みの場合のようにニュートンの第3法則に従う必要はない（ただし、相対論的エネルギー運動量保存則に違反することはない）。^[29]電場の表現は、点電荷の非相対論的速度に対するクーロンの法則に簡約され、非相対論的極限（ に近似）の磁場は電流に適用してビオ・サバールの法則を得ることができることに留意されたい。これらの解は、遅延時間で表現される場合、特定の適用範囲内でのクーロンの法則の妥当性により、リエナール・ヴィーヒャートポテンシャルの解によって与えられるマクスウェル方程式の一般解にも対応する。また、問題における速度の方向の指定によって対称性が破れるため、静止電荷に対するガウスの法則の球対称性は、運動電荷に対しては有効ではないことにも留意されたい。上記の2つの方程式がマクスウェル方程式と一致することは、手動で検証することもできる。^[30]${\displaystyle \beta \ll 1}$

クーロンポテンシャルは、電子-陽子散乱を記述する連続状態（E > 0）と、水素原子を表す離散的束縛状態を許容する。^{[31]また、2つの荷電粒子間の}非相対論的極限内で次のように導くこともできる。

ボルン近似では、非相対論的量子力学において、散乱振幅は次のようになります。 これは、次と比較されます。 ここでは、2 つの電子が互いに散乱する場合の (接続された) S 行列エントリを見て、一方の電子を「固定」運動量でポテンシャルのソースとして扱い、もう一方の電子がそのポテンシャルで散乱する場合を考えます。 ${\textstyle {\mathcal {A}}(|\mathbf {p} \rangle \to |\mathbf {p} '\rangle )}$$${\displaystyle {\mathcal {A}}(|\mathbf {p} \rangle \to |\mathbf {p} '\rangle )-1=2\pi \delta (E_{p}-E_{p'})(-i)\int d^{3}\mathbf {r} \,V(\mathbf {r} )e^{-i(\mathbf {p} -\mathbf {p} ')\mathbf {r} }}$$$${\displaystyle \int {\frac {d^{3}k}{(2\pi )^{3}}}e^{ikr_{0}}\langle p',k|S|p,k\rangle }$$

ファインマン規則を用いてS行列要素を計算すると、非相対論的極限で次の式が得られる。${\displaystyle m_{0}\gg |\mathbf {p} |}$ $${\displaystyle \langle p',k|S|p,k\rangle |_{conn}=-i{\frac {e^{2}}{|\mathbf {p} -\mathbf {p} '|^{2}-i\varepsilon }}(2m)^{2}\delta (E_{p,k}-E_{p',k})(2\pi )^{4}\delta (\mathbf {p} -\mathbf {p} ')}$$

QM散乱と比較すると、QFTではQMと比較して運動量固有状態の正規化が異なるために生じる を捨てて次を得る必要がある。 ここで両辺をフーリエ変換し、積分を解いて最後に を取る とクーロンポテンシャルが得られる。^[32]${\displaystyle (2m)^{2}}$$${\displaystyle \int V(\mathbf {r} )e^{-i(\mathbf {p} -\mathbf {p} ')\mathbf {r} }d^{3}\mathbf {r} ={\frac {e^{2}}{|\mathbf {p} -\mathbf {p} '|^{2}-i\varepsilon }}}$$${\displaystyle \varepsilon \to 0}$$${\displaystyle V(r)={\frac {e^{2}}{4\pi r}}}$$

しかし、クーロン問題に対する古典的なボルンの導出と同等の結果は、厳密には偶然であると考えられている。^{[33] [34]}

クーロンポテンシャルとその導出は、交換されたボソン（光子）が静止質量を持たない場合である湯川ポテンシャルの特殊なケースとして見ることができる。 ^[31]

クーロンの法則は簡単な実験で検証できます。 質量 で同じ符号の電荷 の 2 つの小さな球が、長さ の無視できる質量のロープ 2 本からぶら下がっているとします。各球に作用する力は、重さ、ロープの張力、電気力の 3 つです。平衡状態では、次のようになります。 ${\displaystyle m}$${\displaystyle q}$${\displaystyle l}$${\displaystyle mg}$${\displaystyle \mathbf {T} }$${\displaystyle \mathbf {F} }$

そして

（１）を（２）で割ると、

を帯電球間の距離とすると、それらの間の反発力は、クーロンの法則が正しいと仮定すると、次の式に等しい。 ${\displaystyle \mathbf {L} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {F} _{1}}$

それで：

ここで球の 1 つを放電し、それを帯電した球と接触させると、それぞれの球が電荷を獲得します。平衡状態では、電荷間の距離は、そして電荷間の反発力は次のようになります。 ${\textstyle {\frac {q}{2}}}$${\textstyle \mathbf {L} _{2}<\mathbf {L} _{1}}$

我々は次のことを知っており、 ( 4 )を( 5 )で割ると次のようになる。 ${\displaystyle \mathbf {F} _{2}=mg\tan \theta _{2}}$$${\displaystyle {\frac {\frac {q^{2}}{4}}{4\pi \varepsilon _{0}L_{2}^{2}}}=mg\tan \theta _{2}}$$

角度と電荷間の距離を測定すれば、実験誤差を考慮しても等式が成り立つことが確認できます。実際には角度を測定するのは難しい場合があるため、ロープの長さが十分に大きい場合は、角度は十分に小さくなり、次の近似値が得られます。 ${\displaystyle \theta _{1}}$${\displaystyle \theta _{2}}$${\displaystyle \mathbf {L} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {L} _{2}}$

この近似を用いると、関係式（6）はより単純な式になる。

この方法では、検証は電荷間の距離を測定し、除算が理論値に近似しているかどうかを確認することに限定されます。

Spavieri, G., Gillies, GT, & Rodriguez, M. (2004). クーロンの法則の物理的意味合い。メトロロジア、41(5), S159–S170. doi:10.1088/0026-1394/41/5/s06 

• クーロン、チャールズ オーギュスタン (1788) [1785]。 「電気と磁力のプレミア記憶」。王立科学アカデミーの歴史。インプリメリー・ロワイヤル。 569–577ページ。
• クーロン、チャールズ オーギュスタン (1788) [1785]。 「電気と磁力に関する第二の回想録」。王立科学アカデミーの歴史。インプリメリー・ロワイヤル。 578–611ページ。
• クーロン、チャールズ オーギュスタン (1788) [1785]。 「電気と磁力のトロワジエム記憶」。王立科学アカデミーの歴史。インプリメリー・ロワイヤル。 612–638ページ。
• グリフィス、デイビッド J. (1999)。『電気力学入門』（第 3 版）。プレンティス ホール。ISBN 978-0-13-805326-0。
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ウィキメディア・コモンズには、クーロンの法則に関連するメディアがあります。

• プロジェクト PHYSNET におけるクーロンの法則
• 電気と原子 アーカイブ 2009-02-21 at the Wayback Machine —オンライン教科書の章
• クーロンの法則を教えるための迷路ゲーム - Molecular Workbenchソフトウェアによって作成されたゲーム
• 電荷、分極、電気力、クーロンの法則 Walter Lewin、8.02 電気と磁気、2002 年春: 講義 1 (ビデオ)。MIT OpenCourseWare。ライセンス: Creative Commons Attribution-Noncommercial-Share Alike。