終端速度

終端速度とは、物体が流体（最も一般的な例は空気）中を落下する際に到達できる最大速度のことです。これは_、抗力（Fd _）と浮力の合計が、物体に作用する下向きの重力（FG ）と等しくなったときに到達します。物体に作用する正味の力がゼロであるため、物体の加速度はゼロになります。^{[ 1 ] [ 2 ]}通常の気圧で空気中を落下する物体の場合、浮力の影響は無視できるため、通常は浮力は無視され、考慮されません。

物体の速度が増加すると、物体に作用する抗力も増加します。抗力は、物体が通過する物質（例えば、空気や水）によっても異なります。ある速度に達すると、抗力、つまり抵抗力が物体にかかる重力と等しくなります。この時点で物体は加速を止め、終端速度（または沈降速度）と呼ばれる一定の速度で落下し続けます。

終端速度よりも速く下降している物体（例えば、下向きに投げられた、大気の薄い層から落下した、あるいは形状が変化したなど）は、終端速度に達するまで減速します。抗力は投影面積に依存し、ここでは物体の水平面における断面またはシルエットで表されます。

質量に対して投影面積が大きい物体（パラシュートなど）は、質量に対して投影面積が小さい物体（ダーツなど）よりも終端速度が低くなります。一般に、形状と材質が同じであれば、物体の終端速度はサイズが大きくなるにつれて増加します。これは、下向きの力（重力）は線形寸法の3乗に比例するのに対し、空気抵抗は断面積にほぼ比例し、断面積は線形寸法の2乗に比例して増加するためです。

塵や霧のような非常に小さな物体の場合、終端速度は対流によって容易に克服され、地面に到達することすら妨げられるため、無期限に空中に浮遊し続けることができる。大気汚染や霧はその例である。

例えば、空気抵抗に基づくと、スカイダイバーがうつ伏せ（つまり顔を下にして）自由落下する際の終端速度は約55 m/s (180 ft/s)です。^{[ 3 ]}この速度は速度の漸近限界値であり、終端速度に近づくにつれて、身体に作用する力は互いにますます釣り合います。この例では、終端速度の 50.0% の速度にはわずか 3 秒で達し、90% に達するには 8 秒、99% に達するには 15 秒かかります。  

スカイダイバーが手足を縮めると、より高速に達することができる（フリーフライングも参照）。^{[ 3 ]}この場合、終端速度は約90 m/s (300 ft/s)まで上昇し、これはハヤブサが獲物に向かって急降下する際の終端速度とほぼ同じである。^{[ 4 ]} 1920 年の米国陸軍兵器局の研究によると、一般的な.30-06弾丸が上向きに発射されたり、塔から落とされたりして地面に戻る場合、同じ終端速度に達する。^{[ 5 ]}  

競技スピードスカイダイバーは頭を下にした姿勢で飛行し、150 m/s (490 ft/s)の速度に達することができます。現在の記録はフェリックス・バウムガルトナーが保持しており、彼は38,887 m (127,582 ft)の高度からジャンプして380 m/s (1,200 ft/s)に達しましたが、彼はこの速度を、空気密度が地表よりもはるかに低い高高度で達成したため、それに応じて抗力も低くなっています。^{[ 6 ]}      

生物学者のJBSホールデンは次のように書いた。

ネズミやそれより小さな動物にとって、重力は実質的に危険ではありません。ネズミを千ヤードの鉱山坑道に落としても、底に着いたときには軽い衝撃を受けるだけで、そのまま歩き去ります。ネズミは死に、人間は骨折し、馬は水しぶきを上げます。空気抵抗は、運動する物体の表面積に比例するからです。動物の長さ、幅、高さをそれぞれ10で割ると、重量は1000分の1に減りますが、表面積は100分の1にしかなりません。したがって、小さな動物の場合、落下に対する抵抗は、推進力に比べて相対的に10倍大きくなります。^{[ 7 ]}

空気中を落下する際の終端速度は、粘性が抗力に比べて無視できるほど小さく、浮力の影響を考慮しない場合、次式で与えられる。 $${\displaystyle V_{t}={\sqrt {\frac {2mg}{\rho AC_{d}}}}}$$ どこ

• ${\displaystyle V_{t}}$終端速度を表す。
• ${\displaystyle m}$は落下する物体の質量です。
• ${\displaystyle g}$重力による加速度は、
• ${\displaystyle C_{d}}$は抗力係数です。
• ${\displaystyle \rho }$は物体が落下する流体の密度であり、
• ${\displaystyle A}$は物体の投影面積です。 ^{[ 8 ]}

実際には、物体は漸近的に終端速度に近づきます。

周囲の流体による物体への上向きの力による浮力効果は、アルキメデスの原理を用いて考慮することができる。質量${\displaystyle m}$置換された流体質量分だけ減らす必要がある${\displaystyle \rho V}$、 と${\displaystyle V}$物体の体積。${\displaystyle m}$換算質量を使用する${\displaystyle m_{r}=m-\rho V}$この式および以降の式において。

物体の終端速度は、流体の特性、物体の質量、および投影断面積によって変化する。

空気密度は高度が低下するにつれて増加し、約80メートル（260フィート）ごとに約1%ずつ減少します（気圧の公式を参照）。大気中を落下する物体の場合、160メートル（520フィート）落下するごとに終端速度は1%減少します。局所終端速度に達した後も落下を続けると、速度は局所終端速度に応じて減少します。  

数学的な用語を用いて、下向きを正と定義すると、地球表面付近を落下する物体に作用する正味の力は（抗力方程式によれば）次のようになる。

$${\displaystyle F_{\text{net}}=ma=mg-{\frac {1}{2}}\rho v^{2}AC_{d},}$$

v ( t )は時間tの関数としての物体の速度です。

平衡状態では、正味の力はゼロ ( F _net = 0) ^{[ 9 ]}であり、速度は終端速度lim _{t →∞} v ( t ) = V _tになります。

$${\displaystyle mg-{1 \over 2}\rho V_{t}^{2}AC_{d}=0.}$$

V _tについて解くと次のようになる。

ρ、g、C _dを定数と 仮定すると、抗力方程式は次のようになる。$${\displaystyle ma=m{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}=mg-{\frac {1}{2}}\rho v^{2}AC_{d}.}$$

これはリッカチ方程式であり、2階線形微分方程式に還元することで解くことができますが、変数分離する方が簡単です。

この方程式のより実用的な形式は、 α ² = ⁠ ρAC _d / 2 mg ⁠という置換を行うことで得られます。

両辺をmで割ると $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}=g\left(1-\alpha ^{2}v^{2}\right).}$$

この方程式は次のように変形できます。 $${\displaystyle \mathrm {d} t={\frac {\mathrm {d} v}{g(1-\alpha ^{2}v^{2})}}.}$$

両辺を積分すると $${\displaystyle \int _{0}^{t}{\mathrm {d} t'}={1 \over g}\int _{0}^{v}{\frac {\mathrm {d} v'}{1-\alpha ^{2}v^{\prime 2}}}.}$$

統合後、これは $${\displaystyle t-0={1 \over g}\left[{\ln(1+\alpha v') \over 2\alpha }-{\frac {\ln(1-\alpha v')}{2\alpha }}+C\right]_{v'=0}^{v'=v}={1 \over g}\left[{\ln {\frac {1+\alpha v'}{1-\alpha v'}} \over 2\alpha }+C\right]_{v'=0}^{v'=v}}$$

またはより簡単な形で $${\displaystyle t={1 \over 2\alpha g}\ln {\frac {1+\alpha v}{1-\alpha v}}={\frac {\mathrm {artanh} (\alpha v)}{\alpha g}},}$$ artanh は逆双曲線正接関数です。

あるいは、 $${\displaystyle {\frac {1}{\alpha }}\tanh(\alpha gt)=v,}$$ tanhは双曲線正接関数です。gが正であると仮定し（これは定義されています）、αを代入し直すと、速度vは次のようになります。 $${\displaystyle v={\sqrt {\frac {2mg}{\rho AC_{d}}}}\tanh \left(t{\sqrt {\frac {g\rho AC_{d}}{2m}}}\right).}$$

終端速度の公式を使用する $${\displaystyle V_{t}={\sqrt {\frac {2mg}{\rho AC_{d}}}}}$$ この方程式は次のように書き換えることができます。 $${\displaystyle v=V_{t}\tanh \left(t{\frac {g}{V_{t}}}\right).}$$

時間が無限大に近づくにつれて（t → ∞）、双曲線正接は 1 に近づき、終端速度が $${\displaystyle V_{t}=\lim _{t\to \infty }v(t)={\sqrt {\frac {2mg}{\rho AC_{d}}}}.}$$

流体の動きが非常に遅い場合、流体の慣性力は他の力に比べて無視できるほど小さい（質量のない流体を仮定）。このような流れはクリープ流またはストークス流と呼ばれ、流れがクリープ流となる条件はレイノルズ数である。${\displaystyle Re\ll 1}$クリープ流の運動方程式（簡略化されたナビエ・ストークス方程式）は次のように表される。

$${\displaystyle {\mathbf {\nabla } }p=\mu \nabla ^{2}{\mathbf {v} }}$$

どこ：

• ${\displaystyle \mathbf {v} }$は流体速度ベクトル場です。
• ${\displaystyle p}$流体圧力場は、
• ${\displaystyle \mu }$は液体/流体の粘度です。

球体周りのクリープ流の解析解は、1851年にストークスによって初めて与えられた。 ^{[ 10 ]} ストークスの解から、直径の球体に作用する抗力は${\displaystyle d}$入手方法

ここでレイノルズ数は、${\displaystyle Re={\frac {\rho d}{\mu }}V}$式（ 6）で与えられる抗力の表現はストークスの法則と呼ばれます。

値が${\displaystyle C_{d}}$式（5）に代入すると、クリープ流条件下で移動する球状物体の終端速度の式が得られます。^{[ 11 ]}

$${\displaystyle V_{t}={\frac {gd^{2}}{18\mu }}\left(\rho _{s}-\rho \right),}$$ どこ$\displaystyle \rho _{s}}$は物体の密度です。

クリープフローの解析結果は、海底付近の堆積物の沈降や大気中の水滴の落下を研究する際に応用できる。この原理は、油、パラフィン、タールなどの高粘性流体の粘度を測定する実験装置である落球式粘度計にも応用されている。

浮力の影響を考慮すると、物体が自身の重力で流体中を落下する場合、物体に作用する正味の力がゼロになると終端速度（沈降速度）に達することがあります。終端速度に達すると、物体の重力は上向きの浮力と抗力によって正確に釣り合います。つまり、

どこ

• ${\displaystyle W}$物体の重さは、
• ${\displaystyle F_{b}}$は物体に作用する浮力であり、
• ${\displaystyle D}$は物体に作用する抗力です。

落下する物体が球形の場合、3つの力の式は以下のとおりです。

どこ

• ${\displaystyle d}$は球状物体の直径です。
• ${\displaystyle g}$重力加速度は、
• ${\displaystyle \rho }$は流体の密度です。
• $\displaystyle \rho _{s}}$は物体の密度です。
• ${\displaystyle A={\frac {1}{4}}\pi d^{2}}$は球の投影面積です。
• ${\displaystyle C_{d}}$は抗力係数であり、
• ${\displaystyle V}$は特性速度（終端速度として取られる）です。${\displaystyle V_{t}}$)

式（2～4）を式（1）に代入し、終端速度について解くと、${\displaystyle V_{t}}$次の式が得られる

式（１）では、物体が流体よりも密度が高いと仮定しています。そうでない場合、物体は重力に逆らって上向きに移動することになるため、抗力の符号は負にする必要があります。例としては、シャンパングラスの底にできる泡やヘリウム風船などが挙げられます。このような場合、終端速度は上昇速度に対応する負の値になります。

• ストークスの法則
• 終末弾道学

• 終端速度インタラクティブツール- NASAサイト、航空学入門ガイド
• スペースシャトルの固体ロケットブースターが、大気圏突入時に終端速度まで急速に減速する様子を捉えた機内映像。 2015年11月27日にWayback Machineにアーカイブ済み。映像の5:15時点で時速2,900マイル（マッハ3.8）だった速度が、 90秒後の6:45にパラシュートが展開される時点で時速220マイルまで減速する様子が映っている。NASAの映像と音声、@io9.com。  
• ヘイウッド表法による、現実的なすべてのレイノルズ数における球体の終端沈降速度。