位置（幾何学）

3次元空間では、任意の3次元座標とその対応する基底ベクトルを用いて、空間内の点の位置を定義することができる。その際、最も単純な方法を用いることができる。

一般的には、おなじみのデカルト座標系、あるいは球面極座標系、円筒座標系が用いられる。

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {r} (t)&\equiv \mathbf {r} (x,y,z)\equiv x(t)\mathbf {\hat {e}} _{x}+y(t)\mathbf {\hat {e}} _{y}+z(t)\mathbf {\hat {e}} _{z}\\&\equiv \mathbf {r} (r,\theta ,\phi )\equiv r(t)\mathbf {\hat {e}} _{r}{\big (}\theta (t),\phi (t){\big )}\\&\equiv \mathbf {r} (r,\phi ,z)\equiv r(t)\mathbf {\hat {e}} _{r}{\big (}\phi (t){\big )}+z(t)\mathbf {\hat {e}} _{z},\\\end{aligned}}}$

ここでtはパラメータであり、直交または円形の対称性によるものです。これらの異なる座標と対応する基底ベクトルは、同じ位置ベクトルを表します。代わりに、より一般的な曲線座標を使用することもできます。これは、連続体力学や一般相対性理論などの文脈で使用されています（後者の場合は、追加の時間座標が必要です）。

線形代数では、 n次元の位置ベクトルを抽象化することができます。位置ベクトルは、基底ベクトルの線形結合として表現できます。 ^{[ 3 ] [ 4 ]}

${\displaystyle \mathbf {r} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}\mathbf {e} _{i}=x_{1}\mathbf {e} _{1}+x_{2}\mathbf {e} _{2}+\dotsb +x_{n}\mathbf {e} _{n}.}$

すべての位置ベクトルの集合は位置空間（要素が位置ベクトルであるベクトル空間）を形成します。なぜなら、位置は加算（ベクトル加算）や長さのスケーリング（スカラー乗算）によって、空間内の別の位置ベクトルを得ることができるからです。「空間」という概念は直感的です。各x _i ( i = 1, 2, …, n ) は任意の値をとることができ、値の集合が空間内の点を定義します。

位置空間の次元は n です( dim ( R ) = n とも表記されます)。基底ベクトルe _iに関するベクトルrの座標はx _iです。座標ベクトルは、座標ベクトルまたはnタプル( x ₁ , x ₂ , …, x _n )を形成します。

各座標x _{i は}、複数のパラメータtでパラメータ化できます。1 つのパラメータx _i ( t ) は曲線の 1 次元パスを表し、2 つのパラメータx _i ( t ₁ , t ₂ ) は曲線の 2 次元表面を表し、3 つのx _i ( t ₁ , t ₂ , t ₃ ) は曲線の 3 次元空間を表し、以下同様です。

The linear span of a basis set B = {e₁, e₂, …, e_n} equals the position space R, denoted span(B) = R.

Position vector fields are used to describe continuous and differentiable space curves, in which case the independent parameter needs not be time, but can be (e.g.) arc length of the curve.

In any equation of motion, the position vector r(t) is usually the most sought-after quantity because this function defines the motion of a particle (i.e. a point mass) – its location relative to a given coordinate system at some time t.

To define motion in terms of position, each coordinate may be parametrized by time; since each successive value of time corresponds to a sequence of successive spatial locations given by the coordinates, the continuum limit of many successive locations is a path the particle traces.

In the case of one dimension, the position has only one component, so it effectively degenerates to a scalar coordinate. It could be, say, a vector in the x direction, or the radial r direction. Equivalent notations include

${\displaystyle \mathbf {x} \equiv x\equiv x(t),\quad r\equiv r(t),\quad s\equiv s(t).}$