物質の安定性

19世紀末には、電磁力が物質を結合させていることが理解されていました。しかし、2つの問題が同時に存在していました。^{[ 6 ]} 1842年のアーンショーの定理は、帯電した物体は静電気力のみの影響下では安定した平衡状態にはなれないことを証明しました。^{[ 6 ]} 2つ目の問題は、ジェームズ・クラーク・マクスウェルが、加速された電荷が電磁放射を生成し、それが電荷の運動を減少させることを示したことです。^{[ 6 ]} 1900年、ジョセフ・ラーモアは、物質内部の軌道上の電子を持つ電磁システムの可能性を示唆しました。彼は、そのようなシステムが存在する場合、距離と振動時間をスケーリングすることで縮小できることを示しましたが、これは分子レベルでのクーロンの法則の修正を示唆していました。^{[ 6 ]}したがって、古典物理学は物質の安定性を説明できず、 20世紀初頭に発展した量子力学によってのみ説明できました。 ^{[ 6 ]}

フリーマン・ダイソンは1967年に^{[ 7 ]} 、すべての粒子がボソンである場合、不等式( 1 )は成り立たず、系は熱力学的に不安定であることを示した。実際、この場合、エネルギーは次のように変化することが後に証明された。${\displaystyle N^{7/5}}$直線的ではなく${\displaystyle N}$. ^{[ 8 ] [ 9 ]} したがって、正または負の電荷がフェルミオンであることが重要です。言い換えれば、物質の安定性はパウリの排他原理の結果です。現実世界では電子は確かにフェルミオンですが、パウリの原理を正しく使用して安定性を証明する方法を見つけることは非常に困難であることがわかりました。マイケル・フィッシャーとデイビッド・リュエルは1966年にこの予想を形式化しました^{[ 10 ]}ダイソンによると、フィッシャーとリュエルはそれを証明できる人にシャンパン1本を提供しました。 ^{[ 11 ]}ダイソンとレナードは1年後に( 1 )の証明を見つけ^{[ 1 ] [ 2 ]}、そのためボトルを手に入れました。

先に述べたように、安定性は巨視的な物体の存在に必要な条件ではあるが、熱力学的関数の存在を直ちに意味するものではない。エネルギーが粒子の数に対して実際に線形に振る舞うことを示す必要がある。ダイソン・レナードの結果に基づいて、これは1972年にエリオット・リープとジョエル・レボウィッツによって独創的な方法で解決された。 ^{[ 12 ]}

ダイソン自身によれば、ダイソン・レナード証明は「非常に複雑で難しい」^{[ 11 ]}ものであり、深く退屈な解析的境界に依存している。得られた定数${\displaystyle C}$( 1 ) も非常に大きかった。1975年、エリオット・リープとウォルター・ティリングは、スペクトル不等式（現在リープ・ティリング不等式と呼ばれている）に基づいた、より単純で概念的な証明を見つけた。^{[ 3 ] [ 13 ]} 彼らは定数を得た。${\displaystyle C}$これはダイソン・レナード定数よりも数桁小さく、現実的な値であった。彼らは最終的な不等式にたどり着いた。

どこ${\displaystyle Z=\max(z_{k})}$は最大の核電荷であり、${\displaystyle q}$は電子スピン状態の数であり、2です。${\displaystyle N^{1/3}K^{2/3}\leq N+K}$これにより、望ましい線形下限（1）が得られます。リープ・ティリングのアイデアは、トーマス・フェルミエネルギーを用いて量子エネルギーを下限で制限することでした。後者は、トーマス・フェルミモデルでは原子が結合することはないというエドワード・テラーの定理により常に安定しています。^{[ 14 ] [ 15 ] [ 16 ]} リープ・ティリングの不等式は、トーマス・フェルミ運動エネルギーを用いて電子の量子運動エネルギーを制限するために使用されました。${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{3}}\rho (x)^{\frac {5}{3}}d^{3}x}$テラーの無拘束定理は、実際にはトーマス・フェルミ理論に現れるより単純なハートリーエネルギーの観点から、全クーロン相互作用を下から制限するためにも使用されました。リープ・ティリングの証明について、ダイソンは後に次のように書いています^{[ 17 ] [ 18 ]}

レナードと私は1967年に物質の安定性の証明を見つけました。私たちの証明はあまりにも複雑で分かりにくかったため、リープとティリングが初めてまともな証明を見つけるきっかけとなりました。（…）なぜ私たちの証明はひどく、彼らの証明は素晴らしかったのでしょうか？理由は簡単です。レナードと私は数学的なトリックから始め、物理的な理解を全く持たずに不等式の森を切り開いていきました。リープとティリングは物理的な理解から始め、その理解を厳密にするための適切な数学的言語を見つけ出しました。私たちの証明は行き止まりでした。彼らの証明は新しいアイデアの世界への入り口だったのです。

リープ・ティリングのアプローチは、その後多くの研究や拡張を生み出してきた。例えば、(擬似)相対論的システム^{[ 19 ] [ 20 ] [ 21 ] [ 22 ]} 、磁場^{[ 23 ] [ 24 ]、} 量子化場^{[ 25 ] [ 26 ] [ 27 ]} 、2次元分数統計(アニオン) ^{[ 28 ] [ 29 ]}などが 、リープ・ティリングの論文以来研究されてきた。境界( 1 )の形式も長年にわたって改良されてきた。例えば、数に依存しない定数を得ることができる。${\displaystyle K}$原子核の。^{[ 19 ] [ 30 ]}