変位場（力学）

使用${\displaystyle \mathbf {X} }$の代わりに${\displaystyle P_{i}}$そして${\displaystyle \mathbf {x} }$の代わりに${\displaystyle p_{i}\,\!}$どちらも座標系の原点から各点へのベクトルであるため、変位ベクトルの ラグランジュ記述は次のようになります。$${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=u_{i}\mathbf {e} _{i}}$$ どこ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$これらは、物質（物体フレーム）座標系の基底を定義する単位ベクトルです。

物質座標で表すと、${\displaystyle \mathbf {u} }$関数として${\displaystyle \mathbf {X} }$変位場は次のようになります。 $${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=\mathbf {b} (t)+\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)-\mathbf {X} \qquad {\text{or}}\qquad u_{i}=\alpha _{iJ}b_{J}+x_{i}-\alpha _{iJ}X_{J}}$$ どこ$\displaystyle \mathbf {b} (t)$は、剛体の並進移動を表す変位ベクトルです。

変位ベクトルを材料座標に関して偏微分すると、材料変位勾配テンソルが得られる。${\displaystyle \nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} \,\!}$したがって、 $${\displaystyle \nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} =\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {x} -\mathbf {R} =\mathbf {F} -\mathbf {R} \qquad {\text{or}}\qquad {\frac {\partial u_{i}}{\partial X_{K}}}={\frac {\partial x_{i}}{\partial X_{K}}}-\alpha _{iK}=F_{iK}-\alpha _{iK}}$$ どこ${\displaystyle \mathbf {F} }$は材料変形勾配テンソルであり、${\displaystyle \mathbf {R} }$回転です。

オイラー記述では、粒子から伸びるベクトルは${\displaystyle P}$変形前の状態から変形後の状態への変位ベクトルを変位ベクトルと呼びます。 $${\displaystyle \mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)=U_{J}\mathbf {E} _{J}}$$ どこ${\displaystyle \mathbf {E} _{i}}$これらは、空間（実験室座標系）の基底を定義する正規直交単位ベクトルです。

空間座標で表現すると、${\displaystyle \mathbf {U} }$関数として${\displaystyle \mathbf {x} }$変位場は次のようになります。 $${\displaystyle \mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {b} (t)+\mathbf {x} -\mathbf {X} (\mathbf {x} ,t)\qquad {\text{or}}\qquad U_{J}=b_{J}+\alpha _{Ji}x_{i}-X_{J}}$$

空間微分、すなわち変位ベクトルの空間座標に関する偏微分は、空間変位勾配テンソルを与える。${\displaystyle \nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {U} \,\!}$したがって、 $${\displaystyle \nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {U} =\mathbf {R} ^{T}-\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {X} =\mathbf {R} ^{T}-\mathbf {F} ^{-1}\qquad {\text{or}}\qquad {\frac {\partial U_{J}}{\partial x_{k}}}=\alpha _{Jk}-{\frac {\partial X_{J}}{\partial x_{k}}}=\alpha _{Jk}-F_{Jk}^{-1}\,,}$$ どこ${\displaystyle \mathbf {F} ^{-1}=\mathbf {H} }$は空間変形勾配テンソルです。

${\displaystyle \alpha _{Ji}}$は、単位ベクトルを持つ物質座標系と空間座標系の間の方向余弦です。${\displaystyle \mathbf {E} _{J}}$そして${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\,\!}$それぞれ。したがって $${\displaystyle \mathbf {E} _{J}\cdot \mathbf {e} _{i}=\alpha _{Ji}=\alpha _{iJ}}$$

関係${\displaystyle u_{i}}$そして${\displaystyle U_{J}}$は次のように与えられる。 $${\displaystyle u_{i}=\alpha _{iJ}U_{J}\qquad {\text{or}}\qquad U_{J}=\alpha _{Ji}u_{i}}$$

知っておくと $${\displaystyle \mathbf {e} _{i}=\alpha _{iJ}\mathbf {E} _{J}}$$ それから $${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=u_{i}\mathbf {e} _{i}=u_{i}(\alpha _{iJ}\mathbf {E} _{J})=U_{J}\mathbf {E} _{J}=\mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)}$$

変形した構成と変形していない構成の座標系を重ね合わせることは一般的であり、その結果、${\displaystyle \mathbf {b} =0\,\!}$、方向余弦はクロネッカーデルタ、すなわち、 $${\displaystyle \mathbf {E} _{J}\cdot \mathbf {e} _{i}=\delta _{Ji}=\delta _{iJ}}$$

したがって、物質座標（変形前の座標）では、変位は次のように表すことができます。 $${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)-\mathbf {X} \qquad {\text{or}}\qquad u_{i}=x_{i}-\delta _{iJ}X_{J}}$$

そして、空間（変形）座標では、変位は次のように表すことができます。 $${\displaystyle \mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {x} -\mathbf {X} (\mathbf {x} ,t)\qquad {\text{or}}\qquad U_{J}=\delta _{Ji}x_{i}-X_{J}}$$