保守的な力

物理学において、保存力とは、2点間で粒子を移動させる際にその力によって行われる全仕事が、その移動経路に依存しないという性質を持つ力である。 ^{[1]同様に、粒子が閉ループ内を移動する場合、保存力によって行われる全仕事（経路に沿って作用する力の合計に}変位 を掛けたもの）はゼロである。^[2]

保存力は、物体の位置にのみ依存します。力が保存力である場合、任意のポイントでポテンシャルの数値を割り当てることができます。逆に、物体がある場所から別の場所に移動すると、力は、経路に依存せずに物体のポテンシャル エネルギーを一定量変更し、機械的エネルギーと全体的なエネルギー保存に貢献します。力が保存力でない場合は、異なる経路を取ると開始点と終了点の間でポテンシャル差が矛盾するため、スカラー ポテンシャルを定義することはできません。

重力は保存力の一例であり、摩擦力は非保存力の一例です。

保存力の他の例としては、弾性バネの力、2つの電荷間の静電気力、2つの磁極間の磁力などがあります。最後の2つの力は、2つの帯電/磁化された物体の中心を結ぶ線に沿って作用するため、中心力と呼ばれます。中心力は、球対称である場合にのみ保存力となります。^[3]

保守派にとって、

${\displaystyle \mathbf {F_{c}} =-{\frac {\textit {dU}}{d\mathbf {s} }}}$

ここでは保存力、は位置エネルギー、 は位置です。^[4]${\displaystyle F_{c}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle s}$

非公式には、保存力は機械的エネルギーを保存する 力と考えることができます。粒子が点 A から出発し、それに力F が作用しているとします。その後、粒子は他の力によって動かされ、最終的に再び点 A に戻ります。粒子はまだ動いているかもしれませんが、点 A を再び通過する瞬間に、粒子は閉じた経路を移動しています。この時点でFによって行われた正味の仕事が 0 であれば、F は閉経路テストに合格します。すべての可能な閉経路に対して閉経路テストに合格する力は、保存力として分類されます。

重力、バネ力、磁力（いくつかの定義によれば、下記参照）、電気力（少なくとも時間に依存しない磁場においては、詳細はファラデーの電磁誘導の法則を参照）は保存力の例であり、摩擦と空気抵抗は非保存力の典型的な例である。

非保存力の場合、失われた（保存されない）機械的エネルギーは、エネルギー保存則により、どこか別の場所に行かなければなりません。通常、エネルギーは熱に変換されます。たとえば、摩擦によって発生する熱などです。熱に加えて、摩擦はしばしばいくらかの音エネルギーも生成します。動いているボートの水の抵抗により、ボートの機械的エネルギーは熱と音のエネルギーだけでなく、航跡の端の波エネルギーにも変換されます。熱力学の第二法則により、これらおよびその他のエネルギー損失は不可逆的です。

閉じた経路テストの直接的な結果は、任意の 2 点間を移動する粒子に対して保存力によって行われる仕事は、粒子がたどる経路に依存しないということです。

これは右の図に示されています。重力が物体に及ぼす仕事は、重力が保存力であるため、物体の高さの変化にのみ依存します。保存力によって行われる仕事は、そのプロセス中の位置エネルギーの変化の負数に等しくなります。証明のために、ポイント A からポイント B に向かう 2 つの経路 1 と 2 を想像してください。経路 1 で A から B に進み、次に経路 2 で B から A に戻る場合の粒子のエネルギー変化は 0 です。したがって、経路 1 と 2 の仕事は同じです。つまり、A から B に進む限り、仕事は経路に依存しません。

たとえば、子供が摩擦のない滑り台を滑り降りる場合、滑り台の始めから終わりまでの間に子供にかかる重力による仕事は、滑り台の形状とは関係なく、子供の垂直方向の変位のみに依存します。

空間内のあらゆる場所（または単連結空間内）で定義される力場 F は、次の3つの 同等の条件のいずれかを満たす場合、保存力または保存ベクトル場と呼ばれます。

1. Fの回転はゼロベクトルです。2次元では、これは次のように簡約されます。$${\displaystyle \mathbf {\nabla } \times \mathbf {F} =\mathbf {0} .}$$$${\displaystyle {\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}=0}$$
2. 同じ場所から始まり同じ場所で終わる軌道に沿って粒子を移動させる場合、力によって行われる正味の仕事( W )はゼロです。$${\displaystyle W\equiv \oint _{C}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} =0.}$$
3. 力はポテンシャルの負の勾配として表すことができます。${\displaystyle \Phi }$$${\displaystyle \mathbf {F} =-\mathbf {\nabla } \Phi .}$$

保存力という用語は、保存力が存在する場合、機械的エネルギーが保存されるという事実に由来します。最もよく知られている保存力は、重力、電気力（時間に依存しない磁場の場合、ファラデーの法則を参照）、およびバネ力です。

多くの力（特に速度に依存する力）は力場ではありません。これらの場合、上記の3つの条件は数学的に同等ではありません。たとえば、磁力は条件2を満たしますが（荷電粒子に対する磁場による仕事は常にゼロであるため）、条件3は満たさず、条件1は定義されていません（力はベクトル場ではないため、その回転を評価できません）。したがって、磁力を保存力として分類する著者もいますが、^[5]そうでない著者もいます。^[6]磁力は珍しいケースです。摩擦などの速度に依存する力のほとんどは、3つの条件のいずれも満たさないため、非保存力であることは明らかです。

全エネルギーは保存されるにもかかわらず、古典物理学では、自由度を無視したり、時間依存のポテンシャルから非保存力が生じることがあります。 ^[7] 多くの非保存力は、小規模な保存力のマクロな効果として認識されることがあります。^[8]たとえば、摩擦は、個々の分子の運動を考慮することで、エネルギー保存則に違反することなく扱うことができます。ただし、これは、統計的手法で処理するのではなく、すべての分子の運動を考慮しなければならないことを意味します。マクロなシステムの場合、非保存近似は、何百万もの自由度を扱うよりもはるかに扱いやすいです。

非保存力の例としては、摩擦と非弾性材料の応力がある。摩擦は、物体の大規模な運動のエネルギーの一部をその内部の小規模な運動に移す効果があり、そのため大規模では非保存的に見える。^[8] 一般相対性理論は、水星の軌道の異常な歳差運動に見られるように、非保存的である。^{[要出典]しかし、一般相対性理論は}、応力-エネルギー-運動量擬似テンソルを保存する。

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