歳差運動

歳差運動とは、回転体の回転軸の向きの変化のことです。適切な基準系では、歳差運動は第1オイラー角の変化として定義され、第3オイラー角は回転そのものを定義します。言い換えれば、物体の回転軸自体が第2軸を中心に回転している場合、その物体は第2軸を中心に歳差運動をしていると言えます。第2オイラー角が変化する運動は章動と呼ばれます。物理学では、歳差運動にはトルクフリー歳差運動とトルク誘起歳差運動の2種類があります。       

天文学において、歳差運動とは、天体の自転軸または公転軸のパラメータにおける、いくつかの緩やかな変化を指します。重要な例としては、地球の自転 軸の向きが着実に変化する現象、すなわち歳差運動が挙げられます。  

トルクフリー歳差運動とは、物体に外部モーメント（トルク）が加わらないことを意味します。トルクフリー歳差運動では、角運動量は一定ですが、角速度ベクトルは時間とともに方向が変わります。これを可能にするのは、時間とともに変化する慣性モーメント、 より正確には、時間とともに変化する慣性行列です。慣性行列は、 物体の慣性モーメントを、それぞれ異なる座標軸 （例えば、x、y、z）に関して計算したものです。物体が主回転軸に対して非対称である場合、各座標方向に関する慣性モーメントは、角運動量を維持しながら時間とともに変化します。その結果、各軸に関する物体の角速度成分は、各軸の慣性モーメントに反比例して変化します。    

円盤などの対称軸を持つ物体が、その 対称軸と一致しない軸を中心に回転する場合のトルクのない歳差運動速度は、次のように計算できます。^{[ 1 ]}$${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}_{\mathrm {p} }={\frac {{\boldsymbol {I}}_{\mathrm {s} }{\boldsymbol {\omega }}_{\mathrm {s} }}{{\boldsymbol {I}}_{\mathrm {p} }\cos({\boldsymbol {\アルファ }})}}}$$ ここで、ω _pは歳差運動率、ω _sは対称軸周りの回転速度、I _sは対称軸周りの慣性モーメント、I _pは他の 2 つの等しい垂直な主軸のいずれか周りの慣性モーメント、αは慣性モーメントの方向と対称軸の間の角度である。^{[ 2 ]}

物体が完全に剛体でない場合、非弾性散逸はトルクのない歳差運動を減衰させる傾向があり、^{[ 3 ]}回転軸は物体の慣性軸の1つと一致する。

対称軸を持たない一般的な固体物体の場合、物体の向きの変化は、例えば内部座標から外部座標への変換を行う回転行列Rによって表され、数値的にシミュレートすることができます。物体の固定された内部慣性モーメントテンソルI ₀と固定された外部角運動量Lが与えられた場合、瞬間角速度は次のようになります 。$${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\left({\boldsymbol {R}}\right)={\boldsymbol {R}}{\boldsymbol {I}}_{0}^{-1}{\boldsymbol {R}}^{T}{\boldsymbol {L}}}$$歳差運動は、 ωを 繰り返し再計算し、短い時間dtの間、小さな回転ベクトルωdtを適用することによって発生します。例： $$\displaystyle {\boldsymbol {R}}_{\text{new}}=\exp \left(\left[{\boldsymbol {\omega }}\left({\boldsymbol {R}}_{\text{old}}\right)\right]_{\times }dt\right){\boldsymbol {R}}_{\text{old}}}$$歪対称行列[ ω ] _× の場合。有限時間ステップによって生じる誤差は、回転運動エネルギーを増加させる傾向がある。 $${\displaystyle E\left({\boldsymbol {R}}\right)={\boldsymbol {\omega }}\left({\boldsymbol {R}}\right)\cdot {\frac {\boldsymbol {L}}{2}}}$$この非物理的な傾向は、 ωとLの両方に垂直な 小さな回転ベクトルvを繰り返し適用することで打ち消すことができる。 $${\displaystyle E\left(\exp \left(\left[{\boldsymbol {v}}\right]_{\times }\right){\boldsymbol {R}}\right)\approx E\left({\boldsymbol {R}}\right)+\left({\boldsymbol {\omega }}\left({\boldsymbol {R}}\right)\times {\boldsymbol {L}}\right)\cdot {\boldsymbol {v}}}$$

トルク誘起歳差運動（ジャイロスコープ歳差運動）とは、回転する物体（例えばジャイロスコープ）に外部トルクが加えられた際に、その軸が空間内で円錐を描く現象のことです。この現象は回転するおもちゃのコマでよく見られますが、回転する物体はすべて歳差運動を起こす可能性があります。回転速度と外部トルクの大きさが一定の場合、回転軸は外部トルクによって直感的に生じる方向に対して直角に移動します。おもちゃのコマの場合、重心から下向きに重力が働き、地面との接触点では地面からの垂直抗力（反力）が上向きに働いています。これら2つの反対方向の力がトルクを生み出し、コマが歳差運動を起こします。  

右側に示されている装置はジンバル式である。内側から外側に向かって、回転軸は3つある。すなわち、車輪のハブ、ジンバル軸、そして垂直方向の支点である。

2つの水平軸を区別するために、ホイールハブを中心とした回転をスピニング、ジンバル軸を中心とした回転をピッチングと呼びます。垂直ピボット軸を中心とした回転は回転と呼ばれます。

まず、装置全体が（垂直方向の）支点軸を中心に回転していると想像してください。次に、ホイール（ホイールハブの周り）の回転が加わります。ジンバル軸が固定されているため、ホイールがピッチングできないと想像してください。ジンバル軸には、ジンバル軸周りのトルクの有無を測定するセンサーが備わっています。

図では、車輪の一部がdm ₁と名付けられています。図示された時点では、セクションdm _{1 は}(垂直) 支点軸を中心とした回転運動の周縁にあります。したがって、セクションdm _{1 は}支点軸を中心とした回転に対して大きな角回転速度を持ち、車輪がさらに回転することによって dm 1 が回転の支点軸に近づくにつれて、垂直支点軸に対するコリオリ効果により_、 dm 1は_支点軸を中心とした回転方向の図の左上の矢印 (45° で示されている) の方向に移動する傾向があります。^{[ 4 ]}車輪の セクションdm _{2は支点軸から遠ざかっているため、力 (ここでもコリオリ力) は}dm ₁の場合と同じ方向に作用します。両方の矢印が同じ方向を指していることに注意してください。

ホイールの下半分についても同じことが言えますが、下半分の矢印は上半分の矢印とは逆方向を指しています。ホイール全体で考えると、垂直軸周りの回転に回転運動が加わると、ジンバル軸の周りにトルクが発生します。

ジンバル軸周りのトルクは遅延なく発生し、応答は瞬時である。

上記の議論では、ジンバル軸周りのピッチングを防ぐことで、セットアップを一定に保っていました。回転するおもちゃのコマの場合、コマが傾き始めると、重力がトルクを発生させます。しかし、コマは転がるのではなく、わずかにピッチングするだけです。このピッチング運動によって、コマは発生しているトルクに対して向きを変えます。その結果、ピッチング運動を介して重力によって発生するトルクは、コマを横倒しにするのではなく、ジャイロスコープ歳差運動（重力トルクに逆らう反作用トルクを生み出す）を引き起こします。  

歳差運動、すなわちジャイロスコープの原理は、高速走行時の自転車の性能に影響を与える。また、歳差運動はジャイロコンパスの仕組みにもなっている。

古典力学（ニュートン力学）

歳差運動とは、トルクによって生じる角速度と角運動量の変化のことである。トルクと角運動量の変化率の関係を表す一般式は以下のとおりである。 $${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}}$$ どこ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}$そして${\displaystyle \mathbf {L} }$はそれぞれトルクベクトルと角運動量ベクトルである。

トルクベクトルの定義方法から、トルクベクトルはそれを生み出す力の平面に垂直なベクトルとなります。したがって、角運動量ベクトルはこれらの力に垂直な方向に変化することがわかります。力の発生方法によっては、角運動量ベクトルとともに回転し、その結果、円歳差運動が生じます。

このような状況下では、歳差運動の角速度は次のように表されます。^{[ 5 ]}

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}_{\mathrm {p} }={\frac {\ mgr}{I_{\mathrm {s} }{\boldsymbol {\omega }}_{\mathrm {s} }}}={\frac {\tau }{I_{\mathrm {s} }{\boldsymbol {\omega }}_{\mathrm {s} }\sin(\theta )}}}$

ここで、I _sは慣性モーメント、ω _sはスピン軸周りの回転角速度、mは質量、gは重力加速度、θはスピン軸と歳差運動軸の間の角度、rは質量中心と支点間の距離です。トルクベクトルは質量中心から発生します。ω = ⁠ 2π / T ⁠を使用すると、歳差運動の周期は次のように与えられます。 ^{[ 6 ]}$${\displaystyle T_{\mathrm {p} }={\frac {4\pi ^{2}I_{\mathrm {s} }}{\ mgrT_{\mathrm {s} }}}={\frac {4\pi ^{2}I_{\mathrm {s} }\sin(\theta )}{\ \tau T_{\mathrm {s} }}}}$$

ここで、I _sは慣性モーメント、T _sはスピン軸周りの回転周期、τはトルクです。ただし、一般的には、問題はこれよりも複雑です。

天文学において、歳差運動とは、重力によって引き起こされる、天体の自転軸または軌道の緩やかで継続的な変化の総称です。春分点歳差運動、 近日点歳差運動、地球の自転軸の傾き の変化、そして数万年にわたる軌道の離心率の変化は、いずれも氷河期に関する天文学的理論の重要な要素です。  

軸歳差運動（分点歳差運動）

歳差運動とは、天体の自転軸がゆっくりと円錐を描くように動く現象です。地球の場合、この種の歳差運動は、分点歳差 、月太陽歳差、または赤道歳差  とも呼ばれます。地球は約26,000年、つまり72年ごとに1°ずつ歳差運動の周期を一周し 、その間、星の位置は赤道座標と黄道経度の両方でゆっくりと変化します。この周期の間、地球の北極は現在位置（北極星から1°以内）から黄道 極の周りを約23.5°の半径で円を描いて移動します 。

古代ギリシャの天文学者ヒッパルコス（紀元前190～120年頃）は、一般的に、分点の歳差運動を1世紀あたり約1° （古代の実際の値1.38°とそれほどかけ離れていない）と認識し評価した最初期の天文学者として認められているが、彼が本当にそうであったかどうかについては若干の議論がある。^{[ 7 ] [ 8 ]}古代中国では、晋王朝の学者官僚である于熙（西暦307～345年活躍）が数世紀後に同様の発見をし、冬至の太陽の位置が星の位置に対して50年かけて約1度ずれていることに気づいた。^{[ 9 ]}地球の自転軸の歳差運動は後にニュートン力学によって説明された。地球は扁平な回転楕円体であるため、赤道付近が外側に膨らんだ非球形をしている。月と太陽の重力潮汐力は赤道にトルクを加え、赤道の膨らみを黄道面に引き込もうとしますが、実際には歳差運動を引き起こします。惑星、特に木星が及ぼすトルクも影響を与えます。^{[ 10 ]}      

地軸の歳差運動（左）、遠方の恒星に対する春分点の歳差運動（中央）、歳差運動によって恒星の間を移動する北天の極の軌跡。ベガは下部付近の明るい星である（右）。

後縁歳差運動

太陽の周りを回る惑星の軌道は、毎回全く同じ楕円を描くわけではなく、実際には花びらのような形を描きます。これは、各惑星の楕円軌道の長軸が、他の惑星が及ぼす重力の変化といった摂動に応じて、軌道面内で歳差運動を起こすためです。この歳差運動は、近日点歳差運動または遠点歳差運動と呼ばれます。

添付図では、地球の近点歳差運動が示されています。地球が太陽の周りを公転するにつれて、その楕円軌道は時間とともに徐々に回転します。図では、視覚化のために楕円の離心率と歳差運動の速度が誇張されています。太陽系のほとんどの軌道は、離心率がはるかに小さく、歳差運動の速度もはるかに遅いため、ほぼ円形でほぼ静止しています。

水星の観測された近日点歳差率と古典力学によって予測された歳差率との間の不一致は、アインシュタインの相対性理論（特に一般相対性理論）の受容につながった実験的証拠の中でも顕著なものであり、この理論は異常を正確に予測した。^{[ 11 ] [ 12 ]}ニュートンの法則から逸脱して、アインシュタインの重力理論は⁠ A / r ⁴ ⁠という追加項を予測し、これは観測された過剰な回転率を正確に与える。 1世紀あたり43秒角 。

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