期待値（量子力学）

量子力学 において、期待値とは、実験結果（測定値）の確率的な期待値のことです。これは、測定のあらゆる可能な結果を​​それぞれの発生確率で重み付けした平均値と考えることができ、したがって、測定値の最も確率の高い値ではありません。実際、統計学における期待値と同様に、期待値が発生する確率はゼロになる場合もあります（例えば、整数値しか得られない測定でも、平均値は非整数になることがあります）。これは、量子物理学のあらゆる分野における基本的な概念です。

演算子を考える${\displaystyle A}$期待値は${\displaystyle \langle A\rangle =\langle \psi |A|\psi \rangle }$ディラック記法では${\displaystyle |\psi \rangle }$正規化された状態ベクトル。

量子論では、実験装置は観測可能な${\displaystyle A}$測定されるべきもの、そしてその状態${\displaystyle \sigma }$システムの期待値${\displaystyle A}$州内で${\displaystyle \sigma }$は次のように表されます${\displaystyle \langle A\rangle _{\sigma }}$。

数学的には、${\displaystyle A}$は、分離可能な複素ヒルベルト空間上の自己共役演算子です。量子力学で最も一般的に使用されるケースでは、${\displaystyle \sigma }$^{は、正規化された[ a ]}ベクトルで記述される純粋状態です。${\displaystyle \psi }$ヒルベルト空間において。期待値は${\displaystyle A}$州内で${\displaystyle \psi }$は次のように定義される。

ダイナミクスを考慮すると、ベクトル${\displaystyle \psi }$またはオペレーター${\displaystyle A}$は、シュレーディンガー描像を用いるかハイゼンベルク描像を用いるかによって、時間依存性を持つものとみなされる。ただし、期待値の発展は、この選択に依存しない。

もし${\displaystyle A}$完全な固有ベクトルセットを持つ$\displaystyle \phi _{j}}$固有値を持つ${\displaystyle a_{j}}$となることによって${\displaystyle A=\sum _{j}a_{j}|\phi _{j}\rangle \langle \phi _{j}|,}$すると（１ ）は^[１]と表現できる。

この表現は算術平均に似ており、数学的定式化の物理的意味を示しています。固有値${\displaystyle a_{j}}$実験の可能な結果^{[ b ]}と、それに対応する係数${\displaystyle |\langle \psi |\phi _{j}\rangle |^{2}}$これは、この結果が発生する確率であり、遷移確率と呼ばれることが多い。

特に単純なケースは次のような場合に発生する。${\displaystyle A}$これは射影であり、固有値は0と1のみである。これは物理的には「はい・いいえ」型の実験に対応する。この場合、期待値は実験結果が「1」となる確率であり、次のように計算できる。

量子論では、位置演算子のように、演算子が非離散スペクトルを持つこともあり得る。${\displaystyle X}$量子力学において、この演算子は完全に連続なスペクトルを持ち、その固有値と固有ベクトルは連続パラメータに依存します。${\displaystyle x}$具体的には、オペレーター${\displaystyle X}$空間ベクトルに作用する${\displaystyle |x\rangle }$として${\displaystyle X|x\rangle =x|x\rangle }$[ ^{2 ]この場合、}ベクトル${\displaystyle \psi }$複素数値関数として記述できる${\displaystyle \psi (x)}$スペクトル上で${\displaystyle X}$（通常は実数直線）。これは形式的には状態ベクトルを射影することによって実現される。${\displaystyle |\psi \rangle }$離散の場合と同様に、演算子の固有値に作用する。${\textstyle \psi (x)\equiv \langle x|\psi \rangle }$位置演算子の固有ベクトルは状態のベクトル空間の完全基底を形成し、したがって量子力学における完全性関係を満たすことがわかった。 $${\displaystyle \int |x\rangle \langle x|\,dx\equiv \mathbb {I} }$$

上記を用いて、期待値のベクトル表現に恒等式を挿入し、位置基底で展開することにより、期待値（ 4 ）の一般的な積分表現を導出することができる。

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle X\rangle _{\psi }&=\langle \psi |X|\psi \rangle =\langle \psi |\mathbb {I} X\mathbb {I} |\psi \rangle \\&=\iint \langle \psi |x\rangle \langle x|X|x'\rangle \langle x'|\psi \rangle dx\ dx'\\&=\iint \langle x|\psi \rangle ^{*}x'\langle x|x'\rangle \langle x'|\psi \rangle dx\ dx'\\&=\iint \langle x|\psi \rangle ^{*}x'\delta (x-x')\langle x'|\psi \rangle dx\ dx'\\&=\int \psi (x)^{*}x\psi (x)dx=\int x\psi (x)^{*}\psi (x)dx=\int x|\psi (x)|^{2}dx\end{aligned}}}$

位置基底ベクトルの正規直交関係${\displaystyle \langle x|x'\rangle =\delta (x-x')}$二重積分を単一積分に簡約します。最後の行では、複素数値関数の絶対値を使用して、${\displaystyle \psi ^{*}\psi }$と${\displaystyle |\psi |^{2}}$これは量子力学の積分においてよく用いられる置換である。

期待値は、xが無限大の場合、次の式で表される。

運動量演算子についても、連続スペクトルを持つシステムにおいては同様の式が成り立つ。

上記の式はすべて純粋状態に対して有効である。${\displaystyle \sigma }$熱力学や量子光学では混合状態も重要であり、これらは正のトレースクラス演算子によって記述される。${\textstyle \rho =\sum _{i}p_{i}|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|}$統計演算子または密度行列。期待値は次のように得られます。

一般的に、量子状態は${\displaystyle \sigma }$観測量の集合上の正の正規化線形汎関数によって記述され、数学的にはしばしばC*-代数とみなされる。観測量の期待値は${\displaystyle A}$は次のように与えられる。

観測量の代数がヒルベルト空間に既約的に作用する場合、${\displaystyle \sigma }$は正規汎関数、すなわち超弱トポロジーにおいて連続である。したがって、次のように記述できる。 $${\displaystyle \sigma (\cdot )=\operatorname {Tr} (\rho \;\cdot )}$$ 正のトレースクラス演算子${\displaystyle \rho }$トレース1の場合。これにより、上記の式( 5 )が得られます。純粋状態の場合、${\displaystyle \rho =|\psi \rangle \langle \psi |}$は単位ベクトルへの射影である${\displaystyle \psi }$。 それから${\displaystyle \sigma =\langle \psi |\cdot \;\psi \rangle }$これにより、上記の式（１）が得られる。

${\displaystyle A}$は自己共役作用素であると仮定する。一般に、そのスペクトルは完全に離散的でも完全に連続的でもない。それでも、次のように書くことができる。${\displaystyle A}$スペクトル分解において、 $${\displaystyle A=\int a\,dP(a)}$$射影値尺度 を用いて${\displaystyle P}$期待値については${\displaystyle A}$純粋な状態で${\displaystyle \sigma =\langle \psi |\cdot \,\psi \rangle }$、 これはつまり $${\displaystyle \langle A\rangle _{\sigma }=\int a\;d\langle \psi |P(a)\psi \rangle ,}$$これは、上記の式（ 2）と（4 ） の一般的な一般化と見なすことができる。

有限個の粒子の非相対論的理論（厳密な意味での量子力学）では、考慮される状態は一般に正常です。しかし、量子理論の他の分野では、非正常状態も使用されています。たとえば、無限に広がる媒体の量子統計力学におけるKMS 状態^{[ 3 ]}や、量子場理論における荷電状態^{[ 4 ]}の形で現れます。これらの場合、期待値はより一般的な式 ( 6 )によってのみ決定されます。

例として、1次元空間における量子力学的粒子を、構成空間表現で考えてみましょう。ここで、ヒルベルト空間は${\displaystyle {\mathcal {H}}=L^{2}(\mathbb {R} )}$実数直線上の二乗可積分関数の空間。ベクトル${\displaystyle \psi \in {\mathcal {H}}}$関数によって表現される${\displaystyle \psi (x)}$波動関数と呼ばれる。スカラー積は次のように与えられる。${\textstyle \langle \psi _{1}|\psi _{2}\rangle =\int \psi _{1}^{\ast }(x)\psi _{2}(x)\,dx}$波動関数は、確率分布として直接的に解釈できる。

${\displaystyle \rho (x)dx=\psi ^{*}(x)\psi (x)dx}$

長さの微小区間内に粒子が見つかる確率を示す${\displaystyle dx}$ある時点について${\displaystyle x}$。

観測可能なものとして、位置演算子を考えてみよう。${\displaystyle Q}$これは波動関数に作用する。${\displaystyle \psi }$による $${\displaystyle (Q\psi )(x)=x\psi (x).}$$

測定値の期待値または平均値${\displaystyle Q}$非常に多数の同一の独立システムに対して実行された結果は、 $${\displaystyle \langle Q\rangle _{\psi }=\langle \psi |Q|\psi \rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{\ast }(x)\,x\,\psi (x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }x\,\rho (x)\,dx.}$$

期待値は積分が収束する場合にのみ存在するが、すべてのベクトルで収束するとは限らない。${\displaystyle \psi }$これは、位置演算子が非有界であるためです。${\displaystyle \psi }$定義領域から選択する必要がある。

一般に、任意の観測量の期待値は、を置き換えることによって計算できます。${\displaystyle Q}$適切な演算子を使用します。たとえば、平均運動量を計算するには、構成空間の運動量演算子を使用します。${\textstyle \mathbf {p} =-i\hbar \,{\frac {d}{dx}}}$具体的には、その期待値は

${\displaystyle \langle \mathbf {p} \rangle _{\psi }=-i\hbar \int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{\ast }(x)\,{\frac {d\psi (x)}{dx}}\,dx.}$

一般的に、すべての演算子が測定可能な値を提供するわけではありません。純粋な実数の期待値を持つ演算子は観測可能量と呼ばれ、その値は実験で直接測定できます。

• レイリー商
• 不確定性原理
• ビリアル定理

期待値、特に「量子力学における形式主義」の節で説明されている期待値は、ほとんどの初歩的な量子力学の教科書で扱われています。

概念的な側面についての議論については、以下を参照してください。

• イシャム、クリス・J（1995）。量子論講義：数学的および構造的基礎。インペリアル・カレッジ・プレス。ISBN 978-1-86094-001-9。