電弱相互作用

素粒子物理学において、電弱相互作用または電弱力は、自然界の基本的な相互作用のうちの 2 つ、電磁気 (電磁相互作用)と弱い相互作用を統一的に記述したものです。これら 2 つの力は日常の低エネルギーでは非常に異なって見えますが、理論では同じ力の 2 つの異なる側面としてモデル化されます。統一エネルギー(約 246  GeV)を超えると、^[a]これらは 1 つの力に融合します。したがって、温度が十分に高ければ (約 10 ¹⁵ K )、電磁力と弱い力が融合して複合電弱力になります。  

クォーク時代（ビッグバン直後）に、電弱力は電磁力と弱い力に分裂した。クォーク時代以前から、10 ¹⁵  Kの温度は宇宙全体で広く見られなかったと考えられており、現在、熱平衡にある人為的な最高温度は約5.5 × 10 ¹²  K （大型ハドロン衝突型加速器から）。

シェルドン・グラショー^[1]、 アブドゥス・サラム[ ^2]、およびスティーブン・ワインバーグ^[3]は、素粒子間の弱い相互作用と電磁相互作用の統一、いわゆるワインバーグ・サラム理論への貢献により、 1979年のノーベル物理学賞を受賞した。^{[4] [5]電弱相互作用の存在は2段階で実験的に確立され、第1段階は1973年の}ガルガメル共同研究によるニュートリノ散乱における中性カレントの発見であり、第2段階は1983年のUA1共同研究とUA2共同研究によるもので、改造されたスーパープロトンシンクロトロンでの陽子-反陽子衝突におけるWゲージボソンとZゲージボソンの発見であった。1999年、ジェラルドゥス・トホーフトとマルチヌス・フェルトマンは、電弱理論がくりこみ可能であることを示したことでノーベル賞を受賞した。

1956年のウー実験で弱い相互作用におけるパリティの破れが発見された後、弱い相互作用と電磁相互作用を関連付ける方法の探索が始まった。博士課程の指導教官ジュリアン・シュウィンガーの研究を拡張して、シェルドン・グラショーは最初に2つの異なる対称性、1つはカイラル対称性、もう1つはアキラル対称性の導入を実験し、全体的な対称性が破れないようにそれらを組み合わせた。これは繰り込み可能な理論を生み出さず、自発的なメカニズムが知られていなかったためゲージ対称性を手動で破る必要があったが、新しい粒子であるZボソンを予測した。これは実験結果と一致しなかったため、ほとんど注目されなかった。

1964年、サラムとジョン・クライヴ・ワード^[6]は同じアイデアを持っていたが、手動で破れた対称性を持つ質量のない光子と3つの質量のあるゲージボソンを予測した。その後1967年頃、自発的な対称性の破れを調査しているときに、ワインバーグは質量のない中性ゲージボソンを予測する一連の対称性を発見した。当初、彼はそのような粒子は役に立たないとして拒否したが、後に対称性が電弱力を生み出すことに気づき、WボソンとZボソンのおおよその質量を予測した。重要なことに、彼はこの新しい理論がくりこみ可能であると示唆した。^[3] 1971年、ジェラルド・トホーフトは、自発的に破れたゲージ対称性は質量のあるゲージボソンでもくりこみ可能であることを証明した。

数学的には、電磁気学は、SU(2) × U(1)ゲージ群を持つヤン・ミルズ場として弱い相互作用と統一され、システムのダイナミクスを変えずに電弱ゲージ場に適用できる形式的な操作を記述します。これらの場は、弱アイソスピン場W ₁、W ₂、W ₃と、弱ハイパーチャージ場Bです。この不変性は電弱対称性として知られています。

SU(2)とU(1)の生成元は、それぞれ弱アイソスピン( Tと表記) と弱ハイパーチャージ( Yと表記)という名前が付けられています。これらは、電弱相互作用を媒介するゲージボソン (それぞれ弱アイソスピンの3 つのWボソン ( W ₁、W ₂、W ₃ ) と弱ハイパーチャージのBボソン) を生成し、これらはすべて「最初は」質量がありません。これらは、自発的な対称性の破れと関連するヒッグス機構が発生する前は、まだ物理的な場ではありません。

標準モデルでは、観測される物理的な粒子、
わ^±
そして
ず⁰
ボソンと光子は、ヒッグス機構（ヒッグス粒子も参照）によって生じる電弱対称性SU(2) × U(1) _YからU(1) _emへの自発的な対称性の破れによって生成される。^[b]ヒッグス機構は、対称性の実現を「自発的に」変更し、自由度を再配置する複雑な量子場理論の現象である。^{[8] [9] [10] [11]}

電荷は、Y _W (弱い超電荷) とヒッグス粒子と結合しない弱いアイソスピン ( )のT ₃成分との特定の線形結合 (非自明) として発生します。つまり、ヒッグス粒子と電磁場は、基本的な力のレベル (「ツリー レベル」) では互いに影響を及ぼしませんが、超電荷と弱いアイソスピンの他の組み合わせはヒッグス粒子と相互作用する必要があります。これにより、ヒッグス粒子と相互作用する弱い力と、相互作用しない電磁気力の間に明らかな分離が生じます。数学的には、電荷は、図に示されている 超電荷とT _{3の特定の組み合わせです。}${\displaystyle Q=T_{3}+{\tfrac {1}{2}}\,Y_{\mathrm {W} }}$

U(1) _em（電磁気学のみの対称群）は、この特別な線形結合によって生成される群として定義され、U(1) _em群によって記述される対称性は、ヒッグスと直接相互作用しないため、破られていない。 ^[c]

上記の自発的対称性の破れにより、W3_ボソンとBボソンは、異なる質量を持つ2つの異なる物理的ボソンに合体します。
ず⁰
ボソンと光子（
γ
）、

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\gamma \\Z^{0}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \theta _{\text{W}}&\sin \theta _{\text{W}}\\-\sin \theta _{\text{W}}&\cos \theta _{\text{W}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}B\\W_{3}\end{pmatrix}},}$

ここで、θ _{W は}弱い混合角である。粒子を表す軸は、基本的に（W ₃、B）平面で角度θ _Wだけ回転している。これにより、
ず⁰
そして、
わ^±
粒子（それぞれm _Zおよびm _Wと表記）

${\displaystyle m_{\text{Z}}={\frac {m_{\text{W}}}{\,\cos \theta _{\text{W}}\,}}~.}$

W ₁ボソンとW _2ボソンは結合して、荷電した質量のあるボソンを生成する。
わ^±
[12] :

${\displaystyle W^{\pm }={\frac {1}{\sqrt {2\,}}}\,{\bigl (}\,W_{1}\mp iW_{2}\,{\bigr )}~.}$

電弱相互作用のラグランジアンは、電弱対称性の破れが明らかになる前に4つの部分に分割されます。

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {EW} }={\mathcal {L}}_{g}+{\mathcal {L}}_{f}+{\mathcal {L}}_{h}+{\mathcal {L}}_{y}~.}$

この用語は、3つのW ベクトルボソンとBベクトルボソンの間の相互作用を記述する。 ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{g}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{g}=-{\tfrac {1}{4}}W_{a}^{\mu \nu }W_{\mu \nu }^{a}-{\tfrac {1}{4}}B^{\mu \nu }B_{\mu \nu },}$

ここで、( ) と は、弱アイソスピンゲージ場と弱ハイパーチャージゲージ場の 場強度テンソルです。${\displaystyle W_{a}^{\mu \nu }}$${\displaystyle a=1,2,3}$${\displaystyle B^{\mu \nu }}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{f}}$は標準モデルのフェルミオンの運動項である。ゲージボソンとフェルミオンの相互作用はゲージ共変微分を介して行われる。

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{f}={\overline {Q}}_{j}iD\!\!\!\!/\;Q_{j}+{\overline {u}}_{j}iD\!\!\!\!/\;u_{j}+{\overline {d}}_{j}iD\!\!\!\!/\;d_{j}+{\overline {L}}_{j}iD\!\!\!\!/\;L_{j}+{\overline {e}}_{j}iD\!\!\!\!/\;e_{j},}$

ここで、添え字j はフェルミオンの3世代にわたる和です。Q 、u、dは左巻きの二重項、右巻きの単一項アップ、右巻きの単一項ダウンクォーク場です。Lとeは左巻きの二重項と右巻きの単一項電子場です。ファインマンスラッシュは、 4次元勾配をディラック行列で縮約したもので、次のように定義されます。 ${\displaystyle D\!\!\!\!/}$

${\displaystyle D\!\!\!\!/\equiv \gamma ^{\mu }\ D_{\mu },}$

そして共変微分（強い相互作用に対するグルーオンゲージ場を除く）は次のように定義される。

${\displaystyle \ D_{\mu }\equiv \partial _{\mu }-i\ {\frac {g'}{2}}\ Y\ B_{\mu }-i\ {\frac {g}{2}}\ T_{j}\ W_{\mu }^{j}.}$

ここで は弱いハイパーチャージであり、 は弱いアイソスピンの成分です。 ${\displaystyle \ Y\ }$${\displaystyle \ T_{j}\ }$

この用語はヒッグス場とそれ自身およびゲージ粒子との相互作用を説明する。 ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{h}}$ ${\displaystyle h}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{h}=|D_{\mu }h|^{2}-\lambda \left(|h|^{2}-{\frac {v^{2}}{2}}\right)^{2}\ ,}$

ここで、真空期待値です。 ${\displaystyle v}$

この用語は湯川とフェルミオンの 相互作用を表す。${\displaystyle \ {\mathcal {L}}_{y}\ }$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{y}=-y_{u}^{ij}\epsilon ^{ab}\ h_{b}^{\dagger }\ {\overline {Q}}_{ia}u_{j}^{c}-y_{d}^{ij}\ h\ {\overline {Q}}_{i}d_{j}^{c}-y_{e}^{ij}\ h\ {\overline {L}}_{i}e_{j}^{c}+\mathrm {h.c.} ~,}$

そして、ヒッグス場が次に説明する非ゼロの真空期待値を獲得したときに現れる質量を生成します。の は湯川結合の行列です。 ${\displaystyle \ y_{k}^{ij}\ ,}$${\displaystyle \ k\in \{\mathrm {u,d,e} \}\ ,}$

ヒッグス場が前のセクションのポテンシャルによって決まる非ゼロの真空期待値を獲得すると、ラグランジアンは再編成されます。この書き換えの結果、対称性の破れが明らかになります。宇宙の歴史では、これは宇宙が高温ビッグバンの直後、つまり温度が159.5 ± 1.5  GeV ^[13] （素粒子物理学の標準モデルを仮定）。

このラグランジアンはその複雑さのため、次のようにいくつかの部分に分割して記述するのが最適です。

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {EW} }={\mathcal {L}}_{\mathrm {K} }+{\mathcal {L}}_{\mathrm {N} }+{\mathcal {L}}_{\mathrm {C} }+{\mathcal {L}}_{\mathrm {H} }+{\mathcal {L}}_{\mathrm {HV} }+{\mathcal {L}}_{\mathrm {WWV} }+{\mathcal {L}}_{\mathrm {WWVV} }+{\mathcal {L}}_{\mathrm {Y} }~.}$

運動項にはラグランジアンのすべての二次項が含まれており、これには動的項（偏微分）と質量項（対称性が破れる前のラグランジアンには明らかに存在しない）が含まれる。 ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{K}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}_{\mathrm {K} }=\sum _{f}{\overline {f}}(i\partial \!\!\!/\!\;-m_{f})\ f-{\frac {1}{4}}\ A_{\mu \nu }\ A^{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}\ W_{\mu \nu }^{+}\ W^{-\mu \nu }+m_{W}^{2}\ W_{\mu }^{+}\ W^{-\mu }\\\qquad -{\frac {1}{4}}\ Z_{\mu \nu }Z^{\mu \nu }+{\frac {1}{2}}\ m_{Z}^{2}\ Z_{\mu }\ Z^{\mu }+{\frac {1}{2}}\ (\partial ^{\mu }\ H)(\partial _{\mu }\ H)-{\frac {1}{2}}\ m_{H}^{2}\ H^{2}~,\end{aligned}}}$

ここで、和は理論上のすべてのフェルミオン（クォークとレプトン）にわたっており、場とは次の式で与えられる。 ${\displaystyle \ A_{\mu \nu }\ ,}$ ${\displaystyle \ Z_{\mu \nu }\ ,}$ ${\displaystyle \ W_{\mu \nu }^{-}\ ,}$${\displaystyle \ W_{\mu \nu }^{+}\equiv (W_{\mu \nu }^{-})^{\dagger }\ }$

${\displaystyle X_{\mu \nu }^{a}=\partial _{\mu }X_{\nu }^{a}-\partial _{\nu }X_{\mu }^{a}+gf^{abc}X_{\mu }^{b}X_{\nu }^{c}~,}$

を関連する場（）に置き換え、 f abc ^を適切なゲージ群の構造定数に置き換える。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle Z,}$ ${\displaystyle W^{\pm }}$

ラグランジアンの中性電流と荷電電流成分はフェルミオンとゲージボソン間の相互作用を含み、 ${\displaystyle \ {\mathcal {L}}_{\mathrm {N} }\ }$${\displaystyle \ {\mathcal {L}}_{\mathrm {C} }\ }$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {N} }=e\ J_{\mu }^{\mathrm {em} }\ A^{\mu }+{\frac {g}{\ \cos \theta _{W}\ }}\ (\ J_{\mu }^{3}-\sin ^{2}\theta _{W}\ J_{\mu }^{\mathrm {em} }\ )\ Z^{\mu }~,}$

ここで電磁電流は ${\displaystyle ~e=g\ \sin \theta _{\mathrm {W} }=g'\ \cos \theta _{\mathrm {W} }~.}$${\displaystyle \;J_{\mu }^{\mathrm {em} }\;}$

${\displaystyle J_{\mu }^{\mathrm {em} }=\sum _{f}\ q_{f}\ {\overline {f}}\ \gamma _{\mu }\ f~,}$

フェルミオンの電荷はここにある。中性弱電流は ${\displaystyle \ q_{f}\ }$${\displaystyle \ J_{\mu }^{3}\ }$

${\displaystyle J_{\mu }^{3}=\sum _{f}\ T_{f}^{3}\ {\overline {f}}\ \gamma _{\mu }\ {\frac {\ 1-\gamma ^{5}\ }{2}}\ f~,}$

フェルミオンの弱いアイソスピンはどこにありますか。 ^[d]${\displaystyle T_{f}^{3}}$

ラグランジアンの荷電電流部分は次のように表される。

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {C} }=-{\frac {g}{\ {\sqrt {2\;}}\ }}\ \left[\ {\overline {u}}_{i}\ \gamma ^{\mu }\ {\frac {\ 1-\gamma ^{5}\ }{2}}\;M_{ij}^{\mathrm {CKM} }\ d_{j}+{\overline {\nu }}_{i}\ \gamma ^{\mu }\;{\frac {\ 1-\gamma ^{5}\ }{2}}\;e_{i}\ \right]\ W_{\mu }^{+}+\mathrm {h.c.} ~,}$

ここで右手系の一重項ニュートリノ場であり、CKM行列はクォークの質量と弱い固有状態間の混合を決定する。^[d]${\displaystyle \ \nu \ }$ ${\displaystyle M_{ij}^{\mathrm {CKM} }}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {H} }}$ヒッグスの3点および4点の自己相互作用項を含み、

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {H} }=-{\frac {\ g\ m_{\mathrm {H} }^{2}\,}{\ 4\ m_{\mathrm {W} }\ }}\;H^{3}-{\frac {\ g^{2}\ m_{\mathrm {H} }^{2}\ }{32\ m_{\mathrm {W} }^{2}}}\;H^{4}~.}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {HV} }}$ヒッグス粒子とゲージベクトル粒子との相互作用を含み、

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {HV} }=\left(\ g\ m_{\mathrm {HV} }+{\frac {\ g^{2}\ }{4}}\;H^{2}\ \right)\left(\ W_{\mu }^{+}\ W^{-\mu }+{\frac {1}{\ 2\ \cos ^{2}\ \theta _{\mathrm {W} }\ }}\;Z_{\mu }\ Z^{\mu }\ \right)~.}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {WWV} }}$ゲージの3点自己相互作用を含み、

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {WWV} }=-i\ g\ \left[\;\left(\ W_{\mu \nu }^{+}\ W^{-\mu }-W^{+\mu }\ W_{\mu \nu }^{-}\ \right)\left(\ A^{\nu }\ \sin \theta _{\mathrm {W} }-Z^{\nu }\ \cos \theta _{\mathrm {W} }\ \right)+W_{\nu }^{-}\ W_{\mu }^{+}\ \left(\ A^{\mu \nu }\ \sin \theta _{\mathrm {W} }-Z^{\mu \nu }\ \cos \theta _{\mathrm {W} }\ \right)\;\right]~.}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {WWVV} }}$ゲージ4点自己相互作用を含み、

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}_{\mathrm {WWVV} }=-{\frac {\ g^{2}\ }{4}}\ {\Biggl \{}\ &{\Bigl [}\ 2\ W_{\mu }^{+}\ W^{-\mu }+(\ A_{\mu }\ \sin \theta _{\mathrm {W} }-Z_{\mu }\ \cos \theta _{\mathrm {W} }\ )^{2}\ {\Bigr ]}^{2}\\&-{\Bigl [}\ W_{\mu }^{+}\ W_{\nu }^{-}+W_{\nu }^{+}\ W_{\mu }^{-}+\left(\ A_{\mu }\ \sin \theta _{\mathrm {W} }-Z_{\mu }\ \cos \theta _{\mathrm {W} }\ \right)\left(\ A_{\nu }\ \sin \theta _{\mathrm {W} }-Z_{\nu }\ \cos \theta _{\mathrm {W} }\ \right)\ {\Bigr ]}^{2}\,{\Biggr \}}~.\end{aligned}}}$

${\displaystyle \ {\mathcal {L}}_{\mathrm {Y} }\ }$フェルミオンとヒッグス場の間の湯川相互作用を含み、

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {Y} }=-\sum _{f}\ {\frac {\ g\ m_{f}\ }{2\ m_{\mathrm {W} }}}\;{\overline {f}}\ f\ H~.}$

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• 標準モデル（数学的定式化）
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• ヤン＝ミルズ理論

• BA シュム (2004)。『Deep Down Things: The Breathtaking Beauty of Particle Physics』。ジョンズ・ホプキンス大学出版局。ISBN 0-8018-7971-X。標準モデルの大部分を正式な数学を使わずに伝えます。弱い相互作用について非常に詳細に説明しています。

• DJ グリフィス (1987)。素粒子入門。ジョン ワイリー アンド サンズ。ISBN 0-471-60386-4。
• W. Greiner、B. Müller (2000)。弱い相互作用のゲージ理論。Springer。ISBN 3-540-67672-4。
• GL Kane (1987)。現代素粒子物理学。Perseus Books。ISBN 0-201-11749-5。

• ES Abers; BW Lee (1973). 「ゲージ理論」.物理学レポート. 9 (1): 1–141. Bibcode :1973PhR.....9....1A. doi :10.1016/0370-1573(73)90027-6.
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