章動運動

章動運動（ラテン語の nūtātiō  「うなずく、揺れる」に由来）は、ジャイロスコープ、惑星、飛行中の弾丸など、ほぼ軸対称の物体の回転軸の揺れ、揺れ、うなずく運動、またはメカニズムの意図された動作である。適切な参照フレームでは、第2オイラー角の変化として定義できます。物体外部の力によって引き起こされない場合は、自由章動運動またはオイラー章動運動と呼ばれます。^[1]純粋な章動運動は、第1オイラー角が一定であるような回転軸の動きです。^[要出典]したがって、図の円形の赤い矢印は歳差運動と章動運動の組み合わせた効果を示しており、歳差運動がない場合の章動運動は垂直（第2オイラー角）からの傾きのみを変更することがわかります。ただし、宇宙船の力学では、歳差運動（第1オイラー角の変化）は章動運動と呼ばれることがあります。^[2]

コマを水平面上に傾けて置き、高速で回転させると、その回転軸は垂直方向の周りを歳差運動し始める。しばらくすると、コマは回転軸上の各点が円を描くような動きに落ち着く。重力の垂直方向の力は、表面との接触点を中心に水平方向のトルクτを生み出す。コマはこのトルクの方向に角速度Ωで回転し、どの瞬間も

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau}}=\mathbf {\Omega } \times \mathbf {L} ,}$ (ベクトル積)

ここでLはトップの瞬間角運動量である。^[3]

しかし、最初は歳差運動がなく、コマの上部が横向きに下向きに落ち、傾きます。これによりトルクの不均衡が生じ、歳差運動が始まります。落下中にコマは、安定して歳差運動する傾きの量を超え、その後このレベルを中心に振動します。この振動は章動と呼ばれます。運動が減衰されると、振動は収まり、安定した歳差運動になります。^{[3] [4]}

コマとジャイロスコープの章動運動の物理は、先端が固定された重い対称コマのモデルを使って調べることができます。(対称コマとは、回転対称性を持つコマ、またはより一般的には、3 つの主要な慣性モーメントのうち 2 つが等しいコマのことです。) 最初は、摩擦の影響は無視されます。コマの動きは、3 つのオイラー角で説明できます。コマの対称軸と垂直線の間の傾斜角θ (第 2 オイラー角)、垂直線を中心としたコマの方位角 φ (第 1 オイラー角)、およびコマ自身の軸を中心とした回転角ψ (第 3 オイラー角) です。したがって、歳差運動はφの変化であり、章動運動はθの変化です。^[5]

トップの質量がMで、その重心が支点から距離lにある場合、支持面に対する その重力ポテンシャルは

${\displaystyle V=Mgl\cos(\theta ).}$

z軸が 対称軸である座標系では、コマはx、y、z軸の周りの角速度 ω1 _、ω2、  ω3と慣性モーメント _I1 、_I2 、_{I3を持ちます。対称コマ}なので、  I1 ₌ I2です。運動 エネルギーは 

${\displaystyle E_{\text{r}}={\frac {1}{2}}I_{1}\left(\omega _{1}^{2}+\omega _{2}^{2}\right)+{\frac {1}{2}}I_{3}\omega _{3}^{2}.}$

オイラー角で言えば、これは

${\displaystyle E_{\text{r}}={\frac {1}{2}}I_{1}\left({\dot {\theta }}^{2}+{\dot {\phi }}^{2}\sin ^{2}(\theta )\right)+{\frac {1}{2}}I_{3}\left({\dot {\psi }}+{\dot {\phi }}\cos(\theta )\right)^{2}.}$

このシステムについてオイラー・ラグランジュ方程式を解くと、運動は2つの定数aとb（それぞれ運動定数に関係）に依存することがわかります。歳差運動の速度は、傾きと次のように関係しています。

${\displaystyle {\dot {\phi }}={\frac {ba\cos(\theta )}{\sin ^{2}(\theta )}}.}$

傾きはu = cos( θ )の微分方程式によって決まり、次の式で 表される。

${\displaystyle {\dot {u}}^{2}=f(u)}$

ここで、f はパラメータaとbおよびエネルギーと重力トルクに関連する定数に依存する3 次多項式です。fの根は、 θの変化率がゼロになる角度の余弦です。これらのうち 1 つは物理的な角度とは関係ありません。他の 2 つは、ジャイロスコープが振動する傾斜角度の上限と下限を決定します。^[6]

惑星の章動は、他の天体の重力の影響により、その軸の歳差運動の速度が時間とともに変化し、速度が一定ではなくなるために発生します。イギリスの天文学者ジェームズ・ブラッドリーは1728 年に 地球の軸の章動を発見しました。

章動は、黄道面に対する地球の軸の傾きを微妙に変え、地球の傾きによって定義される主要な緯度円（熱帯円と極円）を移動させます。

地球の場合、潮汐力の主な発生源は太陽と月であり、これらは絶えず互いの位置を変え、地球の軸に章動運動を引き起こします。地球の章動運動の最大の要素は 18.6 年周期で、月の交点の歳差運動の周期と同じです。^[1]ただし、結果の精度に応じて考慮する必要がある重要な周期項が他にもあります。章動運動を表す数学的記述 (方程式のセット) は^{[誰によって? ]}「章動運動の理論」と呼ばれます。^[要出典]この理論では、データに最もよく適合するように、パラメータは多かれ少なかれアドホックな方法で調整されます。単純な剛体力学では最良の理論は得られません。マントルの非弾性やコアとマントルの境界の変化など、地球の変形を考慮する必要があります。^[7]

章動の主要な期間は月の交線の後退によるもので、周期は 6798 日 (18.61 年) と同じです。経度ではプラスマイナス 17 インチ、黄道傾斜では 9.2 インチに達します。^[8]他のすべての期間ははるかに小さく、次に大きい期間は 183 日 (0.5 年) で、振幅はそれぞれ 1.3 インチと 0.6 インチです。0.0001 インチ (現在の技術で測定できる範囲でほぼ正確) より大きいすべての期間の周期は 5.5 日から 6798 日の間です。何らかの理由で (海洋の潮汐周期と同様に) 34.8 日から 91 日の範囲を避けているようで、そのため^{[誰によると? ]}章動を長周期期間と短周期期間に分割するのが慣例となっています。長周期項は計算されて暦に記載されていますが、短周期項による追加補正は通常表から取られます。IAU 2000B方法論に従ってユリウス日から計算することもできます。 ^[9]

1961年の災害映画『地球が燃える日』では、両極付近で2つの超水素爆弾がほぼ同時に爆発し、地球の章動運動が変化し、地軸の傾きが11度変化し、地球の太陽の周りの軌道が変化する。

『スタートレック：新世代』では、敵が防御を突破してエンタープライズや他の宇宙船を略奪しようとするのを遅らせる手段として、「シールド章動」を急速に「循環」または「変更」することが頻繁に言及されています。

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