重力定数

自然単位系、特にプランク単位やストーニー単位などの幾何学的単位系において定義定数として使用されているため、^{[ 8 ] [ 9 ]}重力定数の値は、これらの単位で表すと一般的に1またはそれに近い数値になります。他の既知の基本定数で表したGの測定値には大きな不確実性があるため、このような単位系で表すと多くの量の値に同様のレベルの不確実性が現れます。

天体物理学では、距離をパーセク（pc）、速度をキロメートル毎秒（km/s）、質量を太陽質量（M⊙ _）で測定するのが便利です。これらの単位における重力定数は次のようになります。 $${\displaystyle G\approx 4.3009\times 10^{-3}{\mathrm {~pc{\cdot }(km/s)^{2}} \,{M_{\odot }}^{-1}}.}$$ 潮汐が重要な状況では、関連する長さスケールはパーセクではなく太陽半径である。これらの単位における重力定数は次のようになる。 $${\displaystyle G\approx 1.908\ 09\times 10^{5}\mathrm {~(km/s)^{2}} \,R_{\odot }{M_{\odot }}^{-1}.}$$軌道力学 において、球状物体の周りを円軌道で公転する物体の 周期Pは、$${\displaystyle GM={\frac {3\pi V}{P^{2}}},}$$ ここで、Vは軌道半径内の体積、Mは2つの物体の合計質量である。したがって、

$${\displaystyle P^{2}={\frac {3\pi }{G}}{\frac {V}{M}}\approx 10.896\mathrm {~h^{2}{\cdot }g{\cdot }cm^{-3}\,} {\frac {V}{M}}.}$$

このGの表現方法は、惑星の平均密度と、その表面のすぐ上を周回する衛星の周期との関係を示している。

楕円軌道の場合、地球の軌道に特徴的な単位で表したケプラーの第三法則を適用すると次のようになる。

${\displaystyle G=4\pi ^{2}\mathrm {\ au^{3}{\cdot }yr^{-2}} \ M^{-1}\approx 39.478\mathrm {\ au^{3}{\cdot }yr^{-2}} \ {M_{\odot }}^{-1},}$

ここで、距離は地球の軌道の長半径（天文単位、au）で測定され、時間は年単位で、質量は軌道系全体の質量（M = M _☉ + M _🜨 + M _☾ ^{[ e ]}）で測定されます。

上記の式は、地球の太陽周回軌道をニュートン力学における二体問題として近似した場合にのみ正確であり、測定量には太陽系内の他の天体からの摂動や一般相対性理論による補正が含まれている。

しかし、1964年から2012年までは、天文単位の定義として用いられており、したがって定義上、以下のとおりであった。 $${\displaystyle \mathrm {1~au} =\left({\frac {GM}{4\pi ^{2}}}\mathrm {yr} ^{2}\right)^{\frac {1}{3}}\おおよそ \mathrm {1.495\ 979\times 10^{11}~m} .}$$ 2012年以降、auは次のように定義されています。正確には1.495 978 707 × 10 ¹¹  mであり、この方程式はもはや正確に成り立つとはみなせない。

重力定数と太陽や地球などの天体の質量の積である量GMは、標準重力パラメータ（μとも表記される）として知られています。標準重力パラメータGMは、上記のようにニュートンの万有引力の法則、重力レンズによる光の偏向の式、ケプラーの惑星運動の法則、脱出速度の式などに現れます。

この量を用いることで、重力に関する様々な公式を簡略化できる。積GMは、どちらの因子よりもはるかに正確に求められる。

天体力学における計算は、標準SI単位ではなく、太陽質量、平均太陽日、天文単位の単位を用いて行うこともできます。この目的のために、歴史的にガウス重力定数k =が広く用いられてきました。0.017 202 098 95ラジアン/日、太陽-地球系の平均角速度を表す。この定数の使用、および上記で説明した天文単位の暗黙の定義は、 2012 年以降IAUによって非推奨となっている。 ^{[ 12 ]}

定数の存在は、1680 年代に発表されたニュートンの万有引力の法則に暗黙のうちに含まれている (ただし、 Gという表記は1890 年代に遡る) ^{[ 13 ]}が、重力の逆二乗法則を仮定している彼の『自然哲学の数学的原理』では計算されていない。 『プリンキピア』の中で、ニュートンは大きな丘の近くで振り子のたわみを測定することによって重力の強さを測定する可能性を検討したが、その効果は小さすぎて測定できないと考えた。^{[ 14 ]}それにもかかわらず、彼は「地球の平均密度は水の密度の 5 倍か 6 倍かもしれない」と推測したときに定数の桁数を推定する機会を得た。これは、次の桁の重力定数に相当する。^{[ 15 ]}

G ≈(6.7 ± 0.6) × 10 ⁻¹¹  m ³ ⋅kg ⁻¹ ⋅s ⁻²

1738年、ピエール・ブーゲとシャルル・マリー・ド・ラ・コンダミーヌは「ペルー探検」で測定を試みた。ブーゲは1740年にその結果の重要性を軽視し、この実験は少なくとも、エドモンド・ハレーを含む当時の思想家たちが示唆していたように、地球が中空の殻ではないことを証明したに過ぎないと示唆した。^{[ 16 ]}

1772年に提案され、1776年に完了したシーハリオン実験は、地球の平均密度、ひいては重力定数を初めて測定した成功例である。チャールズ・ハットン（1778年）が報告した結果は、地球の密度が4.5  g/cm ³ (水の密度の 4.5 倍) で、現代の値より約 20% 低い。^{[ 17 ]}これにより、太陽、月、惑星の密度と質量の推定がすぐに行われ、ハットンはそれをジェローム・ラランドに送り、彼の惑星表に含めるように依頼した。上で述べたように、地球の平均密度を確立することは、地球の平均半径と地球表面での平均重力加速度が与えられた場合、重力定数を測定することと同等である。 ^{[ 13 ]}$${\displaystyle G=g{\frac {R_{\oplus }^{2}}{M_{\oplus }}}={\frac {3g}{4\pi R_{\oplus }\rho _{\oplus }}}.}$$ これに基づくと、ハットンの1778年の結果はG ≈に相当する。8 × 10 ⁻¹¹  m ³ ⋅kg ⁻¹ ⋅s ⁻²。

実験室で2つの物体間の重力引力を初めて直接測定したのは、ニュートンの死後71年後の1798年、ヘンリー・キャベンディッシュによるものでした。^{[ 18 ]}彼は、地質学者のジョン・ミッチェル牧師（1753年）が発明したねじり天秤を用いて、 Gの値を暗黙的に決定しました。彼は、鉛球を取り付けた水平ねじり梁を使用し、梁の振動時間を計測することで、その慣性（ねじり定数との関係）を知ることができました。梁の横に置かれた他の球に対する微弱な引力は、それによって生じるたわみによって検出できました。実験設計はミッチェルによるものですが、この実験は、キャベンディッシュが最初に成功させたことから、現在ではキャベンディッシュの実験として知られています。

キャベンディッシュの目的は「地球の質量測定」、つまり地球の平均密度と地球の質量を決定することであった。彼の結果は、ρ _🜨 =5.448(33)  g ⋅ cm ^−3は、 Gの値に相当します。6.74(4) × 10 ⁻¹¹  m ³ ⋅kg ⁻¹ ⋅s ⁻²。これは非常に正確で、最新のCODATA推奨値6.674 × 10 ⁻¹¹  m ³ ⋅kg ⁻¹ ⋅s ⁻²であり、主張されている相対標準不確かさ 0.6% と一致している。

キャベンディッシュの最初の実験以来、Gの測定値の精度はわずかにしか向上していない。 ^{[ 19 ]}重力は他の基本的な力よりもはるかに弱いため、 Gを測定するのは非常に困難であり、実験装置は他の物体の重力の影響から分離することはできない。

振り子による測定はフランチェスコ・カルリーニ（1821年、4.39  g/cm ³ )、エドワード・サビン(1827、4.77  g/cm ³ )、カルロ・イニャツィオ・ジュリオ (1841、4.95  g/cm ³ ) およびGeorge Biddell Airy (1854、6.6  g/cm ³ ) ^{[ 20 ]}

キャベンディッシュの実験は、フェルディナント・ライヒ（1838年、1842年、1853年）によって初めて再現され、彼は次の値を発見した。5.5832(149)  g ⋅ cm ⁻³、^{[ 21 ]}キャベンディッシュの結果よりも精度が低く、現代の値と 1.5% 異なる。コルヌとバイユ (1873) は、5.56  g ⋅ cm ⁻³。^{[ 22 ]}

キャベンディッシュの実験は、「シーハリオン型」（偏向）または「ペルー型」（高度の関数としての周期）の振り子実験よりも信頼性の高い測定結果をもたらすことが証明された。振り子実験はその後も続けられ、ロバート・フォン・シュテルネック（1883年、1990年）によって行われた。5.0 および 6.3  g/cm ³ ) およびThomas Corwin Mendenhall (1880、5.77  g/cm ³ ) ^{[ 23 ]}

キャベンディッシュの結果は、ジョン・ヘンリー・ポインティング（1891年）によって初めて改良され、 ^{[ 24 ]}は、5.49(3)  g ⋅ cm ⁻³であり、現代の値とは 0.2% 異なるが、引用されている相対標準不確かさ 0.55% の範囲内で現代の値と一致する。ポインティングに加えて、CV Boys (1895) ^{[ 25 ]}とCarl Braun (1897) ^{[ 26 ]}によって測定が行われ、 G =を示唆する一致した結果が得られた。6.66(1) × 10 ⁻¹¹  m ³ ⋅kg ⁻¹ ⋅s ⁻²。定数Gを含む現代の表記法は、1894 年に Boys によって導入され^{[ 13 ]}、1890 年代末までに標準となり、値は通常cgs単位系で引用される。Richarz と Krigar-Menzel (1898) は、吸引質量として 100,000 kg の鉛を使用して、Cavendish 実験の再現を試みた 。彼らの結果の精度は、しかし、 6.683(11) × 10 ⁻¹¹  m ³ ⋅kg ⁻¹ ⋅s ⁻²は、当時他の結果と同程度の大きさであった。^{[ 27 ]}

アーサー・スタンレー・マッケンジーは『重力の法則』 （1899年）の中で、19世紀に行われた研究を概説している。^{[ 28 ]}ポインティングは『ブリタニカ百科事典第11版』（1911年）の「重力」という記事の著者である。ここで彼は、 G =という値を引用している。6.66 × 10 ⁻¹¹  m ³ ⋅kg ⁻¹ ⋅s ⁻²、相対不確かさは0.2%。

ポール・R・ヘイル（1930）は、6.670(5) × 10 ⁻¹¹  m ³ ⋅kg ⁻¹ ⋅s ⁻² (相対不確かさ 0.1%)、^{[ 29 ]}は改善され1942年には6.673(3) × 10 ⁻¹¹  m ³ ⋅kg ⁻¹ ⋅s ⁻² (相対不確かさ 0.045% = 450  ppm) であった。^{[ 30 ]}

しかし、ヘイルは統計的なばらつきを標準偏差として用いており、同じ材料を用いた測定では非常に類似した結果が得られる一方で、異なる材料を用いた測定では大きく異なる結果が得られることを自ら認めていた。彼は1930年の論文発表後、12年間かけてより精密な測定を行い、組成依存効果が解消されることを期待したが、1942年の最終論文で述べたように、それは解消されなかった。

1950年代以降に高精度測定から得られたGの公表値はHeyl（1930）と一致しているが、約0.1%（または1000  ppm）の相対不確かさの範囲内でかなり大きく変動しており、1942年の測定以降、不確かさが実際に減少したかどうかは完全には明らかではない。1980年代から2000年代にかけて公表された測定値の中には、実際には互いに矛盾するものもあった。^{[ 7 ] [ 31 ]}したがって、0.1%よりも優れた相対標準不確かさでGの標準値を確立することは、かなり推測の域を出ないままである。

1969年までに、米国国立標準技術研究所（NIST）が推奨した値は、相対標準不確かさ0.046%（460 ppm）で引用され 、1986年には0.012%（120  ppm）に低下しました。しかし、矛盾する測定値が継続的に公表されたため、NISTは1998年の推奨値の標準不確かさを12倍に大幅に増加させ、標準不確かさを0.15%とし、Heyl（1930）が示した値よりも大きくしました。

不確実性は2002年と2006年に再び低下したが、2010年にはより保守的な20%上昇し、 1986年に発表された相対標準不確実性120 ppmに一致した。 ^{[ 32 ]} 2014年の更新では、CODATAは不確実性を46  ppmに下げ、2010年の値の半分以下、1969年の推奨値より1桁低い値とした。

以下の表は、1969年以降に発表されたNIST（米国国立標準技術研究所）の推奨値を示しています。

2007年1月号のサイエンス誌で、フィクスラーらは原子干渉法という新しい技術による重力定数の測定について述べ、 G =という値を報告した。6.693(34) × 10 ⁻¹¹  m ³ ⋅kg ⁻¹ ⋅s ⁻²  、 2006年のCODATA値より0.28% (2800 ^{ppm) 高い。 [ 43 ]} Rosiらによる改良された冷原子測定が2014年に発表され、 G =6.671 91 (99) × 10 ⁻¹¹  m ³ ⋅kg ⁻¹ ⋅s ⁻²。 ^{[ 44 ] [ 45 ]}許容値にかなり近いものの（Fixler et al. の測定が誤りであったことを示唆）、この結果は推奨される 2014 CODATA 値より 325 ppm 低く、標準不確かさ 区間は重複していませんでした。

2018年8月、中国の研究グループがねじり天秤に基づく新たな測定結果を発表した。6.674 184 (78) × 10 ⁻¹¹  m ³ ⋅kg ⁻¹ ⋅s ⁻²および 2つの異なる方法に基づくと、6.674 484 (78) × 10 ⁻¹¹ m ³ ⋅kg ⁻¹ ⋅s ^{−2となります。 [ 46 ]}これらは、これまでで最も正確な測定値であると主張されており、標準不確かさは 12 ppm と低くなっています。2 つの結果の 2.7 σ の差は、考慮されていない誤差の原因がある可能性を示唆しています。

NISTは、矛盾する測定値を再評価するためのキャンペーンを調整し、特にQuinnら（2013）^{[ 47 ]}が同じ装置を使用して報告した非常に矛盾する結果を再現しました。当初は2018年までに結果を報告することを期待していましたが^{[ 48 ]} 、測定キャンペーンは最終的に2024年に終了し、その結果は 2026年には6.673 66 (20) × 10 ⁻¹¹ m ³ ⋅kg ⁻¹ ⋅s ^{−2が報告された。 [ 49 ]}