トルク

軸周りのトルクは、レバーに垂直に加わる直線力に、レバーの支点からの距離（レバーアームの長さ）を掛けることで計算できます。

したがって、トルクは、力の垂直成分の大きさと、力が作用する点からその作用線までの距離との積として定義される。

3次元では、トルクは擬似ベクトルです。点粒子の場合、トルクは変位ベクトルと力ベクトルの外積で与えられます。トルクの方向は、右手の法則を使用して決定できます。右手の指をレバーアームの方向から力の方向に曲げると、親指がトルクの方向を指します。^{[ 8 ]}したがって、トルクベクトルは位置ベクトルと力ベクトルの両方に垂直であり、2つのベクトルが存在する平面を定義します。結果として得られるトルクベクトルの方向は、右手の法則によって決定されます。したがって、粒子の位置ベクトルに平行な方向の力はトルクを生じません。^{[ 9 ] [ 10 ]}剛体に加わるトルクの大きさは、3つの量に依存します。加えられた力、トルクが測定される点と力の作用点を結ぶレバーアームベクトル^{[ 11 ]}、および力ベクトルとレバーアームベクトルの間の角度です。記号で表すと次のようになります。

$$\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} \implies \tau =rF_{\perp }=rF\sin \theta }$$

どこ

• ${\displaystyle {\boldsymbol {\タウ }}}$はトルクベクトルであり、$\displaystyle \tau }$はトルクの大きさです。
• ${\displaystyle \mathbf {r} }$は位置ベクトル（トルクが測定される点から力が加えられる点までのベクトル）であり、 rは位置ベクトルの大きさです。
• ${\displaystyle \mathbf {F} }$は力ベクトル、Fは力ベクトルの大きさ、F _{⊥ は}粒子の位置に対して垂直な方向に働く力の大きさです。
• ${\displaystyle \times }$は外積を表し、右手の法則に従ってrとFの両方に垂直なベクトルを生成します。
• ${\displaystyle \theta }$これは、力ベクトルとレバーアームベクトルの間の角度です。

トルクのSI単位はニュートンメートル（N⋅m）です。トルクの単位の詳細については、「 単位」の項を参照してください。

物体に作用する正味トルクは、物体の角運動量の変化率を決定する。

$${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}}$$

どこ${\textstyle \mathbf {L} }$は角運動量ベクトルであり、${\textstyle t}$は時間です。点粒子の運動の場合、

$${\displaystyle \mathbf {L} =I{\boldsymbol {\omega }},}$$

どこ${\textstyle I=mr^{2}}$は慣性モーメントであり、${\textstyle {\boldsymbol {\オメガ }}}$は軌道角速度擬似ベクトルである。したがって、

$${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{\mathrm {net} }=I_{1}{\dot {\omega }}_{1}{\hat {\boldsymbol {e}}}_{1}+I_{2}{\dot {\omega }}_{2}{\hat {\boldsymbol {e}}}_{2}+I_{3}{\dot {\omega }}_{3}{\hat {\boldsymbol {e}}}_{3}+I_{1}\omega _{1}{\frac {\mathrm {d} {\hat {\boldsymbol {e}}}_{1}}{\mathrm {d} t}}+I_{2}\omega _{2}{\frac {\mathrm {d} {\hat {\boldsymbol {e}}}_{2}}{\mathrm {d} t}}+I_{3}\omega _{3}{\frac {\mathrm {d} {\hat {\boldsymbol {e}}}_{3}}{\mathrm {d} t}}=I{\boldsymbol {\dot {\omega }}}+{\boldsymbol {\omega }}\times (I{\boldsymbol {\omega }})}$$

ベクトルの導関数を使うことは $$\displaystyle {\mathrm {d} {\hat {\boldsymbol {e}}}_{\text{i}} \over \mathrm {d} t}={\boldsymbol {\omega }}\times {\hat {\boldsymbol {e}}}_{\text{i}}}$$この方程式は、点粒子に対するニュートンの第2法則 の回転版であり、あらゆる種類の軌道に対して有効です。回転軸上の慣性モーメントのみが等しい回転円盤のような単純なケースでは、回転ニュートンの第2法則は$$\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=I{\boldsymbol {\alpha }}}$$どこ${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}={\dot {\boldsymbol {\omega }}}}$。

物理学 では、回転はトルクの時間微分である^{[ 12 ]}

${\displaystyle \mathbf {P} ={\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\tau }}}{\mathrm {d} t}},}$

ここでτはトルクである。

この単語は、ラテン語で「回転する」を意味するrotātusに由来します。rotatumという用語は普遍的に認められているわけではありませんが、一般的に使用されています。rotatumの派生語を網羅的に示す統一された語彙集は存在せず、これまで様々な提案がなされてきました。

トルクのクロス積の定義を用いると、回転角の別の表現は次のようになる。

${\displaystyle \mathbf {P} =\mathbf {r} \times {\frac {\mathrm {d} \mathbf {F} }{\mathrm {d} t}}+{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\times \mathbf {F} .}$

力の変化率は引くので${\textstyle \mathbf {Y} }$位置の変化率は速度である${\textstyle \mathbf {v} }$式はさらに簡略化して次のように表すことができます。

${\displaystyle \mathbf {P} =\mathbf {r} \times \mathbf {Y} +\mathbf {v} \times \mathbf {F} .}$

エネルギー保存の法則は、トルクを理解するためにも使用できます。力が距離にわたって作用する場合、それは機械的な仕事をします。同様に、トルクが角変位にわたって作用する場合、それは仕事をします。数学的には、重心を通る固定軸を中心とした回転の場合、仕事Wは次のように表すことができます。

$${\displaystyle W=\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}\tau \ \mathrm {d} \theta ,}$$

ここでτはトルクであり、θ1とθ2_は（それぞれ）物体の初期および最終角度位置_を表す。 ^{[ 13 ]}

仕事-エネルギー原理から、W は物体の回転運動エネルギーE _rの変化も表しており、それは次のように表される。

$${\displaystyle E_{\mathrm {r} }={\tfrac {1}{2}}I\omega ^{2},}$$

ここで、 Iは物体の慣性モーメント、 ωはその角速度である。^{[ 13 ]}

電力は単位時間あたりの仕事であり、次式で与えられる。

$${\displaystyle P={\boldsymbol {\tau }}\cdot {\boldsymbol {\omega }},}$$

ここで、Pは電力、τはトルク、ωは角速度であり、${\displaystyle \cdot }$はスカラー積を表します。

代数的に、この方程式は、与えられた角速度と出力に対するトルクを計算するように変形できます。トルクによって注入されるパワーは、瞬間的な角速度のみに依存し、トルクが加えられている間に角速度が増加するか減少するか、または一定のままであるかには依存しません（これは、力によって注入されるパワーが瞬間的な速度のみに依存し、結果として生じる加速度（もしあれば）には依存しない線形の場合と同等です）。

異なる単位の電力やトルクを使用する場合、変換係数が必要になることがあります。たとえば、角速度（単位：ラジアン/秒）の代わりに回転速度（単位：1分または1秒あたりの回転数）を使用する場合は、 2πラジアン/回転を乗じる必要があります。以下の式では、Pは電力、τはトルク、ν（ギリシャ文字のニュー）は回転速度を表します。

$${\displaystyle P=\tau \cdot 2\pi \cdot \nu }$$

ユニットを表示しています:

$${\displaystyle P_{\rm {W}}=\tau _{\rm {N{\cdot }m}}\cdot 2\pi _{\rm {rad/rev}}\cdot \nu _{\rm {rev/s}}}$$

1分を60秒で割ると、次のようになります。

$${\displaystyle P_{\rm {W}}={\frac {\tau _{\rm {N{\cdot }m}}\cdot 2\pi _{\rm {rad/rev}}\cdot \nu _{\rm {rev/min}}}{\rm {60~s/min}}}}$$

回転速度は毎分回転数（rpm、回転/分）で表される。

一部の人々（例えば、アメリカの自動車エンジニア）は、出力には馬力（機械力）、トルクにはフィートポンド（lbf⋅ft）、回転速度にはrpmを使用します。その結果、式は次のように変わります。

$${\displaystyle P_{\rm {hp}}={\frac {\tau _{\rm {lbf{\cdot }ft}}\cdot 2\pi _{\rm {rad/rev}}\cdot \nu _{\rm {rev/min}}}{33,000}}.}$$

以下の定数（フィートポンド/分）は、馬力の定義によって変化します。例えば、メートル馬力を使用すると、約32,550になります。

他の単位（例えば、電力の単位としてBTU /時）を使用する場合は、別のカスタム変換係数が必要になります。

物理学以外の分野でトルクの定義としてよく用いられる、非常に有用な特殊なケースは次のとおりです。

$${\displaystyle \tau =({\text{moment arm}})({\text{force}}).}$$

右図に、前述のベクトルrとFとともに、「モーメントアーム」の構造を示します。この定義の問題点は、トルクの方向ではなく大きさしか示していないため、3 次元の場合に適用するのが難しいことです。力が変位ベクトルrに垂直な場合、モーメントアームは中心までの距離に等しくなり、トルクは与えられた力に対して最大になります。垂直な力から生じるトルクの大きさの式は次のとおりです。

$${\displaystyle \tau =({\text{distance to centre}})({\text{force}}).}$$

例えば、長さ 0.5mのレンチの先端に10Nの力を加えた場合（または、任意の長さのレンチのねじり点から0.5mの位置に10N の力を加えた場合）、トルクは5N・mになります。これは、レンチを動かす際に、レンチの動きの平面内で、かつレンチに垂直な方向に力を加えることを前提としています。   

物体が静的平衡状態にあるためには、力の総和がゼロであるだけでなく、任意の点におけるトルク（モーメント）の総和もゼロでなければなりません。水平方向と垂直方向の力が作用する二次元の場合、力の総和の条件はΣ H = 0とΣ V = 0の 2 つの式で表され、トルクについてはΣ τ = 0 という3 つの式で表されます。つまり、二次元における静的に確定する平衡問題を解くには、3 つの式が用いられます。

システムの正味の力がゼロの場合、空間内のどの点から測定してもトルクは同じになります。たとえば、一様な磁場中の電流が流れるループにかかるトルクは、基準点に関係なく同じです。正味の力がゼロの場合、空間内のどの点から測定してもトルクは同じになります。${\displaystyle \mathbf {F} }$はゼロではなく、${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{1}}$トルクは${\displaystyle \mathbf {r} _{1}}$トルクは${\displaystyle \mathbf {r} _{2}}$は $${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{2}={\boldsymbol {\tau }}_{1}+(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1})\times \mathbf {F} }$$

トルクはエンジンの基本仕様の一部です。エンジンの出力は、トルクに駆動軸の角速度を掛けた値で表されます。内燃機関は、限られた回転速度範囲（小型車の場合、通常1,000～ 6,000rpm程度）でのみ有効なトルクを発生します。この範囲におけるトルク出力の変化は、ダイナモメーターで測定し、トルク曲線として示すことができます。蒸気機関や電気モーターは、回転速度がゼロに近いときに最大トルクを発生する傾向があり、回転速度が上昇するにつれて（摩擦やその他の制約が増加するため）トルクは減少します。往復動式の蒸気機関や電気モーターは、クラッチなしでゼロ回転から重負荷を始動できます。 

実際には、動力とトルクの関係は自転車で観察できます。自転車は通常、2つの車輪、チェーンと噛み合う前輪と後輪のギア（スプロケットと呼ばれる）、そして自転車の変速システムが複数のギア比を使用できる場合（つまり多段変速自転車）はディレイラー機構で構成され、これらはすべてフレームに取り付けられています。自転車に乗る人であるサイクリストは、ペダルを回すことで入力動力を提供し、それによって前輪のスプロケット（一般的にチェーンリングと呼ばれる）を回転させます。サイクリストによって提供される入力動力は、角速度（つまり、1分あたりのペダルの回転数×2π ）と自転車のクランクセットのスピンドルのトルクの積に等しくなります。自転車のドライブトレインは入力動力を車輪に伝達し、車輪は受け取った動力を自転車の出力動力として路面に伝達します。自転車のギア比に応じて、（トルク、角速度）の_入力ペアが（トルク、角速度）の_出力ペアに変換されます。より大きなリアギアを使用したり、多段変速自転車でより低いギアに切り替えたりすると、ロードホイールの角速度は低下し、トルクは増加しますが、その積（すなわち出力）は変化しません。

トルクを増幅する方法は3つあります。支点の位置を調整してレバーの長さを長くする方法、より長いレバーを使用する方法、または減速ギアセットやギアボックスを使用する方法です。このような機構は、回転速度を低下させることでトルクを増幅します。